球的表面積和體積【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必修同步練習(xí)（Word含解析）

2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊球的表面積和體積同步練習(xí)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________學(xué)號(hào)：___________一．選擇題若球的半徑為2，則此球的表面積是(????)A.12π B.16π C.16π3 D.若圓錐的高擴(kuò)大為原來的2倍，底面半徑縮短為原來的12，則圓錐的體積

(

)A.擴(kuò)大為原來的2倍 B.縮小為原來的12

C.縮小為原來的16 若一個(gè)四面體的各棱長都為2，且該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為

(

)A.3π B.4π C.33π 一個(gè)球的外切正方體的全面積等于24，則此球的體積為(????)A.43π B.23 C.π《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，其中有很多對幾何體體積的研究，已知某囤積糧食的容器的下面是一個(gè)底面積為32π，高為h的圓柱，上面是一個(gè)底面積為32π，高為h的圓錐，若該容器有外接球，則外接球的體積為(????)A.36π B.6423π C.288π已知實(shí)心鐵球的半徑為R，將鐵球熔成一個(gè)底面半徑為R、高為h的圓柱，則hR=(

)A.32 B.43 C.54在球內(nèi)有相距1?cm的兩個(gè)平行截面，截面面積分別是5π?cm2和8π?cm2，若球心不在截面之間，則球的表面積是

A.36π?cm2 B.27π?cm2 C.若頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(

)A.16π B.20π C.24π D.32π過球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于該半徑的平面，則所得截面的面積與球的表面積的比為(????)A.316 B.916 C.38已知正方體、等邊圓柱(軸截面是正方形)、球的體積相等，它們的表面積分別為S正，S柱，S球，則下列不正確的是

(A.S正<S球<S柱 B.半徑為6的球的兩個(gè)內(nèi)接圓錐有公共的底面，若兩個(gè)圓錐的體積之和為球的體積的38，則這兩個(gè)圓錐的高之差的絕對值為

(

)A.2 B.4 C.6 D.8一平面截一球得到直徑是6?cm的圓面，球心到這個(gè)圓面的距離是4?cm，則該球的體積是(????)A.100π3cm3 B.208π3c(多選)如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個(gè)圖形表達(dá)了阿基米德最引以為豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個(gè)偉大發(fā)現(xiàn)，關(guān)于圓柱的體積與球的體積之比和圓柱的表面積與球的表面積之比說法正確的是(????)體積之比32B.體積之比23

C.表面積之比32二．填空題圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是______cm．

在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=1，AC=3已知球的表面積為4π，則它的半徑等于

，它的內(nèi)接長方體的表面積的最大值為

．湖面上浮著一個(gè)球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰上留下一個(gè)直徑為24?cm，深為8?cm的空穴，則該球的表面積為________cm2．長方體的長、寬、高分別為3，2，1，其頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為________________．已知球的半徑為2，相互垂直的兩個(gè)平面分別截球面得兩個(gè)圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于______．已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為52π，AB=1.若△ABC外接圓圓心O1在AC上，半徑r1=1，則外接球球心到O三．解答題如圖，圓柱的底面半徑為r，球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等，圓錐的頂點(diǎn)為圓柱上底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的下底面．

(1)計(jì)算圓柱的表面積；(2)計(jì)算圓錐、球、圓柱的體積之比．

正三棱錐的高為1，底面邊長為26，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切，求：

(1)棱錐的表面積；

(2)內(nèi)切球的表面積與體積．

答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】

本題考查球的表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

結(jié)合已知球的半徑為2直接代入球的表面積公式計(jì)算即可．

【解答】

解：因?yàn)榍虻陌霃綖?．

所以球的表面積為．

故選B．

2.【答案】B【解析】【分析】本題主要考查圓錐的體積公式，屬基礎(chǔ)題．

先求出原來圓錐的體積，再求出變化之后圓錐的體積，即可解得此題．

【解答】解：設(shè)原圓錐的高為h，底面半徑為r，

體積為V=13πr2h，

則變換后的圓錐的高為2h，底面半徑為12r，

體積為13【解析】【分析】

本題主要考查球的應(yīng)用，熟悉球的表面積公式是解答本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．

