八年級(jí)一元一次不等式(教師講義帶答案)

第四章元一不式()考一不式概分1、不等式：用不等號(hào)表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不等式的解。3、對(duì)于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的所有解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡(jiǎn)稱(chēng)這個(gè)不等式的解集。4、求不等式的解集的過(guò)程，叫做解不等式。5、用數(shù)軸表示不等式的方法考二不式本質(zhì)分1、不等式兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。2、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。3、不等式兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。4、說(shuō)明：在一元一次不等式中，不像等式那樣，等號(hào)是不變的，是隨著加或乘的運(yùn)算改變。②如果不等式乘以0，那么不等號(hào)改為等號(hào)所以在題目中求出乘以的數(shù)，那么就要看看題中是否出現(xiàn)一元一次不等式，如果出現(xiàn)了，那么不等式乘以的數(shù)就不等為，否則不等式不成立；考三一一不式）1、一元一次不等式的概念：般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等式的兩邊都是整式，這樣的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步驟）去分母（2）去括號(hào)（3）移項(xiàng)（4）合并同類(lèi)項(xiàng)（）將x項(xiàng)的系數(shù)化為1考四一一不式分1、一元一次不等式組的概念：幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組。2、幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集。3、求不等式組的解集的過(guò)程，叫做解不等式組。4、當(dāng)任何數(shù)x都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集。5、一元一次不等式組的解法（1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集（2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。6、不等式不等式組不等式：①用符號(hào)連接的式子叫不等式。②不等式的兩邊都加上或減去同一個(gè)整式，不等/

號(hào)的方向不變。③不等式的兩邊都乘以或者除以一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變。④不等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向相反。7、不等式解集：①能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。②一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。③求不等式解集的過(guò)程叫做解不等式。經(jīng)例透析類(lèi)一解一一不等組1、解不等式組，把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。思點(diǎn)：求出不等式①②的解集，然后在數(shù)軸上表示不等式①②的解集，求出它們的公共部分即不等式組的解集。解：不等式①，得x－；解不等式②，得x＜1。所以不等式組的解集為－≤x＜1在數(shù)軸上表示不等式①②的解集如圖。總升：數(shù)軸表示不等式組的解集時(shí)，要切記：大于向右畫(huà)，小于向左畫(huà)。有等號(hào)畫(huà)實(shí)心圓點(diǎn)，等號(hào)畫(huà)空心圓圈。舉反：【變式1】不等式組：解：不等式①，得：解不等式②，得：在數(shù)軸上表示這兩個(gè)不等式的解集為：/

∴原不等式組的解集為：【變式2】不等式組：思點(diǎn)：理解一元一次不等式組時(shí)要注意以下兩點(diǎn)：（1）不等式組里不等式的個(gè)數(shù)未規(guī)定；（2）在同一不等式組里的未知必須是同一（3）注意在數(shù)軸表示解集時(shí)“心點(diǎn)”與“實(shí)心點(diǎn)”的區(qū)別解一解等式①，得：解不等式②，得：解不等式③，得：在數(shù)軸上表示這三個(gè)不等式的解集為：∴原不等式組的解集為：解二解等式②，得：解不等式③，得：由再與

與

得：求公共解集得：.【變式3】不等式組：/

解析：解不等式①得：x＞解不等式②得：x＜∴不等式組的解集為無(wú)解【變式4】不等式：－1＜≤5思點(diǎn)：把寫(xiě)不等式轉(zhuǎn)化為等式組求解(2)據(jù)不等式的性質(zhì)，直接求出連寫(xiě)不等式的解集。解1原不等式可化為下面的不等式組解不等式①，得x＞－1，不式②，得x≤8所以不等式組的解集為－。即原不等式的解集為1＜x解2－1＜≤5－3＜2x－1≤15－2＜2x，－1＜x≤8。所以原不等式的解集為－1＜x≤8總升：于連寫(xiě)形式的不等式可以化成不等式組來(lái)求解，而對(duì)于只有中間部分含有未知數(shù)的連寫(xiě)式的不等式也可以按照解不等式的步驟求解，如解法2.【變式5】不等式組

的整數(shù)解。思點(diǎn)：照不等式組的解法，先求出每個(gè)不等式的解集，在數(shù)軸上表示出各個(gè)不等式的解集，取公共部分得到不等式的解集，再在不等式組的解集內(nèi)求出符合要求的整數(shù)解。解：不等式①，得x≥；不等式②，得≤4在數(shù)軸上表示不等式①②的解如圖)/

