專題7-從古典概率論到現(xiàn)代概率論

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概率的數(shù)學理論是由于探討一些有關機遇現(xiàn)象而產生的，典型的例子是賭博、游戲中的問題。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動中就有概率思想的雛形。但概率論作為一門學科，則醞釀于16世紀前后的兩百余年間。它產生的緣由雖然是多方面的，但主要是由于當時保險業(yè)的產生與發(fā)展以及賭博業(yè)的盛行。

在這一時期，相當多的數(shù)學家對賭博中的問題產生深厚的愛好，其中以帕喬利、卡爾達諾為代表。帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利）

1494年《算術，幾何，比及比例全書》——賭博中斷問題：兩個賭徒相約賭若干局，雙方各拿出相同數(shù)量的賭金，誰先勝s局誰就贏得全部賭金。但是，當一個賭徒勝a局（a＜s），另一個勝b局（b＜s）時，賭博因故中斷，問應當如何支配賭金?？栠_諾(G.Cardano，1501～1576，意大利)。

《賭博之書》(1539，出版于1663)：對賭博中斷問題的接著探討；點問題：擲兩顆或三顆骰子時在一切可能的方法中有多少種方法得到某一總點數(shù)；大數(shù)定律的雛形：在拋擲硬幣的試驗中，每次出現(xiàn)正面或反面雖屬偶然，但在大量重復試驗中，出現(xiàn)正面（對稱地，出現(xiàn)反面)的頻率卻必定地接近于定數(shù)1／2；在n次獨立事務中，假如事務本身的概率是p，那么它連續(xù)發(fā)生n次的概率是p的n次方二、概率論的創(chuàng)立與發(fā)展～～古典概率論/組合概率時期（17－18世紀）從17世紀中期概率論的產生到18世紀末，約一個半世紀的時間里，概率論主要以計算各種古典概率問題為中心發(fā)展著，因而將其稱為古典概率時期；由于這個時期的概率論主要以組合論為工具，所以也稱為組合概率時期。

這一時期的代表人物有：帕斯卡、費爾馬、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗爾、貝葉斯帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國）

費爾馬（P.deFermat，1601～1665，法國）

二人關于賭博中斷問題探討的通信，不僅有關于這個問題的不同解法，還從對一些特殊問題的解答中歸納出了一批范圍廣泛的結論，并且在確定程度上揭示了一般方法，這些工作標記著作為一門數(shù)學分支的概率論的誕生?；莞?C.Huygens，1629～1695，荷蘭)

《論賭博中的推理》(1657)——第一篇關于概率論的正式論文數(shù)學期望：假如p表示一個人獲得確定金額s的概率，則sp稱為他的數(shù)學期望。雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～1705，瑞士）

《猜度術》（出版于1713年）——“把概率論建立在穩(wěn)固數(shù)學基礎上的首次細致的嘗試”：①關于惠更斯《論賭博中的推理》的一個精彩評注②對排列組合理論的深化探討③將排列組合理論運用于概率論④概率論在法律和經(jīng)濟等問題上的應用⑤伯努利大數(shù)定律(大數(shù)定律的最早形式)，這是占據(jù)《猜度術》全書中心位置的結果，被稱為“主命題”，是概率論中的第一個極限定理。雅各·伯努利考慮的是最簡潔的情形，即在整個試驗序列中，某個給定事務出現(xiàn)的概率始終保持為常數(shù)德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國)

《論抽簽的原理》(1711年發(fā)表于《哲學學報》)；《機會論》(1718，1738，1756)：在對持續(xù)賭博問題的探討上取得了明顯的進步，給出了較清晰的組合公式，運用了不同的方程，用循環(huán)序列來解決問題，并且在用正態(tài)靠近來說明問題時運用了函數(shù)，成為拉普拉斯用分析方法探討概率論的先導。；《分析雜論》(1730)：正態(tài)分布貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)

1763Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances：⑴將概率的概念和推理的方法、公式，擴展和提高為處理一般科學問題的原理；⑵給出了著名的貝葉斯公式；⑶提出了貝葉斯假設

