春人教版九下數(shù)學銳角三角函數(shù)2銳角三角函數(shù)教案

第二十八章銳角三角函數(shù)1.了解銳角三角函數(shù)的概念,能夠正確應用sinA,cosA,tanA表示直角三角形中兩邊的比.2.能推導并熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,并會由一個特殊角的三角函數(shù)值說出這個角.3.能夠正確地使用計算器,由已知銳角求出它的三角函數(shù)值,由已知三角函數(shù)值求出相應的銳角.4.理解直角三角形中五個元素的關系,以及什么是解直角三角形,會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數(shù)解直角三角形.5.會用解直角三角形的有關知識解決簡單的實際問題,并能對相關知識進行綜合應用.1.通過探究銳角的正弦、余弦、正切概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.2.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.培養(yǎng)學生從已有的知識、特殊圖形中去感知、遷移.3.綜合運用所學知識解直角三角形,逐步培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.培養(yǎng)學生思維能力的靈活性.4.通過畫示意圖,將實際問題轉化為數(shù)學問題,發(fā)展學生的抽象概括能力,提高應用數(shù)學知識解決實際問題的能力.5.經歷從實際問題中建立數(shù)學模型的過程,增強應用意識,體會數(shù)形結合思想的應用.1.通過積極參與數(shù)學學習活動,體驗數(shù)學活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神.2.引導學生參與體驗數(shù)學活動,學會用數(shù)學思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結、驗證,提高數(shù)學思維能力.3.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學生體驗成功的快樂.4.讓學生經歷觀察、操作等數(shù)學活動,探索三角函數(shù)有關知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.5.在探索解直角三角形的過程中,滲透數(shù)形結合思想,培養(yǎng)學生綜合運用知識的能力和良好的學習習慣.6.通過將實際問題轉化為數(shù)學問題,培養(yǎng)建模思想,調動學生學習數(shù)學的積極性和主動性,培養(yǎng)學生認真思考等學習習慣,形成實事求是的科學態(tài)度.本章《銳角三角函數(shù)》是《數(shù)學課程標準》中“空間與圖形”領域的重要內容,是初中階段研究三角形部分的最后階段,主要研究銳角三角函數(shù)和解直角三角形的內容,掌握銳角三角函數(shù)的概念和解直角三角形的方法,既是相似三角形及函數(shù)的繼續(xù),也是繼續(xù)學習三角形的基礎,本章屬于三角學中的最基礎的部分,而高中階段的三角內容是三角學的主體部分,所以本章的學習是為高中數(shù)學中三角函數(shù)等知識的學習做準備.本章在前邊研究了直角三角形中三邊之間的關系、兩個銳角之間的關系的基礎上,進一步研究邊角之間的關系,本章包括銳角三角函數(shù)的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念),以及利用銳角三角函數(shù)解直角三角形等內容,銳角三角函數(shù)為解直角三角形提供了有效的工具,解直角三角形在實際當中有著廣泛的應用,這也為銳角三角函數(shù)提供了與實際聯(lián)系的機會,研究銳角三角函數(shù)的直接基礎是相似三角形的一些結論,解直角三角形主要依賴銳角三角函數(shù)和勾股定理等內容,因此相似三角形和勾股定理等是學習本章的直接基礎.通過本章的學習,使學生全面掌握直角三角形的組成元素之間的關系,并綜合運用已學知識解決與直角三角形有關的度量問題,進一步培養(yǎng)學生的推理能力、運算能力和數(shù)學建模思想.【重點】1.正弦、余弦、正切的概念.2.特殊角的三角函數(shù)值.3.會解直角三角形.4.能利用三角函數(shù)有關知識解決實際問題.【難點】1.解直角三角形的應用.2.把實際問題轉化為直角三角形中的問題,并通過銳角三角函數(shù)解決問題.(1)注重數(shù)形結合,加深理解記憶解決銳角三角函數(shù)的有關問題,都是在直角三角形中進行的,所以數(shù)形結合思想是本單元的重要思想方法.已知角所在的三角形為直角三角形時,常根據(jù)三角函數(shù)定義得到邊角之間的關系,解決有關幾何圖形問題,已知角不在直角三角形中時,常通過作輔助線,構造直角三角形,再利用三角函數(shù)的定義解決幾何圖形問題,所以在教學中注重數(shù)形結合思想的學習,在探究特殊角的三角函數(shù)值時,結合特殊的直角三角形,利用邊角之間的關系,通過計算得出特殊值,體會由形到數(shù)的轉化；由特殊角的三角函數(shù)值,通過構造直角三角形,得到邊角之間的關系,體會由數(shù)到形的轉化.(2)重視知識的形成過程,深化理解概念銳角三角函數(shù)的概念是本章的難點,也是學習本章的關鍵,難點在于銳角三角函數(shù)的概念反映了角度與數(shù)值之間對應的函數(shù)關系,這種角與函數(shù)之間的關系,學生以前沒有接觸過,所以學生對三角函數(shù)概念的理解成為本章的難點.