所以不等式組的解集為≤x。所以它的整數(shù)解為。類(lèi)型二、參數(shù)的一元次不等式組2、若不等式組

無(wú)解，求a的值范圍.思點(diǎn)：兩個(gè)不等式組成的不等式組無(wú)解只有一種情況，即“大大小小”，也就是說(shuō)如果x比一個(gè)較大的數(shù)大，而比一個(gè)較小的數(shù)小，則這樣的數(shù)x不在解：題意：2a-5≥3a-2，解得a

≤-3總升：別地，當(dāng)與相等時(shí)，原不等式組也無(wú)解，請(qǐng)注意體會(huì)，以后做此類(lèi)型的題目不要忽略對(duì)它們相等時(shí)的考.舉反：【變式1】不等式組

無(wú)解，則

的取值范圍是什么？解：使不等式組無(wú)解，故必須

，從而得.【變式2】關(guān)于

的不等式組

的解集為，的取值范圍是什么？解：而由

+1可出可解出

，，而不等式組的解集為

，故即

，.總升：面兩個(gè)例題給出不等式組的解集，反求不等式中所含字母的取值范圍，故要求較解這類(lèi)題目的關(guān)鍵是對(duì)四種基本不等式組的解集的意義要深刻理解，如變式2，后歸結(jié)為對(duì)不等式組求熟悉“同小取小”的解集確定方法，當(dāng)然也可借助數(shù)軸求解。

解集的確定，這就要/

【變式3】等式組

的解集為x＜2試求k的取范.解：

，由①得x由②得x＜k∵不等式組的解集為＜2∴2≤即≥2.【變式4】知關(guān)于的等式組解：不等式組的解為不等式組的解為

的整數(shù)解共有5個(gè)，求

的取值范圍。由于原不等式組有解，∴解集為在此解集內(nèi)包含5個(gè)數(shù)，則這個(gè)整依次是∴必滿(mǎn)足【變式5】不等式組解：①知x＞a＋2，由②知x，

的解集為－＜x＜1，則(a＋b)＝＿＿＿。∵a＋2＝－1，＝1，∴a＝－3，b＝2∴a＋b＝－1，＋b)＝(－1)＝1類(lèi)型三、立不等式或等式組解決際問(wèn)題3、某校在一次外出郊游中，把生編為個(gè)組若每組比預(yù)定的人數(shù)多1人，則學(xué)生總數(shù)超過(guò)人；若每組比預(yù)定的人數(shù)少1人，則學(xué)總數(shù)不到190人，預(yù)定每組學(xué)生的人數(shù)。思點(diǎn)：用不等式解應(yīng)用題的方法，找出題目中的不等關(guān)系，列不等式組，本題中的兩個(gè)不等關(guān)是：①9個(gè)小組中每組比預(yù)定的人數(shù)多1人，生總數(shù)超過(guò)200；②9個(gè)組每組比預(yù)定的人數(shù)少1人，學(xué)生總數(shù)不到190人。解：預(yù)定每組學(xué)生有x人，據(jù)題意，得/

解這個(gè)不等式組，得，以不等式組的解集是，其中符合題意的整數(shù)解只有一個(gè)x。答預(yù)定每組學(xué)生的人數(shù)為22人?？偵翰坏?組解應(yīng)用題，先將題目中的不等關(guān)系用不等式表示出來(lái)，當(dāng)求得未知數(shù)的值后，要檢驗(yàn)，一是檢驗(yàn)所求值是否是原不等式或不等式組的解，二是檢驗(yàn)所求得的值是否與實(shí)際意義相符。舉反：【變式1】飲料廠為了開(kāi)發(fā)新產(chǎn)品，用兩種果汁原料各19千克17.2千克，試制甲、乙種新型飲料共50千，下表是試驗(yàn)的相關(guān)數(shù)據(jù)：飲料每千克含量A（單位：千克）B（單位：千克）