將四面體補(bǔ)成正方體，求出半徑即可求解．

【解答】

解：如圖，將四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長是1，正方體的對角線長為3，

則此球的表面積為：4π(32)2=3π，

故選A．

【解析】解：設(shè)球的半徑為R，則正方體的棱長為2R，

所以球的外切正方體的全面積等于6×2R×2R=24，解得R=1．

故此球的體積為V=43πR3=43π．

故選：A．

【解析】【分析】

本題考查外接球的體積的求法，考查圓柱、圓錐及外接球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．

根據(jù)圓柱與圓錐和球的對稱性知其外接球的直徑是3h，利用勾股定理求得h和外接球的半徑，再計(jì)算外接球的體積．

【解答】

解：如圖所示，根據(jù)圓柱與圓錐和球的對稱性知，

其外接球的直徑是2R=3h，

設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，母線長為l=h，

則πr2=32π，解得r=42，

又l2+(2r)2=(3h)2，

∴h2+(82)2=9h2，

解得h=4【解析】【分析】

本題考查圓柱的高與球半徑的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

由球和圓柱的體積相等，有43πR3=πR2h，由此能求出結(jié)果．

【解答】

解：由球和圓柱的體積相等，有43πR3=π【解析】解：由題意畫軸截面圖，

截面的面積為5π，半徑為5，

截面的面積為8π的圓的半徑是22，

設(shè)球心到大截面圓的距離為d，

球的半徑為r，則5+(d+1)2=8+d2，

∴d=1，∴r=3，

∴球面的面積是4πr2=36π

故選：A．【解析】【分析】

本題考查學(xué)生空間想象能力，四棱柱的體積，球的表面積，屬于基礎(chǔ)題．

先求正四棱柱的底面邊長，然后求其對角線，就是球的直徑，再求其表面積．

【解答】

解：正四棱柱高為4，體積為16，底面積為4，正方形邊長為2，

正四棱柱的對角線長即球的直徑為22+22+42=26，

∴球的半徑為6，球的表面積是，【解析】【分析】

本題考查球表面積的計(jì)算，考查球的特定截面圓的面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

由題意設(shè)出球的半徑，圓的半徑，利用勾股定理找出圓的半徑和球的半徑的關(guān)系，然后可求球的表面積，截面面積，再求二者之比．

【解答】

解：設(shè)球的半徑為R，圓的半徑r，

由圖可知，R2=14R2+r2，

∴34R2=r2，∴S球【解析】【分析】

本題考查正方體、等邊圓柱(軸截面是正方形)、球的體積、表面積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．利用正方體、等邊圓柱(軸截面是正方形)、球的體積、表面積公式，即可得出結(jié)論．

【解答】

解：正方體的棱長為a，體積V=a3，S正=6a2=63V2，

等邊圓柱(軸截面是正方形)的高為2h，體積V=π?h2?2h=2π【解析】【解析】

本題考查圓錐與球的體積，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．

設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，上面圓錐的高為h，在△OO1C中，求得r2=2Rh-h2.寫出兩個(gè)圓錐的體積和，再由體積比求得h與R的關(guān)系得答案．

【解答】

解：

設(shè)球的半徑為R，圓錐底面半徑為r，上面圓錐的高為h，

則下面圓錐的高為2R-h，

在△OO1C中，有R2=r2+(R-h)2，得2Rh=r2+h2．

兩個(gè)圓錐體積和為V1=13πr2?2R=1【解析】【分析】

本題考查球的體積，考查計(jì)算能力．利用條件：球心到這個(gè)平面的距離是4cm、截面圓的半徑、球的半徑、求出球的半徑，然后求出球的體積．

【解答】

解：一平面截一球得到直徑是6cm的圓面，

就是小圓的直徑為6，

又球心到這個(gè)平面的距離是4cm，

所以球的半徑是：5cm，

所以球的體積是：43π×53=500π3cm【解析】【分析】

本題考查球和圓柱的體積以及表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，分別計(jì)算球和圓柱的體積以及表面積，再求比值，即可得到答案．

