第18章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算

18.1計算結(jié)構(gòu)位移的目的18.2功與虛功原理18.3計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式18.5圖乘法第18章靜定結(jié)構(gòu)的位移計算小結(jié)18.4荷載作用下的位移計算18.6支座移動時的位移計算18.7彈性體系的幾個互等定理?截面的移動稱為線位移，截面的轉(zhuǎn)動稱為角位移。18.1計算結(jié)構(gòu)位移的目的18.1.1變形和位移?結(jié)構(gòu)在荷載、溫度變化、支座位移和制造誤差等各種因素作用下會發(fā)生變形。?

結(jié)構(gòu)的位移指結(jié)構(gòu)中桿件橫截面位置的改變，分線位移和角位移兩種。?在平面結(jié)構(gòu)的位移計算中，通常采用水平位移分量和豎直位移分量來表示線位移。?通常將線位移、角位移、相對線位移及相對角位移統(tǒng)稱為廣義位移，記為?。舉例：剛架C點的水平、豎直位移和轉(zhuǎn)角梁C截面的豎直位移和轉(zhuǎn)角平面懸臂剛架的變形及自由端的位移和轉(zhuǎn)角在計算超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力時，除了平衡條件外，還必須考慮結(jié)構(gòu)的變形和位移條件。因此，位移計算是計算超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。18.1.2位移計算的目的?計算結(jié)構(gòu)位移的一個目的是為了校核結(jié)構(gòu)的剛度。校核結(jié)構(gòu)的剛度，一般就是檢驗結(jié)構(gòu)中的某一位移是否超過規(guī)定的允許值，以防止結(jié)構(gòu)因產(chǎn)生過大的變形而影響其正常的使用。?計算結(jié)構(gòu)位移的另一個目的是為了求解超靜定結(jié)構(gòu)。18.2功與虛功原理F112AB112118.2.1實功與虛功1.位移的表示方法集中荷載F1作用點沿F1方向的位移，記為。第一個下標(biāo)1表示此位移是與F1相對應(yīng)的位移；第二個下標(biāo)1表示此位移是荷載F1引起的，如圖示。2.功的表示方法（1）實功：力在其自身引起的位移上所做的功。由于自身引起的位移總與力的方向一致，故實功恒為正。應(yīng)注意實功算式前的系數(shù)1/2。荷載在上述加載過程中所做的功為力做功用Wij表示，有兩個下標(biāo)：第一個下標(biāo)表示做功的力；第二個下標(biāo)表示位移的產(chǎn)生原因。這相當(dāng)于F-△圖中三角形Oab的面積。ab011FF1（2）虛功：力在與其自身無關(guān)的相應(yīng)位移上所做的功。當(dāng)時，Wij表示做功的力與產(chǎn)生位移的不是一個力。位移是荷載所引起，與荷載沒有任何關(guān)系。22121F12ABF2當(dāng)位移與力的方向一致時，虛功為正功；方向相反時，虛功為負(fù)。虛功算式前的系數(shù)為1。實功的力與位移彼此不獨立，相互之間存在著一定的關(guān)系。

虛功的力和位移彼此是獨立的。112AB1121Fa）12AB1222F2b)3.虛功的兩個狀態(tài)由于小變形，故符合疊加原理。圖示變形可分解為兩種彼此獨立的狀態(tài)。1F12AB2212F2所謂力狀態(tài)和位移狀態(tài)，必須根據(jù)所討論的虛功來確定。

