專題7-從古典概率論到現(xiàn)代概率論

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概率的數(shù)學(xué)理論是由于探討一些有關(guān)機(jī)遇現(xiàn)象而產(chǎn)生的，典型的例子是賭博、游戲中的問題。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動中就有概率思想的雛形。但概率論作為一門學(xué)科，則醞釀于16世紀(jì)前后的兩百余年間。它產(chǎn)生的緣由雖然是多方面的，但主要是由于當(dāng)時(shí)保險(xiǎn)業(yè)的產(chǎn)生與發(fā)展以及賭博業(yè)的盛行。

在這一時(shí)期，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對賭博中的問題產(chǎn)生深厚的愛好，其中以帕喬利、卡爾達(dá)諾為代表。帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利）

1494年《算術(shù)，幾何，比及比例全書》——賭博中斷問題：兩個(gè)賭徒相約賭若干局，雙方各拿出相同數(shù)量的賭金，誰先勝s局誰就贏得全部賭金。但是，當(dāng)一個(gè)賭徒勝a局（a＜s），另一個(gè)勝b局（b＜s）時(shí)，賭博因故中斷，問應(yīng)當(dāng)如何支配賭金?？栠_(dá)諾(G.Cardano，1501～1576，意大利)。

《賭博之書》(1539，出版于1663)：對賭博中斷問題的接著探討；點(diǎn)問題：擲兩顆或三顆骰子時(shí)在一切可能的方法中有多少種方法得到某一總點(diǎn)數(shù)；大數(shù)定律的雛形：在拋擲硬幣的試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)正面或反面雖屬偶然，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面（對稱地，出現(xiàn)反面)的頻率卻必定地接近于定數(shù)1／2；在n次獨(dú)立事務(wù)中，假如事務(wù)本身的概率是p，那么它連續(xù)發(fā)生n次的概率是p的n次方二、概率論的創(chuàng)立與發(fā)展～～古典概率論/組合概率時(shí)期（17－18世紀(jì)）從17世紀(jì)中期概率論的產(chǎn)生到18世紀(jì)末，約一個(gè)半世紀(jì)的時(shí)間里，概率論主要以計(jì)算各種古典概率問題為中心發(fā)展著，因而將其稱為古典概率時(shí)期；由于這個(gè)時(shí)期的概率論主要以組合論為工具，所以也稱為組合概率時(shí)期。

這一時(shí)期的代表人物有：帕斯卡、費(fèi)爾馬、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗爾、貝葉斯帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國）

費(fèi)爾馬（P.deFermat，1601～1665，法國）

二人關(guān)于賭博中斷問題探討的通信，不僅有關(guān)于這個(gè)問題的不同解法，還從對一些特殊問題的解答中歸納出了一批范圍廣泛的結(jié)論，并且在確定程度上揭示了一般方法，這些工作標(biāo)記著作為一門數(shù)學(xué)分支的概率論的誕生?；莞?C.Huygens，1629～1695，荷蘭)

《論賭博中的推理》(1657)——第一篇關(guān)于概率論的正式論文數(shù)學(xué)期望：假如p表示一個(gè)人獲得確定金額s的概率，則sp稱為他的數(shù)學(xué)期望。雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～1705，瑞士）

《猜度術(shù)》（出版于1713年）——“把概率論建立在穩(wěn)固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的首次細(xì)致的嘗試”：①關(guān)于惠更斯《論賭博中的推理》的一個(gè)精彩評注②對排列組合理論的深化探討③將排列組合理論運(yùn)用于概率論④概率論在法律和經(jīng)濟(jì)等問題上的應(yīng)用⑤伯努利大數(shù)定律(大數(shù)定律的最早形式)，這是占據(jù)《猜度術(shù)》全書中心位置的結(jié)果，被稱為“主命題”，是概率論中的第一個(gè)極限定理。雅各·伯努利考慮的是最簡潔的情形，即在整個(gè)試驗(yàn)序列中，某個(gè)給定事務(wù)出現(xiàn)的概率始終保持為常數(shù)德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國)

《論抽簽的原理》(1711年發(fā)表于《哲學(xué)學(xué)報(bào)》)；《機(jī)會論》(1718，1738，1756)：在對持續(xù)賭博問題的探討上取得了明顯的進(jìn)步，給出了較清晰的組合公式，運(yùn)用了不同的方程，用循環(huán)序列來解決問題，并且在用正態(tài)靠近來說明問題時(shí)運(yùn)用了函數(shù)，成為拉普拉斯用分析方法探討概率論的先導(dǎo)。；《分析雜論》(1730)：正態(tài)分布貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)

