隨機抽樣【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修講義

隨機抽樣第九章統(tǒng)計隨機抽樣第九章統(tǒng)計了解用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)2、掌握全面調(diào)查與抽樣調(diào)查3、理解分層抽樣的步驟探索新知探索新知一、隨機抽樣

像人口普查那樣，對每一個調(diào)查對象都驚醒調(diào)查的方法，稱為全面調(diào)查，又稱普查.在一個調(diào)查中，我們把調(diào)查對象的全體成為總體，組成總體的每一個調(diào)查對象成為個體.

像這樣，根據(jù)一定目的，從總體中抽取-一部分個體進行調(diào)查，并以此為依據(jù)對總體的情況作出估計和推斷的調(diào)查方法，稱為抽樣調(diào)查.我們把從總體中抽

取的那部分個體稱為樣本，

樣本中包含的個體數(shù)稱為樣本量.調(diào)查樣本獲得的變量值稱為樣本的觀測數(shù)據(jù)，簡稱樣本數(shù)據(jù).

二、簡單的隨機抽樣

一般地，設(shè)一個總體含有N

(N為正整數(shù))個個體，從中逐個抽取n

(1≤n<N)個個體作為樣本，如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內(nèi)的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣;如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內(nèi)未進人樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣.放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣.通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本.1、抽簽法（1）概念先給總體中的N個個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質(zhì)地等無差別的小紙片（也可以是卡片、小球等）上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分?jǐn)嚢?，最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，知道抽足樣本所需要的個數(shù)（2）優(yōu)缺點優(yōu)點：簡單易行，當(dāng)總體較小時，號簽攪拌均勻很容易，個體有均等的機會被抽取，從而能保證樣本的代表性缺點：當(dāng)總體較大時，費時、費力，且號簽很難被攪拌均勻，產(chǎn)生的樣本代表性差，導(dǎo)致抽樣的不公平2、隨機數(shù)法（1）概念對總體中的N個個體編號，用隨機數(shù)工具產(chǎn)生編號范圍內(nèi)的整體隨機數(shù)，把產(chǎn)生的隨機數(shù)作為抽中的編號，使與編號對應(yīng)的個體進入樣本，重復(fù)上述過程，知道抽足樣本所需要的個數(shù)，如果生產(chǎn)的隨機數(shù)有重復(fù)，即統(tǒng)一編號被多次抽到，可以剔除重復(fù)的編號并產(chǎn)生隨機數(shù)，直到產(chǎn)生的不同編號個數(shù)等于樣本所需要的個數(shù)（2）優(yōu)缺點優(yōu)點：簡單易行，它很好的解決了抽簽法中遇到的當(dāng)總體個數(shù)較多時制簽難、號簽很難被攪拌均勻的問題缺點：當(dāng)總體較大時，需要的樣本容量較大時，不太方便概念辨析一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為，,

.，，則稱

==

為總體均值，又稱總體平均數(shù)，如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記

為，,

...，其中;出現(xiàn)的頻數(shù):

(i=1,

2,

....k)，則總體均值還可以寫成加權(quán)平均數(shù)的形式

=

如果從總體中抽取-一個容量為n的樣本，它們的變量值分別

為，，...

，則稱

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)

為樣本均值，又稱樣本平均數(shù).在簡單隨機抽樣中，我們常用樣本平均數(shù)去估計總體平均數(shù).

三、分層隨機抽樣

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣,每一個子總體稱為層.在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.概念辨析思考1思考1

1.某學(xué)校共有1000名學(xué)生參加知識競賽，其中男生400人，為了解該校學(xué)生在知識競賽中的情況，采取分層抽樣隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查，分?jǐn)?shù)分布在450～950分之間，根據(jù)調(diào)查的結(jié)果繪制的學(xué)生分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的學(xué)生稱為“高分選手”．（參考公式：K2=nP(k（1）求a的值，并估計該校學(xué)生分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）現(xiàn)采用分層抽樣的方式從分?jǐn)?shù)落在[550,650)，[750,850)內(nèi)的兩組學(xué)生中抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記被抽取的3名學(xué)生中屬于“高分選手”的學(xué)生人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）若樣本中屬于“高分選手”的女生有10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并判斷是否有%％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生

女生

合計

【答案】（1）解：由題意知100×(0.0015+a+0.0025+0.0015+0.001)=1，解得a=0.0035，樣本平均數(shù)為x=500×0.15+600×0.35+700×0.25+800×0.15+900×0.10=670中位數(shù)650，眾數(shù)600（2）解：由題意，從[550,650)中抽取7人，從[750,850)中抽取3人，隨機變量x的所有可能取值有0，1，2，3．P(x=k)=C所以隨機變量X的分布列為：P0123X3563211隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=（3）解：由題可知，樣本中男生40人，女姓60人，屬于“高分選手”的25人，其中女姓10人；得出以下2×2列聯(lián)表；

屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計男生152540女生105060合計2575100K2所以有%％的把握認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高分選手”與性別有關(guān)【考點】眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)【解析】(1)由已知條件結(jié)合平均數(shù)、中位數(shù)以及眾數(shù)的公式代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。

(2)由題意，從[550,650)中抽取7人，從[750,850)中抽取3人，隨機變量X服從超幾何分布，確定X的取值，求對應(yīng)概率即可得到分布列，求出期望即可；