例如，對虛功來說，圖a所示的狀態(tài)是力狀態(tài)，圖b所示的是位移狀態(tài)。但對虛功來說，如圖b所示的狀態(tài)則是力狀態(tài)，而圖a所示的是位移狀態(tài)。廣義位移：與廣義力相對應(yīng)的位移，分別是線位移或角位移、相對線位移或相對角位移。4.廣義力與廣義位移廣義力：做功的力可以是一個集中力或一個集中力偶，也可以是一對集中力或一對集中力偶，甚至可以是某一力系。ABMeAABMeAMeBF1F2F2F1a）一個集中力偶b）一對集中力偶c）一個力系Me18.3.2虛擬狀態(tài)中的單位廣義力單位荷載法不僅可以計算線位移，也可以計算其他性質(zhì)的位移，如角位移、相對位移等。例如欲求某截面的轉(zhuǎn)角，則應(yīng)在該截面處加一個單位力偶。欲求某點的線位移，就應(yīng)該在該點沿所求位移的方向加一個單位集中力。欲求兩點沿其連線方向上的相對線位移，就應(yīng)該在此兩點沿其連線方向上加一對方向相反的單位集中力。欲求兩截面的相對角位移，則在兩截面處加一對方向相反的單位力偶。欲求桁架某桿的角位移時，則可在該桿的兩端加一對大小等于桿長倒數(shù)、與桿垂直但方向相反的集中力。18.3計算結(jié)構(gòu)位移的一般公式18.3.1單位荷載法如圖所示結(jié)構(gòu)，在荷載F1、F2及支座位移C1、C2等因素作用下，發(fā)生雙點劃線所示變形，這一狀態(tài)稱為實際狀態(tài)?，F(xiàn)在要計算實際狀態(tài)中C點的豎向位移。為了利用虛功方程求C點的豎向位移，應(yīng)選取一個虛設(shè)的力狀態(tài)，如圖所示，即在C點處沿其豎向位移方向施加一單位集中力FC

=1。由于力狀態(tài)是虛設(shè)的，故稱為虛擬狀態(tài)。式中虛擬狀態(tài)中的支座反力；實際狀態(tài)中相應(yīng)的支座位移；支座反力所做虛功之和。虛擬狀態(tài)的外力在實際狀態(tài)的位移所做的總虛功為簡寫為因為實際狀態(tài)中支座A處位移為零，故虛擬狀態(tài)中A處支座反力所做虛功為零，即在表達(dá)式中該項為零。18.2.2虛功原理1.外力虛功力狀態(tài)的外力（包括作用的荷載和支座反力）在位移狀態(tài)的相應(yīng)位移上所做的虛功稱為外力虛功。圖示外力虛功總和為2.內(nèi)力虛功由于位移狀態(tài)中各桿件發(fā)生了變形，力狀態(tài)中各桿件的內(nèi)力在位移狀態(tài)中相應(yīng)的變形（相對位移）上也做了虛功，稱為內(nèi)力虛功，或變形虛功。qF1a）FR2R3FR1F2M2求一根桿件的內(nèi)力虛功可將上式沿桿長

積分，整個結(jié)構(gòu)的內(nèi)力虛功總和即對所有桿求和；對整根桿積分；力狀態(tài)中微段dx上的各內(nèi)力在位移狀態(tài)中微段的相應(yīng)變形上所做的虛功之和為式中dxb）ABDCCABDd）e）c）2）虛功原理在實際應(yīng)用中有兩種方式：

虛力原理——虛荷載法；

虛位移原理——虛位移法。3.變形體的虛功原理設(shè)變形體在力系的作用下處于平衡狀態(tài)（力狀態(tài)），又設(shè)該變形體由于別的與上述力系無關(guān)的原因作用下，發(fā)生符合約束條件的微小的連續(xù)變形（位移狀態(tài)），則力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的相應(yīng)位移上所做的外力虛功總和（記為We

），等于力狀態(tài)中變形體的內(nèi)力在位移狀態(tài)的相應(yīng)變形上所做內(nèi)力虛功的總和（記為Wi），即虛功方程注意：1）虛位移或虛變形必須與結(jié)構(gòu)的支承條件相協(xié)調(diào)并滿足變形連續(xù)性條件，它必須是結(jié)構(gòu)的支承條件所允許發(fā)生的?！孛恳粭U的全長積分；式中根據(jù)虛功方程有即該式是平面桿件結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，可以求結(jié)構(gòu)上任何點的任何位移。計算結(jié)果若為正，則所求得實際位移方向與所假設(shè)單位力指向相同，為負(fù)則相反?？們?nèi)力虛功為——對結(jié)構(gòu)中所有相關(guān)桿件求和。單位荷載法18.4荷載作用下的位移計算式中微段的變形是由荷載引起的，以Mp、FNP、FSP表示實際狀態(tài)中微段上所受內(nèi)力。由實際變形式中EA——抗拉剛度；GA——抗剪剛度；k——截面的切應(yīng)力分布不均勻系數(shù)，只與截面形狀有關(guān)，對于EI——抗彎剛度；如果結(jié)構(gòu)只受到荷載作用，且不考慮支座位移的影響，則位移公式為得到——實際荷載引起的彎矩、軸力、剪力；Mp、FNP、FSP——虛擬單位荷載引起的彎矩、軸力、剪力。Mp、FNP、FSP矩形截面k=1.2，圓形截面k=10/9，薄壁圓環(huán)形截面k=2；（4）拱：拱的位移通常只考慮彎矩變形的影響，但在計算扁平拱的水平位移平面桿系結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式。（1）梁和剛架：軸力和剪力影響很小，位移計算一般只考慮彎矩影響。（2）桁架：桁架內(nèi)力只有軸力，且各桿軸力和截面沿桿長L一般均為常數(shù)。（3）組合結(jié)構(gòu)：組合結(jié)構(gòu)中一些桿件主要承受彎矩，一些桿件主要承受軸力。對于不同類型的結(jié)構(gòu)，還可作如下簡化：或當(dāng)壓力線與拱軸相近時，應(yīng)同時考慮彎曲變形和軸向變形的影響。例18-1試求圖示矩形截面簡支梁中點C的豎向位移Δcy，并比較彎矩和剪力對該位移的影響。梁的EI、GA均為常數(shù)。ABCl/2l/2qABCl/2hbl/2x解：作虛擬狀態(tài)，在C點加一豎向單位荷載F=1。xABCl/2l/2xqABCl/2l/2x作實際狀態(tài)的MP