在書中貝葉斯給出了概率的定義：“任一事務的概率是這樣的比值：一個是由于這一事務發(fā)生應計算的期望的值，一個是會發(fā)生的事情的相應的值。機會（chance）我認為就是概率?！睅讉€重要的問題逆概率（inverseprobability）彼得堡悖論Bernoulli-Euler關于裝錯信封的問題秘書問題布豐（Buffon）投針問題（1777）

今日看來，概率論最初考慮的問題，其樣本空間(這一概念是德國數(shù)學家馮·米澤斯(vonMisses)于1931年提出的。)都是由有限個元素構成的。隨著概率論的發(fā)展，這種樣本空間的局限性越來越明顯。把等可能性思想發(fā)展到包含無窮多個元素的樣本空間，就產生了幾何概率。將概率的古典定義與幾何定義稍作比較就會發(fā)覺，在古典定義里，只有不行能事務的概率才是０，而在幾何定義中，概率０的事務未必是不行能的三、概率論的發(fā)展～～分析概率論（18世紀末——19世紀末）從18世紀末到19世紀末的約一個世紀的時間里，在概率論的探討中引入了母函數(shù)與特征函數(shù)的概念，并漸漸引進了已經(jīng)成熟的分析工具，特殊是高斯和拉普拉斯等人建立的關于“正態(tài)分布”以及“最小二乘法”的理論對于用概率論探討天文觀測、大地測量和物理觀測的結果起了重大作用，使概率論的發(fā)展進入了一個新的時期——分析概率時期。

這一時期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）等人高斯(Gauss，1777-1855)

《最小二乘法的誤差理論的基礎》：對觀測天體及進行大地測量時的誤差問題進行了探討，導出了誤差函數(shù)。設誤差為X，則誤差的分布就是今日所說的正態(tài)分布。因此，后人又稱正態(tài)分布為高斯分布拉普拉斯(Laplace，1749－1827）

《概率的分析理論》（1812）：對概率論早期成果的系統(tǒng)總結；首次明確給出了概率的古典定義；在概率論中引入了差分方程、母函數(shù)等強有力的分析工具，從而實現(xiàn)了概率論由單純的組合計算到分析方法的過渡。

概率的古典定義：在某組條件(S)下進行試驗，一共有N個兩兩互不相容而等可能的結果(基本事務）發(fā)生，其中M個是適合事務A的結果，那么A的[古典]概率是P(A)＝M／N.這個定義事實上是把概率概念化為事務的等可能性，而把計算概率的問題歸結為組合問題。雖然直到拉普拉斯才明確給出了這個定義，但可以認為，早在概率論的初創(chuàng)階段其基本思想已經(jīng)以某種形式為人們所默認。

從概率論的初創(chuàng)階段直到19世紀，“等可能性”始終是一個基本而核心的概念，它指的是每個簡潔事務具有相同的概率。人們對這一性質的相識閱歷了相當曲折的過程，最終用概率測度概念取代了它。

概率的古典定義有著不行克服的缺點，首先，“等可能性”并不總是簡潔推斷的；其次，當基本事務的總數(shù)不是有限的時，古典定義也無法適用。為了克服其次個缺點，18世紀時引入了概率的幾何定義，但這確定義照舊依靠于等可能性，從而不能克服第一個缺點。泊松(Poisson，1781——1840)

《關于刑事案件和民事案件審判概率的探討》(1837)引入泊松分布推廣袤數(shù)定律彼得堡學派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫(Tschebyscheff，1821-1894）：在一系列探討中切比雪夫首先引入并提倡運用的隨機變量概念，后來成為概率論與數(shù)理統(tǒng)計中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，證明白泊松形式大數(shù)定律，建立了有關獨立隨機變量序列的大數(shù)定律并對隨機變量和收斂到正態(tài)分布的條件，即中心極限定理進行探討。

