第三章 剛體力學

剛體：受力時不改變形狀和體積的物體，是理想模型。特點：(1)是一個質(zhì)點系(2)內(nèi)部任意兩質(zhì)點間的距離保持不變.第三章剛體力學物體運動問題的影響因素（物體的性質(zhì)）（1）大小（2）形狀（3）質(zhì)量(4)占有空間位置（5）變形一、剛體§3.1剛體的運動

二、剛體的平動和轉(zhuǎn)動

平動：剛體在運動過程中，在剛體中任作一條直線，如果各個時刻該直線始終保持平行，這種運動稱為剛體的平動。取參考點O

結(jié)論：剛體平動時，其上各點具有相同的速度、加速度及相同的軌跡?？捎靡粋€質(zhì)點的運動代替剛體的運動。O轉(zhuǎn)軸的方位隨時間變化。剛體運動時，各個質(zhì)點在運動中都繞同一直線作圓周運動。轉(zhuǎn)動又分定軸轉(zhuǎn)動和非定軸轉(zhuǎn)動。

轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動：非定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸固定于參考系的轉(zhuǎn)動。剛體的復雜運動一般可分解為平動和轉(zhuǎn)動。xOp規(guī)定逆時針轉(zhuǎn)向為正.1.定軸轉(zhuǎn)動的描述(1)角坐標剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動學方程(2)角位移

=(t+

t)-(t)

=

(t)三、剛體的定軸轉(zhuǎn)動

xOpz逆時針轉(zhuǎn)動，Δ

>0順時針轉(zhuǎn)動，Δ<0(rad)(rad)(3)角速度逆時針轉(zhuǎn)動>0，順時針轉(zhuǎn)動<0.每分轉(zhuǎn)n轉(zhuǎn)

角速度(4)角加速度轉(zhuǎn)動平面減速加速O(rad/s)(rad/s2)勻變速轉(zhuǎn)動

=常量與質(zhì)點勻變速直線運動公式相對應(yīng).(5)剛體定軸轉(zhuǎn)動運動方程勻速轉(zhuǎn)動

=常量(6)角量與線量的關(guān)系線量——質(zhì)點做圓周運動的v、a

角量——描述剛體轉(zhuǎn)動整體運動的注:r：質(zhì)點到轉(zhuǎn)軸的垂直距離.弧長線速度切向加速度法向加速度r

sOxy一、力對軸的力矩力的大??？力的作用點？表征力對物體轉(zhuǎn)動作用,稱為力矩.§3.2剛體定軸轉(zhuǎn)動定理

力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)大小:方向：由右手螺旋關(guān)系確定,垂直于和確定的平面.力不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)不能改變剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)1）力的作用線通過轉(zhuǎn)軸2）力平行軸或與軸重合【例】有一大型水壩高110m、長1000m，水深100m，水面與大壩表面垂直，如圖所示。求水作用在大壩上的力，以及這個力對通過大壩基點Q且與x軸平行的力矩。解設(shè)水深h，壩長L，在壩面上取面積元dA=Ldy作用在此面積元上的力dF=pdA=pLdyF=5.91×1010N

dF=pdA=pLdy

令大氣壓為p0

，則

p=p0

+ρg(h?y)dF=[p0

+ρg(h?y)]Ldy代入數(shù)據(jù)，得【例】有一圓盤質(zhì)量為m，均勻分布，圓盤半徑為R可繞過盤中心的光滑豎直軸在水平桌面上轉(zhuǎn)動，圓盤與桌面間的滑動摩擦系數(shù)為μ，求圓盤轉(zhuǎn)動后受的摩擦力矩。解：摩擦力距在圓盤的不同R部位是不相同的，在圓盤上取一半徑r—r+dr的圓環(huán)圓環(huán)質(zhì)量：ordrRz二、剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動定理mi把剛體看作一個質(zhì)點系可證明：結(jié)論：剛體角加速度與它受到的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。轉(zhuǎn)動慣量單位:kgm2轉(zhuǎn)動定理說明:(1)

矢量式為(2)

為瞬時關(guān)系(3)與平動中

地位相同(4)