、FSP

圖，虛擬狀態(tài)的M、FS

圖。M=x/2SF=1/2實際狀態(tài)中AC段的彎矩方程

M

=(lx-x)q22剪力方程為F

=(l-2x)q2SP剪力方程為虛擬狀態(tài)中AC段（0≤x≤l/2）上的彎矩方程為設(shè)坐標(biāo)原點在A點，由于對稱，可以只取左半部分AC段進(jìn)行計算qABCl/2l/2xABCl/2l/2xC點的豎向位移式中第一項是彎矩的影響；第二項是剪力的影響。對矩形截面代入上式，得設(shè)材料的泊松比則當(dāng)時，有可見此時剪力對位移的影響只是彎矩影響的1/39=2.56%,所以通?？陕匀ゲ挥嫛＠?8-2

試求圖示剛架C點的轉(zhuǎn)角，各桿的EI均為常數(shù)。qEIAEIBCll解：作虛擬狀態(tài)，在C點加的一個單位集中力偶M=1。作Mp

圖和M圖。qEIAEIBClla)M=-

Pql22M

=-1AB桿為M=-

Pqx22M

=-1各桿的x坐標(biāo)軸，水平桿以C點為原點，向左為正。豎桿以B點為原點，向下為正。則BC桿的彎矩方程為代入得C點的轉(zhuǎn)角為()qEIAEIBCllxx例18-3

試求圖示對稱桁架節(jié)點I的豎向位移，各桿采用的型鋼規(guī)格已在圖所示桁架的右半部分桿件旁標(biāo)出。材料的彈性模量E=2.06×10MPa。5解：實際狀態(tài)中各桿的軸力FNP如b圖示。虛擬狀態(tài)是在I點加一豎向集中力F=1作為單位荷載，此時各桿的FN如圖c所示。由于對稱只需計算左半邊桁架。計算位移時可列成表格進(jìn)行，位于對稱軸上的DI桿的截面面積和軸力都只取一半數(shù)值。最后，取桁架左半邊各桿的總和再乘以2，便得桿件m/lABBCCD上弦1.501.501.5021.7221.7221.72-155-155-265-0.5-0.5-1.55.355.3527.45下弦HI3.0015.82+220+141.72豎桿BHDI/21.51.59.614.80-90-450000AH2.127.79+219+0.7142.32斜桿CHCI2.122.129.614.72-91.92+63.64-0.71+0.7114.4020.291）各桿件的桿軸為直線。2）各桿段的EI為常數(shù)。

3）各桿段的Mp圖和M圖中至少有一個是直線圖形。18.5圖乘法18.5.1圖乘法公式的推導(dǎo)計算梁和剛架在荷載作用下的位移時，需先列出Mp和M的方程式，然后再代入積分式求解。當(dāng)桿件數(shù)目較多，荷載較復(fù)雜時，這個運(yùn)算過程是很麻煩的。但是如果結(jié)構(gòu)各桿段均滿足下列3個條件，則可通過使積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為兩個彎矩圖相乘的方法（即圖乘法），使計算簡化。二、圖乘法證明結(jié)論：在滿足前述條件下，積分式之值等于某一圖形面積乘以該面積形心所對應(yīng)的另一直線圖形的縱y0,再除以EI。yxoyyodxdMP(x)MK(X)xxoBA18.5.2圖乘法的應(yīng)用1.分段