(3)由題可知，樣本中男生40人，女生60人屬于“高消費群”的25人，其中女生10人，列出列聯(lián)表計算出K2=查臨界值表判斷即可.思考2思考22.某家水果店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了近期連續(xù)120天蘋果的日銷售量(單位：kg)，并繪制頻率分布直方圖如下：（1）請根據(jù)頻率分布直方圖估計該水果店蘋果日銷售量的眾數(shù)和平均數(shù)；(同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點的值作代表)（2）一次進貨太多，水果會變得不新鮮；進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能80%地滿足顧客的需求(在10天中，大約有8天可以滿足顧客的需求).請問每天應(yīng)該進多少千克蘋果？(精確到整數(shù)位).【答案】（1）解：如圖示：區(qū)間[80,90)頻率最大，所以眾數(shù)為85，平均數(shù)為：x=(65×0.0025+75×0.01+85×0.04+95×0.035+105×0.01+115×0.0025)×10=89.75.（2）解：日銷售量[60，90)的頻率為0.525<0.8，日銷量[60，100)的頻率為0.875>0.8，故所求的量位于[90,100).由0.8-0.025-0.1-0.4=0.275,得90+0.275故每天應(yīng)該進98千克蘋果【考點】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，隨機抽樣和樣本估計總體的實際應(yīng)用【解析】（1）利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖估計出眾數(shù)和平均數(shù)。

（2）利用已知條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小組的矩形的面積等于各小組的頻率，得出日銷售量[60，90)的頻率為0.525<0.8，日銷量[60，100)的頻率為0.875>0.8，故所求的量位于[90,100)，由0.8-0.025-0.1-0.4=0.275,得出每天應(yīng)該進的蘋果的重量。思考3思考3

3.為了樹立和踐行綠水青山就是金山銀山的理念，加強環(huán)境的治理和生態(tài)的修復(fù)，某市在其轄區(qū)內(nèi)某一個縣的27個行政村中各隨機選擇農(nóng)田土壤樣本一份，對樣本中的鉛、錦、銘等重金屬的含量進行了檢測，并按照國家土壤重金屬污染評價級標(biāo)準(zhǔn)（清潔、尚清潔、輕度污染、中度污染、重度污染）進行分級，繪制了如圖所示的條形圖（1）從輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村中按分層抽樣的方法抽取6個，求在輕度、中度、重度污染的行政村中分別抽取的個數(shù)；（2）規(guī)定：輕度污染記污染度為1，中度污染記污染度為2，重度污染記污染度為3．從（1）中抽取的6個行政村中任選3個，污染度的得分之和記為X，求X的數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）解：輕度污染以上（包括輕度污染）的行政村共9+6+3=18個，所以從輕度污染的行政村中抽取618×9=3個，從中度污染的行政村中抽取618（2）解：X的所有可能取值為3，4，5，6，7．P(X=3)=CP(X=4)=CP(X=5)=CP(X=6)=CP(X=7)=C所以X的分布列為X34567P120310310310120所以E(X)=3×1【考點】分層抽樣方法，離散型隨機變量及其分布列，離散型隨機變量的期望與方差【解析】(1)由分層抽樣的定義代入數(shù)值計算出結(jié)果即可。

(2)根據(jù)題意即可得出X的取值，再由概率的公式求出對應(yīng)的X的概率由此得到X的分布列，結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計算出答案即可。思考4思考44.一機構(gòu)隨機調(diào)查了某小區(qū)100人的月收入情況，將所得數(shù)據(jù)按[1000,2000)，[2000,3000)，[3000,4000)，（1）根據(jù)頻率分布直方圖估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（2）根據(jù)題目分組情況，按分層抽樣的方法在[1000,2000)，[5000,6000)，【答案】（1）解：設(shè)數(shù)據(jù)在[2000,3000m=1-1000×(0.0001+0.00025+0.00025+0.00015+0.00005)=0.2

易知中位數(shù)在[3000,4000設(shè)中位數(shù)為x，則0.0001×1000+0.0002×1000+0.00025×(x-3000)=0.5，解得x=3800．（2）解：收入在[1000,2000)，[5000,6000所以按分層抽樣的方法在各組抽取的人數(shù)分別2，3，1．記收入在[1000,2000)的2人分別為a1，a2，收入在[5000,6000)的3人分別為b1，b通過列舉法可得從這6人中抽取2人的取法有(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3其中至少有一人收入在[5000,6000)的取法有(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3所以至少有一人收在[5000,6000)概率為【考點】頻率分布直方圖，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【解析】（1）設(shè)數(shù)據(jù)在

[2000,3000m=1-1000×(0.0001+0.00025+0.00025+0.00015+0.00005)=0.2，即可求出中位數(shù)；

（2）通過列舉法求出概率。

1.中國數(shù)學(xué)奧林匹克由中國數(shù)學(xué)會主辦，是全國中學(xué)生級別最高、規(guī)模最大、最具影響力的數(shù)學(xué)競賽.某重點高中為參加中國數(shù)學(xué)奧林匹克做準(zhǔn)備，對該校數(shù)學(xué)集訓(xùn)隊進行一次選拔賽，所得分?jǐn)?shù)的莖葉圖如圖所示，則該集訓(xùn)隊考試成績的眾數(shù)與中位數(shù)分別為（

）A.

85，75

B.

85，76

C.

74，76

D.

75，772.在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為16，則乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）A.

12

B.

10

C.

8

D.

63.原油作為“工業(yè)血液”?“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個化工產(chǎn)業(yè)甚至世界經(jīng)濟.小李在某段時間內(nèi)共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現(xiàn)小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是（

）A.

第一種方案更劃算

B.

第二種方案更劃算

C.

兩種方案一樣

D.

無法確定4.藝術(shù)體操比賽共有7位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時,從7個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到5個有效評分．5個有效評分與7個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是(

)A.

中位數(shù)

B.

平均數(shù)

C.

方差

D.

極差參考答案1【答案】B【解析】解：由莖葉圖知，出現(xiàn)的數(shù)據(jù)最多的是85，故眾數(shù)為85；由于數(shù)據(jù)總數(shù)為1