為合外力矩=各個外力力矩的矢量和。三、轉(zhuǎn)動慣量(1)意義：剛體轉(zhuǎn)動慣性的量度。剛體質(zhì)量分布(同m,J中空>J實).剛體的總質(zhì)量(同分布,M>m,JM>Jm).轉(zhuǎn)軸的位置(2)影響J的因素:連續(xù)分布(3)轉(zhuǎn)動慣量的計算：離散分布【例】如圖所示，在不計質(zhì)量的細桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個質(zhì)量為m的小球，三角形邊長為l。求：⑴系統(tǒng)對過C點，且與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量；⑵系統(tǒng)對過A點，且與三角形平面垂直軸的轉(zhuǎn)動慣量；⑶若A處質(zhì)點也固定在B處，⑵的結(jié)果如何？討論：⑴J與質(zhì)量有關(guān)（見⑴、⑵、⑶結(jié)果）⑵J與軸的位置有關(guān)（比較⑴、⑵結(jié)果）⑶J與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較⑵、⑶結(jié)果）（1）（2）（3）【例】求一質(zhì)量為m,長為l的均勻細棒的轉(zhuǎn)動慣量.(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并與棒垂直.(2)軸通過棒的一端并與棒垂直.解:dm對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為:在棒上取質(zhì)量元,長為dx,離軸O

為x.棒的線密度為:(1)解為:(2)解為:(原點O在棒的左端點)【例】一質(zhì)量為m,半徑為R的均勻圓盤,求通過盤中心并與盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量.解：ordrR取圓環(huán)為質(zhì)量元質(zhì)量面密度：幾種典型形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量圓筒圓環(huán)ωRmO′

O圓柱ωR2R1細圓棒ωR圓球球殼ωR平行軸定理若剛體對過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jc,則剛體對與該軸相距為d的平行軸z的轉(zhuǎn)動慣量Jz是:mRJzJc垂直于桿的軸通過桿的中心垂直于桿的軸通過桿的端點垂直于桿的軸通過桿的1/4處勻質(zhì)直桿對垂直于桿的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量掛鐘擺錘的轉(zhuǎn)動慣量

(桿長為l,質(zhì)量為m1,擺錘半徑為R,質(zhì)量為m2):掛在光滑釘子上的勻質(zhì)圓環(huán)擺動的轉(zhuǎn)動慣量(圓環(huán)質(zhì)量為m,半徑為R):三、轉(zhuǎn)動定理的應(yīng)用兩類問題：一類是已知力矩求轉(zhuǎn)動；二類是已知轉(zhuǎn)動求力矩。（1）選取研究對象，隔離之（2）分析隔離體受力和力矩（3）寫出微分方程（4）根據(jù)題意找出所選各隔離體之間的聯(lián)系（5）求解【例】一個質(zhì)量為m的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián),繩子質(zhì)量可以忽略,它與定滑輪之間無滑動.假設(shè)定滑輪的質(zhì)量為m0,半徑為R,其轉(zhuǎn)動慣量為m0R2/2,滑輪軸光滑.試求該物體由靜止開始下落的過程中,下落速度與時間的關(guān)系.解:由牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律:對m:(1)對m0:(2)(3)聯(lián)立(1),(2),(3)解得:恒矢量,與時間無關(guān).由初始條件,得【例】一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端，繩繞在一滑輪的軸上。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r，整個裝置架在光滑的固定軸承上。當物體從靜止釋放后，在時間t內(nèi)下降了一段距離S，試求整個滑輪的轉(zhuǎn)動慣量（用m，r，t和S表示）rmo【思考】組合輪可以繞通過其中心且垂直于盤面的光滑水平固定軸o轉(zhuǎn)動，對o軸的轉(zhuǎn)動慣量J=9mr2/2。兩圓盤邊緣上分別繞有輕質(zhì)細繩，細繩下端各懸掛質(zhì)量為m的物體A和B，這一系統(tǒng)從靜止開始運動,繩與盤無相對滑動且長度不變。已知小圓盤的半徑為r，質(zhì)量為m；大圓盤的半徑r’=2r，質(zhì)量m’=2m

。求：組合輪的角加速度的大小。解：【例】輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪C連接兩物體A和B，A、B質(zhì)量分別為mA、mB，滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為mC半徑為R，AC水平并與軸垂直，繩與滑輪無相對滑動，不計軸處摩擦，求B的加速度，AC、BC間繩的張力大小。C不計mc時，解:平行軸定理(1)轉(zhuǎn)動慣量:OBAC質(zhì)心【例】一質(zhì)量為m,長為l的均質(zhì)細桿,轉(zhuǎn)軸在O點,距A端l/3.今使棒從靜止開始由水平位置繞O點轉(zhuǎn)動,求:(1)水平位置的角速度和角加速度.