（1）按EI的改變點進(jìn)行分段：以保證圖乘段落中的EI是常數(shù)，計算公式為（2）按求縱坐標(biāo)的圖形的轉(zhuǎn)折點進(jìn)行分段：以保證取縱坐標(biāo)的圖形，在圖乘段落中必須是一條直線圖形，計算公式為（3）按求面積的圖形分段：以保證求面積的圖形，面積容易求、形心位置容易找。2.圖形的處理當(dāng)圖乘段落分好后，可根據(jù)疊加原理將復(fù)雜的MP圖或M圖分解成幾個易于確定其面積及形心位置的簡單圖形，分別與另一圖形相乘，然后再疊加所得結(jié)果。以下給出在不同情況下應(yīng)用圖乘法時面積A與縱坐標(biāo)yC的選取方法。1)MP、M圖均為梯形時，可不求梯形的形心，而將一個梯形分為兩個三角形(或者分為一個矩行和一個三角形），分別對其應(yīng)用圖乘法。計算公式為M

圖PM

圖兩圖均為梯形a)分兩個三角形b)分一個矩形和一個三角形其中、圖均為反梯形時，即一部分在桿的一側(cè)，即一部分在桿的另一側(cè)時，可將圖看作兩個三角形，一個三角形ACB在上邊，高度為a；一個三角形ABD在下邊，高度為b,分別對其應(yīng)用圖乘法，即兩圖均為反梯形M

圖PM

圖4)圖乘時常遇是非標(biāo)準(zhǔn)的二次拋物線圖形。圖示為一直桿段在均布荷載作用時可能出現(xiàn)的幾種彎矩圖。這些非標(biāo)準(zhǔn)的二次拋物線圖形均可看成由兩個彎矩圖疊加而成，一個是作用在桿兩端的彎矩所引起的直線圖形，另一個是由均布荷載引起的標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形。因此，圖乘時可將它們分成為上述二個圖形后再分別相乘。

為非標(biāo)準(zhǔn)拋物線的幾種情況例如為梯形ABCD的面積，為標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形的面積。因為面積與相應(yīng)豎標(biāo)在桿的不同側(cè)，因此計算公式中該項乘積應(yīng)取負(fù)值。ABCDa)b)CDc)對圖a、d所示的、圖，可根據(jù)疊加原理將圖分為圖b、c兩圖形，并分別將其與圖進(jìn)行圖乘，然后取其代數(shù)和即為所求結(jié)果，則有d)ABCD標(biāo)準(zhǔn)拋物線的面積和形心a)～c)二次標(biāo)準(zhǔn)拋物線d)三次標(biāo)準(zhǔn)拋物線3)圖乘時如遇是二次或三次標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形（所謂標(biāo)準(zhǔn)拋物線，是指頂點在端點或在中點的拋物線），計算時可以直接在下圖中查取面積和形心位置。應(yīng)用圖乘法的計算步驟

【例6-7】試求圖a所示簡支梁跨中截面C的撓度DCV和B端的轉(zhuǎn)角qB。已知EI=常數(shù)。解：(1)作實際荷載彎矩圖MP，如圖b所示。

1）作實際荷載彎矩圖MP圖。

3）用圖乘法公式求位移。

2）加相應(yīng)單位荷載，作單位彎矩圖圖。qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP圖a)b)

(3)用圖乘法公式求位移將MP圖與圖相乘，則得

(2)加相應(yīng)單位荷載，作單位彎矩圖qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP圖a)b)AABBCCy01y02y0l/4111圖圖c)d)AllRightsReserved重慶大學(xué)土木工程學(xué)院?將MP圖與圖相乘，則得()AABBCCy01y02y0l/4111圖圖c)d)qABCll/2l/2ABCql2/8A1A2A0MP圖a)b)18.5.3圖乘法的示例例18-4如圖所示梁的EI=1000kN·m。試用圖乘法求梁跨中點C截面的豎向位移。解：（1）建立求的虛擬狀態(tài)（2）作實際狀態(tài)的圖：求得（3）作虛擬狀態(tài)的M圖：求得（4）圖乘：顯然BD段不需計算。應(yīng)注意到AB段的圖形，