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨立隨機變量和古典極值理論的探討，從而改進和完善了大數(shù)定律和中心極限定理，對相依隨機變量序列的探討，創(chuàng)立了以他命名的著名的概率模型—馬爾科夫鏈。李雅普諾夫(A.Liapounoff，1857～1918)利用特征函數(shù)方法，對一類相當廣泛的獨立隨機變量序列證明白中心極限定理。他還利用這確定理第一次科學地說明白實際中遇到的很多隨機變量近似地聽從正態(tài)分布。貝特朗(Bertrand)悖論(1889)

在圓內任作一弦，求其長度超過圓內接正三角形邊長的概率，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以產生悖論，是由于在這一問題中未給出“隨意作一弦”這個概念明確的定義。最本質的，是對“等可能性”的概念的不同規(guī)定，從而造成了計算結果的不同。事實上，當一個隨機試驗有無窮多個可能的結果時，有時很難客觀地規(guī)定“等可能”這始終觀概念。

拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎特殊脆弱，對于事務的概率定義及運算都要用到“等可能性”概念，而在一個具體問題上還須要考察有多少等可能的情形。貝特朗悖論的出現(xiàn)表明白直觀的、閱歷性的概率概念的本質缺陷，對建立概率論的嚴密邏輯基礎提出了要求。四、概率論的公理化～～現(xiàn)代概率時期（20世紀）拉普拉斯(Laplace)所給出的古典先驗概率定義雖然在整個19世紀被廣泛接受，但是由于他未能進一步探討這一理論及其應用的基礎從而缺少數(shù)學的嚴密性，所以1920年以前的概率論從整體上看是相當混亂的，甚至象龐加萊（Poincare)和波萊爾(EmileBorel，1871～1956）這樣的大數(shù)學家也沒能在令人滿足的基礎上給出相應的嚴密理論。

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個公理化體系。***

主觀學派英國經(jīng)濟學家、數(shù)學家凱恩斯(J.M.Keynes)：《概率論》（完成于1911年，出版于1921年)英國的萊姆賽(F.Ramsey，1926)意大利的菲納特(B.DeFinnetti，1937)賽維奇(L.J.Savage，1954)主觀學派主觀學派的人認為，貝葉斯陳述概率是兩個數(shù)之比的說法，只是告知人們應當去揣測，重點不是他揣測的是多少。主觀學派認為揣測不是隨意亂說，一個人的揣測確定要前后一樣，不能自相沖突。從凱恩斯起，對主觀概率提出了幾種公理體系，但沒有一種堪稱權威?；蛟S，主觀概率的最大影響不在概率論自身，而在于數(shù)理統(tǒng)計學近年來出現(xiàn)的貝葉斯統(tǒng)計學派頻率理論學派（統(tǒng)計學派）德國數(shù)學家馮·米澤斯(vonMises)：1919年，運用公理方法給出了在統(tǒng)計頻率比的性質的基礎上的概率定義；

1928年，在《概率，統(tǒng)計和真理》一書中建立了頻率的極限理論。

1931年，提出了樣本空間的概念。這個概念使得有可能把概率的嚴格的數(shù)學理論建立在測度論的基礎上。

頻率理論學派（統(tǒng)計學派）德國哲學家賴欣巴赫(HansReichenbach，1891─1953）：1935年發(fā)表在專著《概率論》，試圖建立概率理論的令人滿足的公理體系；是為概率的頻率說明作辯護

20世紀初，勒貝格(Lebesgue)創(chuàng)立的測度論和積分論以及隨后發(fā)展起來的抽象測度和積分理論為概率論的公理化發(fā)展供應了新的手段。柯爾莫哥洛夫(Kolmogoroff，1903-1987，前蘇聯(lián)）

1929《一般測度論和概率計算》以測度論和實變函數(shù)論為基礎對概率論公理作了初步論述；1933《概率論的基本概念》提出了概率論的公理化結構，明確了概率的定義和概率論的基本概念

柯爾莫哥洛夫的方法是從概率的一些主要性質入手，這些性質無論是建立在古典的定義上還是建立在統(tǒng)計的定義上都有效，他不僅起先了把概率論發(fā)展成