甲0．50．3

乙0．20．4（1）假設(shè)甲種飲料需配制x千，請(qǐng)你寫(xiě)出滿(mǎn)足題意的不等式組，并求出其解集。（2）設(shè)甲種飲料每千克成本為4元，種飲料每千克成本為3元這兩種飲料的成本總額為y元，請(qǐng)用含有x的子來(lái)表示y。并根據(jù)（）的運(yùn)算結(jié)果，確定當(dāng)甲種飲料配制多少千克時(shí)，甲、乙兩種飲的成本總額最??？解：（10.5x+0.2(50-x)≤19①0.3x+0.4(50-x)≤17.2②由①得x由得x≥28∴28≤30（2，即因?yàn)閤越，則y越小所以當(dāng)x=28時(shí)甲、乙兩種飲料的成本總額最少?！咀兪?】某園林的門(mén)票每張10，一次使用?？紤]到人們的不同需求，也為了吸引更多的游客，該園林除保留原來(lái)的售票方法外，還推出了一種“購(gòu)買(mǎi)個(gè)人年票”的售票方法（個(gè)人年票從購(gòu)買(mǎi)日起，可供持人使用一年）。年票分A、B、C三類(lèi)：類(lèi)票每張120元，持票者進(jìn)入園林時(shí)，無(wú)需再購(gòu)買(mǎi)門(mén)票B類(lèi)票每張60，持票者進(jìn)入該園林時(shí)，需再購(gòu)買(mǎi)門(mén)票，每次2元；C年票每張40元持票者進(jìn)入該園林時(shí)，需要再購(gòu)買(mǎi)門(mén)票，每次。（1）如果你只選擇一種購(gòu)買(mǎi)門(mén)的方式，并且你計(jì)劃在一年中用80元花該園林的門(mén)票上，試過(guò)計(jì)算，找出可使進(jìn)入該園林的次數(shù)最多的購(gòu)票方式。（2）求一年中進(jìn)入該園林至少少次時(shí)，購(gòu)買(mǎi)A年票才比較合算。思點(diǎn)：“算”是指進(jìn)園次數(shù)多而花錢(qián)少，或是花相同的錢(qián)進(jìn)園的次數(shù)最多，顯然是通過(guò)計(jì)算進(jìn)行代數(shù)式比較和建立不等式（組）關(guān)系。解（1）不可能選A類(lèi)年，若選B類(lèi)票，則為10次若選C類(lèi)票，則為13次若不購(gòu)買(mǎi)年票，則為8次所以計(jì)劃用80元花該園林的門(mén)票上時(shí)，選擇購(gòu)買(mǎi)年票的方法進(jìn)入園林的次數(shù)最多，為13次（2）設(shè)至少超過(guò)x次，購(gòu)買(mǎi)年票才比較合算，則60+2x＞120解x＞3040+3x＞120解得x＞26/

解得x＞12∴x＞30所以，一年中進(jìn)入該園林至少超過(guò)30時(shí)，購(gòu)買(mǎi)年票才比較合算。【變式3】若干名學(xué)生，若干間舍，若每間住4將有人無(wú)法安排住處；若每間住8人則一間宿舍的人不空也不滿(mǎn)，問(wèn)學(xué)生有多少人？宿舍有幾間？解析：設(shè)宿舍共有x間。解得：5＜x＜7∵x為整數(shù)∴x＝6學(xué)生人數(shù)4×6＋20＝44(人)答：學(xué)生44人宿舍6間【變式4】某學(xué)校計(jì)劃組織385名生租車(chē)旅游，現(xiàn)知道出租車(chē)公司有42座和60座客車(chē)，42座車(chē)的租金為每輛320元，60座客的租金為每輛元，（1）若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種客各需多少錢(qián)？（2）若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客（可以坐不滿(mǎn)），而且比單獨(dú)租用一種車(chē)輛節(jié)省租金，請(qǐng)選最節(jié)省的租車(chē)方案。解析：）385÷42≈9.2單租用42座客車(chē)需10輛，金為320×10＝3200(元)385÷60單租用60座車(chē)需輛，金為＝3220(元（2）設(shè)租用42座車(chē)x輛，60座車(chē)(輛解得：因x取數(shù)x＝4，5當(dāng)x＝4時(shí)，租金為320×4－4)＝3120()當(dāng)x＝5時(shí)，租金為320×5－5)＝2980()所以租5輛42座，3輛60座省錢(qián)?！咀兪健拷獬?。絕對(duì)值的幾何意義知，該程表示求在數(shù)軸上與1和－的距之和為5的對(duì)應(yīng)的的值。在數(shù)軸上和2的距為3，滿(mǎn)足方程的x對(duì)點(diǎn)在右邊或－2的邊，若x對(duì)應(yīng)點(diǎn)在1的邊，由圖17）可以看出x＝2同理，若x對(duì)點(diǎn)－的左，可得＝，故原方程的解是或－3/