M圖是直線圖形，而M圖則是折線圖形，不是一條直線圖形，只有分段才能圖乘。第1種算法：在M圖上取豎標(biāo)，必須分AC段和CB段計算。

圖上的3個三角形的面積A1、A2、A3以及形心C1、C2、C3所對應(yīng)的另一個圖上的豎標(biāo)y1、y2、y3如圖所示。計算中應(yīng)按相乘的A和yC在基線同旁或不同旁判定正或負(fù)號。b)對

圖上CB段的梯形用對角線分解為兩個三角形。b)第2種算法：在圖上取豎標(biāo)，則不需分段。由M圖不難求出面積及形心位置，以及在

圖上的相應(yīng)縱坐標(biāo)，算得計算結(jié)果是負(fù)表明：C點的豎向線位移與虛擬力的方向相反。例18-5試用圖乘法求圖示剛架C點的豎向位移，EI=常數(shù)。解：（1）建立虛擬狀態(tài)：在C點加一個豎向的單位力。ABC2EIaaEIqABC2EIaaEI1（2）作實際狀態(tài)的圖，如圖a：（3）作虛擬狀態(tài)的M圖，如圖b：方法1：注意到圖上C處是拋物線頂點，即為標(biāo)準(zhǔn)拋物線，算得（4）用圖乘公式求位移：方法2：如果看不出圖在C處是拋物線頂點，把它看成非標(biāo)準(zhǔn)拋物線，可用虛直線連接BC兩端點，將它看成由一個三角形和一個非標(biāo)準(zhǔn)拋物線組成。算得

例2.圖示梁EI

為常數(shù)，求C點豎向位移。l/2ql/2MP§6-5

圖乘法l/2ql/2MP§6-5

圖乘法l/2ql/2MP§6-5

圖乘法例3.試求圖示結(jié)構(gòu)B點豎向位移。解:MPMi§6-5

圖乘法18.6支座移動時的位移計算支座移動時K點的位移計算a)實際狀態(tài)b)虛擬狀態(tài)靜定結(jié)構(gòu)由于支座移動不產(chǎn)生內(nèi)力，也不產(chǎn)生變形，結(jié)構(gòu)上的各點只發(fā)生剛體位移。如圖所示剛架，其支座A發(fā)生了水平位移、豎向位移和轉(zhuǎn)角?，F(xiàn)求剛架上任意一點K沿任意方向（如k-k）的位移，第二個下標(biāo)C表示此位移是由支座移動引起的。仍用單位荷載法，實際狀態(tài)沒有變形，因此，位移計算的一般公式簡化為如下形式式中——虛擬狀態(tài)下的支座反力；——實際狀態(tài)下的支座位移；——反力虛功。式中有關(guān)正負(fù)號規(guī)定如下：當(dāng)虛擬支座反力方向與實際支座位移方向一致時，其乘積取正值，反之取負(fù)值。靜定結(jié)構(gòu)在支座發(fā)生移動時的位移計算公式例18-7如圖所示剛架中，支座B有豎向沉陷b，試求D點的水平位移。解：在D點加一水平方向單位力F=1，得虛擬狀態(tài)如圖示，計算虛擬狀態(tài)下各支座反力得注意：因為實際狀態(tài)下支座A無任何位移發(fā)生，故相應(yīng)虛擬狀態(tài)下支座A處的反力所做虛功為零。例18-8如圖所示三鉸剛架，支座B向右水平移動了2cm，向下豎向移動了6cm，試求頂鉸C的豎向位移和C兩側(cè)截面的相對轉(zhuǎn)角。（1）求C點豎向位移：解：作虛擬狀態(tài)，在C點加豎向單位荷載F=1。C點的豎向位移根據(jù)靜力平衡條件，可求出支座反力為（2）求鉸C兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角：作虛擬狀態(tài)，加一對作用在鉸C兩側(cè)截面的集中力偶

=1。計算結(jié)果是負(fù)表明：鉸C兩側(cè)截面相對轉(zhuǎn)角與虛擬力偶方向相反。此時的支座反力為18.7彈性體系的幾個互等定理彈性體系有4個互等定理:功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理、反力與位移互等定理。18.7.1功的互等定理第一狀態(tài)第二狀態(tài)一彈性結(jié)構(gòu)分別承受力、兩種狀態(tài)（圖a、b），圖a為結(jié)構(gòu)的第一狀態(tài)，b為第二狀態(tài)。圖c過程中外力所做總功為圖d過程中外力所做總功為因為外力所做的總功與加載次序無關(guān)功的互等定理:第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的相應(yīng)位移上所做的虛功等于第二狀