(2)垂直位置時的角速度和角加速度.(3)棒在豎直位置時,棒的兩端和中點的速度和加速度.

(2)垂直位置時的角速度和角加速度.

OBAC質(zhì)心(3)棒在豎直位置時,棒的兩端和中點的速度和加速度.OBAC質(zhì)心【例】

一半徑為R,質(zhì)量為m的均勻圓盤平放在粗糙的水平面上.若它的初始角速度為0,繞中心O旋轉(zhuǎn),問經(jīng)過多長時間圓盤才停止.(設(shè)摩擦系數(shù)為)oRdrr解：【例】設(shè)電風扇的電機力矩恒定為M，風葉所受空氣阻力矩的大小為Mf=Kω，風葉轉(zhuǎn)動慣量為J。求（1）通電后t時刻的角速度ω；(2)穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時的角速度；（3）穩(wěn)定轉(zhuǎn)動時斷開電源，風葉還能繼續(xù)轉(zhuǎn)多少角度？§3.3剛體定軸轉(zhuǎn)動中的功與能剛體轉(zhuǎn)動動能動能:剛體的總動能:miz剛體的重力勢能剛體的重力勢能等于質(zhì)量集中于質(zhì)心的重力勢能.質(zhì)心高度hc力矩的功和功率力矩:力矩的總功:P力矩的元功:說明：1）本質(zhì)上仍然是力的功2）當力矩為常量時，力矩的功為剛體中P點在力的作用下位移,則力元功力矩功率:4）合外力矩的功:3）內(nèi)力矩的功=05）力矩的功是力矩對空間的累積效應(yīng)當M與ω同向，P為正；當M與ω反向，P為負類比：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理只有保守內(nèi)力做功剛體機械能守恒微分形式積分形式【例】

一質(zhì)量為M,半徑R的圓盤,盤上繞有細繩,一端掛有質(zhì)量為m的物體.問物體由靜止下落高度h時,其速度為多大？mgTMm解1:解得：由動能定理:將地球、圓盤、物體作為一個系統(tǒng).解2:機械能守恒mgTMm解得：【例】

滑塊質(zhì)量為m,滑輪半徑為R,轉(zhuǎn)動慣量為J,彈簧勁度系數(shù)為k,斜面角度為.不計摩擦.當彈簧無形變時將滑塊由靜止釋放.求(1)滑塊下滑x時的加速度;(2)下滑的最大距離.解:

對于滑塊：可得:對于滑輪:(1)根據(jù)轉(zhuǎn)動定理OxRmk沿斜面建立坐標,以A的初始位置為原點.得OxRmk(2)下滑的最大距離.設(shè)滑塊由靜止釋放沿斜面下滑的最大距離為S,則設(shè)原點為勢能零點.以整體和地球為系統(tǒng),其機械能守恒.1.5m【例】一輕彈簧與一勻質(zhì)細桿l=1m相連，彈簧倔強系數(shù)k=40N/m，細桿質(zhì)量為m=3kg。桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動。若當θ=0°時彈簧為原長，那么細桿在θ=0°的位置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？Ep=0解：取彈簧、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機械能守恒?！纠炕嗈D(zhuǎn)動慣量為0.01kgm2，半徑為7cm，物體質(zhì)量為5kg，由一繩與倔強系數(shù)k=200N/m的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計，求：（1）當繩拉直，彈簧無伸長時，使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體速度達到最大值的位置及最大速率?！?.4角動量

角動量守恒定律設(shè):t時刻質(zhì)點的位矢質(zhì)點的動量運動質(zhì)點相對于參考原點O的角動量定義為:Kg·m2·s-1質(zhì)點的角動量大小：h方向：

矢經(jīng)和動量的矢積方向垂直于和組成的平面，指向由右手螺旋法則確定角動量與參考點O的位置有關(guān).注意:根據(jù)質(zhì)點的角動量的定義兩邊對時間求導，得

質(zhì)點的角動量定理

所以結(jié)論：質(zhì)點的角動量對時間的變化率等于質(zhì)點所受的合外力矩，這就是質(zhì)點的動量定理。注：是相對于同一參考點而言的!結(jié)論：相對于某一參考點，如果質(zhì)點所受的合外力矩為零，則質(zhì)點的角動量保持不變，這就是質(zhì)點的角動量守恒定律。說明：2）質(zhì)點在有心力所用下運動時，其對力心的角動量守恒。角動量守恒定律當