參考閱讀材料，解答下列問(wèn)題：（1）方程

的解為（2）解不等式

≥9；/

（3）若

≤a對(duì)任的x都立，求a的取范圍解）1或

．（2）

和

的距離為7，/

因此，滿(mǎn)足不等式的解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

的兩側(cè)．當(dāng)

在3的右時(shí)，如圖（易知

．/

當(dāng)圖（2

在

的左邊時(shí)，如易知

．/

原不等式的解為

或（3）原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：

大于或等于/

最大值．當(dāng)

時(shí)，

，當(dāng)

，

隨/

的增大而減小，當(dāng)

時(shí)，

，即

的最大值為7．/

故．12分一次不等（組）中參取值范圍求解巧(提部分)已知一次不等式（組）的解集（特解），求其中參數(shù)的取值范圍，以及解含方程與不等式的混組中參變量（參數(shù)）取值范圍，近年在各地中考卷中都有出現(xiàn)。求解這類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，靈活性大，蘊(yùn)含著不少技能技巧。下面舉例介紹常用的五種技巧方法。一化不式組，較式解例．不等式

的解集為，k值解化不等式，得x≤5k，比較知解集例．（2014年?yáng)|威海市中考題）若不等組A、m≥3B、m=3C、m<3、m≤3

，得，。的解集是x>3，則m的值范圍（）解化不等式組，得

，比較已知解集x>3，得3≥m,選。例．（2014年慶市中考題）若不等式組

的解集-1<x<1，那么a+1)(b-1)的等于____。解化不等式組，得∵它的集-1<x<1，∴∴(a+1)(b-1)=-6.

也為其解集，比較得/

評(píng)：一次不等式（組）化簡(jiǎn)后未知數(shù)系數(shù)不含參數(shù)（字母數(shù)），比較已知解集列不等式（組）或列方程組來(lái)確定參數(shù)范圍是一種常用的基本技巧。二結(jié)性、照解例．（2014年江蘇鹽城市中考題）知關(guān)于x不等(1-a)x>2的集為A、a>0BC、a<0、a<1解對(duì)已知解集，結(jié)合不等式性3：1-a<0,即a>1選。

，則a的值范圍是（）例．（2014年北荊州市中考題）若不等組

的解集是，則a的值范圍（）。A、a<3BC、a>3、a解根定不等式組解集法則：“大取較大”，對(duì)照已知解集x>a,得a≥3,∴選D。變（2014年重慶市初數(shù)賽題）關(guān)x的不等(的解集是集為_(kāi)_____。三利性，類(lèi)解

，則關(guān)于x的等式ax+b<0的解例．知不等式

的解集是，的值范圍。解由集

得x-2<0,脫去絕對(duì)值號(hào)，得。當(dāng)a-1>0時(shí)，解集

與已知解集

矛盾；當(dāng)a-1=0時(shí)，為0·x>0無(wú)；當(dāng)a-1<0時(shí)，解集∴

與解集

等價(jià)。例．不等式組

有解，且每一個(gè)解x均不在1≤x范圍內(nèi)，求取值范圍。解化不等式組，得∵它有解，∴5a-6<3aa<3；用解集性質(zhì)，題意轉(zhuǎn)化為：其每一解在x<-1或x>4內(nèi)。于是分類(lèi)求解，當(dāng)x<-1時(shí)得當(dāng)時(shí)得a>2。故

，或2<a<3為求。/

評(píng)：(1)未知數(shù)系數(shù)含參數(shù)的一次不等式，當(dāng)不明確未知數(shù)數(shù)正負(fù)情況下，須得分正、零、負(fù)討論求解；對(duì)解集不在a≤x<b范圍內(nèi)的不等式()也可分x<a求解(2)要細(xì)心體驗(yàn)所列不等式中是能取等號(hào)，必要時(shí)畫(huà)數(shù)軸表示解集分析等號(hào)。四借數(shù)，析解例8山東聊城中考題關(guān)的不等式組

的整數(shù)解共5個(gè)a的取范________解化不等式組，得

有解，將其表在數(shù)軸上，如圖1，其整數(shù)解個(gè)必x=1,0,-1,-2,-3由圖得：-4<