【解答】

解：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，

∴V圓柱=πR2×2R=2πR3，V球=43πR3．

∴V【解析】【分析】

本題考查幾何體的體積，考查學(xué)生空間想象能力，是基礎(chǔ)題．

設(shè)出球的半徑，三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，求解即可．

【解答】

解：設(shè)球半徑為r，則由3V球+V水=V柱可得3×43π【解析】解：由題意可知直三棱柱ABC-A1B1C1中，

AB=1，AC=3，∠BAC=π2，

可得BC=2，

設(shè)底面ABC的小圓半徑為r，則2=2r，可得r=1；

連接兩個(gè)底面中心的連線，中點(diǎn)與頂點(diǎn)的連線就是球的半徑R，

則R=12+(22)2=2

∴外接球的表面積S=4πR2【解析】【分析】本題主要考查空間幾何體的特稱、長方體與球的表面積，考查了空間想象能力，屬于中檔題．由外接球的直徑等于長方體的對角線長，結(jié)合基本不等式求解即可．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，長方體的長、寬、高分別為a，b，c，由題意得R=1，因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以a2所以長方體的表面積S=2ab+2bc+2ca≤a當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)“=”號(hào)成立．故答案為1；8．

17.【答案】676π【解析】【分析】

本題考查球的幾何特征，球的表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題；設(shè)球的半徑為Rcm，由將球取出，留下空穴的直徑為24cm，深8cm，可得截面圓的半徑r=12cm，球心距d=R-8cm，進(jìn)而由勾股定理可構(gòu)造關(guān)于R的方程，可求得R，利用球的表面積公式求解即可．

【解答】

解：設(shè)球的半徑為Rcm，

由將球取出，留下空穴的直徑為24cm，深8cm

則截面圓的半徑r=12cm，球心距d=R-8cm，

由R2=r2+d2得：R2=144+(R-8)2，

即208-16R=0，【解析】【分析】本題考查長方體的外接球的表面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)長方體的外接球半徑為R，則2R=32+22+12=14，由此求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．

【解答】解：設(shè)長方體的外接球半徑為R，則2R=【解析】解：設(shè)兩圓的圓心分別為O1、O2，球心為O，公共弦為AB，其中點(diǎn)為E，則OO1EO2為矩形，

于是對角線O1O2=OE，而OE=OA2-AK【解析】【分析】

本題考查球內(nèi)接多面體體積的求法，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．

由題意可得，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面為直角三角形，由其外接球的表面積求得側(cè)棱長，即可求解外接球球心到O1的距離以及棱柱體積．

【解答】

解：如圖，

∵△ABC外接圓的圓心O1在AC上，

∴O1

為AC的中點(diǎn)，且△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形，

由半徑r1=1，得AC=2，又AB=1，∴BC=3．

把直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)形為長方體，設(shè)BB1=x，

則其外接球的半徑R=1212+(3)2+x2．

又直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面積為52π，

∴4πR2=52π，即R=13．

∴12x2+4=13，解得x=43．

則接球球心到O1的距離為為AA12=23，

∴【解析】(Ⅰ)由已知可得圓柱和圓錐的高為h=2r，圓錐和球的底面半徑為r，直接由圓柱表面積公式求得圓柱的表面積；

(Ⅱ)分別求出圖中圓錐、球、圓柱的體積，作比得答案．

本題考查柱、錐、球體積的求法，考查圓柱表面積的求法，是中檔題．

22.【答案】解：(1)如圖，過點(diǎn)P作PD⊥平面ABC于D，

連接并延長AD交BC于E，連結(jié)PE，△ABC是正三角形，

∴AE是BC邊上的高和中線，D為△ABC的