1763Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances：⑴將概率的概念和推理的方法、公式，擴(kuò)展和提高為處理一般科學(xué)問題的原理；⑵給出了著名的貝葉斯公式；⑶提出了貝葉斯假設(shè)

在書中貝葉斯給出了概率的定義：“任一事務(wù)的概率是這樣的比值：一個(gè)是由于這一事務(wù)發(fā)生應(yīng)計(jì)算的期望的值，一個(gè)是會發(fā)生的事情的相應(yīng)的值。機(jī)會（chance）我認(rèn)為就是概率?！睅讉€(gè)重要的問題逆概率（inverseprobability）彼得堡悖論Bernoulli-Euler關(guān)于裝錯信封的問題秘書問題布豐（Buffon）投針問題（1777）

今日看來，概率論最初考慮的問題，其樣本空間(這一概念是德國數(shù)學(xué)家馮·米澤斯(vonMisses)于1931年提出的。)都是由有限個(gè)元素構(gòu)成的。隨著概率論的發(fā)展，這種樣本空間的局限性越來越明顯。把等可能性思想發(fā)展到包含無窮多個(gè)元素的樣本空間，就產(chǎn)生了幾何概率。將概率的古典定義與幾何定義稍作比較就會發(fā)覺，在古典定義里，只有不行能事務(wù)的概率才是０，而在幾何定義中，概率０的事務(wù)未必是不行能的三、概率論的發(fā)展～～分析概率論（18世紀(jì)末——19世紀(jì)末）從18世紀(jì)末到19世紀(jì)末的約一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，在概率論的探討中引入了母函數(shù)與特征函數(shù)的概念，并漸漸引進(jìn)了已經(jīng)成熟的分析工具，特殊是高斯和拉普拉斯等人建立的關(guān)于“正態(tài)分布”以及“最小二乘法”的理論對于用概率論探討天文觀測、大地測量和物理觀測的結(jié)果起了重大作用，使概率論的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期——分析概率時(shí)期。

這一時(shí)期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）等人高斯(Gauss，1777-1855)

《最小二乘法的誤差理論的基礎(chǔ)》：對觀測天體及進(jìn)行大地測量時(shí)的誤差問題進(jìn)行了探討，導(dǎo)出了誤差函數(shù)。設(shè)誤差為X，則誤差的分布就是今日所說的正態(tài)分布。因此，后人又稱正態(tài)分布為高斯分布拉普拉斯(Laplace，1749－1827）

《概率的分析理論》（1812）：對概率論早期成果的系統(tǒng)總結(jié)；首次明確給出了概率的古典定義；在概率論中引入了差分方程、母函數(shù)等強(qiáng)有力的分析工具，從而實(shí)現(xiàn)了概率論由單純的組合計(jì)算到分析方法的過渡。

概率的古典定義：在某組條件(S)下進(jìn)行試驗(yàn)，一共有N個(gè)兩兩互不相容而等可能的結(jié)果(基本事務(wù)）發(fā)生，其中M個(gè)是適合事務(wù)A的結(jié)果，那么A的[古典]概率是P(A)＝M／N.這個(gè)定義事實(shí)上是把概率概念化為事務(wù)的等可能性，而把計(jì)算概率的問題歸結(jié)為組合問題。雖然直到拉普拉斯才明確給出了這個(gè)定義，但可以認(rèn)為，早在概率論的初創(chuàng)階段其基本思想已經(jīng)以某種形式為人們所默認(rèn)。

從概率論的初創(chuàng)階段直到19世紀(jì)，“等可能性”始終是一個(gè)基本而核心的概念，它指的是每個(gè)簡潔事務(wù)具有相同的概率。人們對這一性質(zhì)的相識閱歷了相當(dāng)曲折的過程，最終用概率測度概念取代了它。

概率的古典定義有著不行克服的缺點(diǎn)，首先，“等可能性”并不總是簡潔推斷的；其次，當(dāng)基本事務(wù)的總數(shù)不是有限的時(shí)，古典定義也無法適用。為了克服其次個(gè)缺點(diǎn)，18世紀(jì)時(shí)引入了概率的幾何定義，但這確定義照舊依靠于等可能性，從而不能克服第一個(gè)缺點(diǎn)。泊松(Poisson，1781——1840)

《關(guān)于刑事案件和民事案件審判概率的探討》(1837)引入泊松分布推廣袤數(shù)定律彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫(Tschebyscheff，1821-1894）：在一系列探討中切比雪夫首先引入并提倡運(yùn)用的隨機(jī)變量概念，后來成為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，證明白泊松形式大數(shù)定律，建立了有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律并對隨機(jī)變量和收斂到正態(tài)分布的條件，即中心極限定理進(jìn)行探討。