時，有，有兩種情況：1）合力

，外力矩

，角動量守恒；m太陽行星角動量守恒注意：動量守恒與角動量守恒是相互獨立的定律如行星運動動量不守恒角動量守恒在近日點轉(zhuǎn)得快，在遠日點轉(zhuǎn)得慢。【例】輕繩一端系著質(zhì)量為

m

的質(zhì)點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔

O用力

拉著，如圖所示。質(zhì)點原來以速率

v

作半徑為

r

的圓周運動，當

拉動繩子向正下方移動r/2時，（1）質(zhì)點的速度v=?（2）此過程中所作的功。（1）轉(zhuǎn)動中，

解：有得（2）質(zhì)點的速度增加了，動能也增加了。動能的增加，是由于力做了功。剛體對定軸的角動量質(zhì)點對定軸的轉(zhuǎn)動慣量miz結(jié)論：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角動量，等于剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量與角速度的乘積。注意：當表述剛體的角動量時，必須指明是對哪一軸的角動量。由轉(zhuǎn)動定律:稱為dt時間內(nèi)剛體所受合外力矩的沖量矩.微分形式剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理結(jié)論：剛體在某段時間內(nèi)所受合外力矩的沖量矩等于該段時間內(nèi)剛體角動量的增量.積分形式注意：角動量和合外力矩都是相對于同一軸而言的。剛體的角動量守恒定律

結(jié)論:對某一轉(zhuǎn)軸而言，剛體所受合外力矩為零,則剛體的角動量保持不變.說明：1）角動量守恒既適用于剛體也適用于非剛體。對于定軸轉(zhuǎn)動的剛體來說，對于非剛體來說，角動量守恒的另一類現(xiàn)象角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Jw變大，乘積保持不變，Jw變大則Jw變小。收臂大小Jw

用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂J大小w花樣滑冰中常見的例子角動量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Jw變大，乘積保持不變，Jw變大則Jw變小。收臂大小Iw

用外力矩啟動轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰收臂大小Iw張臂Jw大小先使自己轉(zhuǎn)動起來收臂大小Jw2）角動量守恒既適用于宏觀、低速領(lǐng)域也適用于微觀、高速領(lǐng)域。3）當轉(zhuǎn)動物體由幾個剛體組成時，若整個系統(tǒng)所受合外力矩為零，則系統(tǒng)的角動量守恒，即有4）對由剛體和質(zhì)點構(gòu)成的系統(tǒng),若整個系統(tǒng)所受對同一轉(zhuǎn)軸的合外力矩為零,則整個物體系對該轉(zhuǎn)軸的總角動量守恒.共軸系統(tǒng)的角動量守恒共軸系統(tǒng)若0JMwS外則LSi恒矢量Sii輪、轉(zhuǎn)臺與人系統(tǒng)J輪J人臺初態(tài)全靜人沿某一轉(zhuǎn)向撥動輪子w輪w人臺末態(tài)人臺反向轉(zhuǎn)動直升飛機防旋措施直升飛機防止機身旋動的措施用兩個對轉(zhuǎn)的頂漿（支奴干CH47)165用尾漿（美洲豹SA300）（海豚Ⅱ）守恒例題一wA已知例BJA、B兩輪共軸A以wA、B以ωB同向轉(zhuǎn)動求兩輪嚙合后wAB一起轉(zhuǎn)動的角速度解：wBAJ討論：假若兩輪的轉(zhuǎn)動方向相反，則ω=？假設(shè)為ωA正，則有：【例】已知圓盤的質(zhì)量M、半徑R、及初角速度ω0。子彈m,以v0射入盤邊緣，求此后盤轉(zhuǎn)動的角速度。對M和m組成的系統(tǒng)，角動量守恒，有：解：【例】一半徑為R、轉(zhuǎn)動慣量為J的圓柱體可以繞水平固定的中心軸o無摩擦地轉(zhuǎn)動。起初圓柱體靜止，一質(zhì)量為M的木塊以速度v1在光滑平面上向右滑動，并擦過圓柱體上表面躍上另一同高度的光滑平面。設(shè)它和圓柱體脫離接觸以前，它們之間無相對滑動，試求木塊的最后速率v2。

【例】長