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨(dú)立隨機(jī)變量和古典極值理論的探討，從而改進(jìn)和完善了大數(shù)定律和中心極限定理，對相依隨機(jī)變量序列的探討，創(chuàng)立了以他命名的著名的概率模型—馬爾科夫鏈。李雅普諾夫(A.Liapounoff，1857～1918)利用特征函數(shù)方法，對一類相當(dāng)廣泛的獨(dú)立隨機(jī)變量序列證明白中心極限定理。他還利用這確定理第一次科學(xué)地說明白實(shí)際中遇到的很多隨機(jī)變量近似地聽從正態(tài)分布。貝特朗(Bertrand)悖論(1889)

在圓內(nèi)任作一弦，求其長度超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以產(chǎn)生悖論，是由于在這一問題中未給出“隨意作一弦”這個(gè)概念明確的定義。最本質(zhì)的，是對“等可能性”的概念的不同規(guī)定，從而造成了計(jì)算結(jié)果的不同。事實(shí)上，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無窮多個(gè)可能的結(jié)果時(shí)，有時(shí)很難客觀地規(guī)定“等可能”這始終觀概念。

拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎(chǔ)特殊脆弱，對于事務(wù)的概率定義及運(yùn)算都要用到“等可能性”概念，而在一個(gè)具體問題上還須要考察有多少等可能的情形。貝特朗悖論的出現(xiàn)表明白直觀的、閱歷性的概率概念的本質(zhì)缺陷，對建立概率論的嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)提出了要求。四、概率論的公理化～～現(xiàn)代概率時(shí)期（20世紀(jì)）拉普拉斯(Laplace)所給出的古典先驗(yàn)概率定義雖然在整個(gè)19世紀(jì)被廣泛接受，但是由于他未能進(jìn)一步探討這一理論及其應(yīng)用的基礎(chǔ)從而缺少數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，所以1920年以前的概率論從整體上看是相當(dāng)混亂的，甚至象龐加萊（Poincare)和波萊爾(EmileBorel，1871～1956）這樣的大數(shù)學(xué)家也沒能在令人滿足的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的嚴(yán)密理論。

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個(gè)公理化體系。***

主觀學(xué)派英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家凱恩斯(J.M.Keynes)：《概率論》（完成于1911年，出版于1921年)英國的萊姆賽(F.Ramsey，1926)意大利的菲納特(B.DeFinnetti，1937)賽維奇(L.J.Savage，1954)主觀學(xué)派主觀學(xué)派的人認(rèn)為，貝葉斯陳述概率是兩個(gè)數(shù)之比的說法，只是告知人們應(yīng)當(dāng)去揣測，重點(diǎn)不是他揣測的是多少。主觀學(xué)派認(rèn)為揣測不是隨意亂說，一個(gè)人的揣測確定要前后一樣，不能自相沖突。從凱恩斯起，對主觀概率提出了幾種公理體系，但沒有一種堪稱權(quán)威?；蛟S，主觀概率的最大影響不在概率論自身，而在于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)近年來出現(xiàn)的貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)派頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計(jì)學(xué)派）德國數(shù)學(xué)家馮·米澤斯(vonMises)：1919年，運(yùn)用公理方法給出了在統(tǒng)計(jì)頻率比的性質(zhì)的基礎(chǔ)上的概率定義；

1928年，在《概率，統(tǒng)計(jì)和真理》一書中建立了頻率的極限理論。

1931年，提出了樣本空間的概念。這個(gè)概念使得有可能把概率的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論建立在測度論的基礎(chǔ)上。

頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計(jì)學(xué)派）德國哲學(xué)家賴欣巴赫(HansReichenbach，1891─1953）：1935年發(fā)表在專著《概率論》，試圖建立概率理論的令人滿足的公理體系；是為概率的頻率說明作辯護(hù)

20世紀(jì)初，勒貝格(Lebesgue)創(chuàng)立的測度論和積分論以及隨后發(fā)展起來的抽象測度和積分理論為概率論的公理化發(fā)展供應(yīng)了新的手段。柯爾莫哥洛夫(Kolmogoroff，1903-1987，前蘇聯(lián)）

1929《一般測度論和概率計(jì)算》以測度論和實(shí)變函數(shù)論為基礎(chǔ)對概率論公理作了初步論述；1933《概率論的基本概念》提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，明確了概率的定義和概率論的基本概念

柯爾莫哥洛夫的方法是從概率的一些主要性質(zhì)入手，這些性質(zhì)無論是建立在古典的定義上還是建立在統(tǒng)計(jì)的定義上都有效，他不僅起先了把概率論發(fā)展成