在教學設計中,重視過程,深化理解,以直角三角形為主線,力求體現(xiàn)生活化課堂的理念,讓學生在經歷“問題情景——形成概念——應用拓展——反思提高”的基本過程中,通過主動探究來體現(xiàn)他們的主體地位,教師通過對學生參與學習的啟發(fā)、調整、激勵來體現(xiàn)自己的引導作用,對學生的主體意識和合作交流的能力起著積極作用.學生經歷概念的形成過程,體驗知識間的內在聯(lián)系,感受探究的樂趣,從而加深對概念的理解和掌握.銳角三角函數(shù)4課時解直角三角形及其應用解直角三角形(1課時)應用舉例(2課時)3課時單元概括整合1課時銳角三角函數(shù)1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比是固定值,從而引出正弦、余弦、正切的概念.2.了解三角函數(shù)的概念,理解銳角的正弦、余弦、正切的概念并能根據(jù)這些概念進行有關計算.3.能推導并熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)這些值說出對應的銳角度數(shù).4.能熟練計算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.5.讓學生熟識計算器一些功能鍵的使用.會熟練運用計算器求銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值求角.1.通過探究銳角的正弦、余弦、正切的概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.2.經過三角函數(shù)的概念的發(fā)現(xiàn)與學習,養(yǎng)成勤于思考,善于發(fā)現(xiàn)的良好習慣.3.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.4.通過推導特殊角的三角函數(shù)值,了解知識間的聯(lián)系,提高綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.5.自己熟悉計算器,在老師的指導下求一般銳角三角函數(shù)值,體會數(shù)學知識與實際生活息息相關.1.通過積極參與數(shù)學學習活動,體驗數(shù)學活動中充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神.2.引導學生參與體驗數(shù)學活動,學會用數(shù)學思維方式思考、發(fā)現(xiàn)、總結、驗證,提高數(shù)學思維能力.3.通過主動探究,合作交流,培養(yǎng)學生的團隊精神,增強合作意識,同時讓學生體驗成功的快樂.4.讓學生經歷觀察、操作等數(shù)學活動,探索三角函數(shù)有關知識,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.5.通過計算器的使用,了解科學在人們日常生活中的重要作用,激勵學生熱愛科學、學好文化知識.【重點】1.理解各三角函數(shù)的意義,并會求銳角的各三角函數(shù)值.2.熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,能熟練計算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.3.運用計算器處理三角函數(shù)中的值或角的問題.【難點】1.探索各三角函數(shù)值的概念.°,45°,60°角的三角函數(shù)值的推導過程.3.運用計算器處理三角函數(shù)中的值或角等問題.第課時1.利用相似的直角三角形,探索直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊的比是固定值,從而引出正弦的概念.2.理解銳角的正弦的概念,并能根據(jù)正弦的概念進行計算.1.通過探究銳角的正弦的概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.2.通過銳角的正弦的學習,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.1.通過銳角的正弦的概念的建立,體會從特殊到一般的數(shù)學思想方法,滲透數(shù)形結合思想.2.讓學生在通過探索、分析、論證、總結獲取新知識的過程中體驗成功的快樂,感悟數(shù)學的實用性,培養(yǎng)學生學習數(shù)學的興趣.3.通過主動探究,合作交流,感受探索的樂趣和成功的體驗,體會數(shù)學的合理性和嚴謹性,使學生養(yǎng)成積極思考的好習慣,同時培養(yǎng)學生的團隊合作精神.【重點】理解正弦函數(shù)的意義,并會求銳角的正弦值.【難點】理解直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊的比是固定值.導入一:意大利比薩斜塔在1350年落成時就已傾斜,其塔頂中心點偏離垂直中心線年比薩地區(qū)發(fā)生地震,這座高m的斜塔在大幅度搖擺后仍巍然屹立,但塔頂中心點偏離垂直中心線增至m,而且還在繼續(xù)傾斜,有倒塌的危險.當?shù)貜?990年起對斜塔維修糾偏,2001年竣工,此時塔頂中心點偏離垂直中心線的距離比糾偏前減少了cm.【師生活動】學生欣賞比薩斜塔圖片,教師介紹比薩斜塔有關知識,然后引出本章課題.[過渡語]你能用塔身中心線與垂直中心線所成的角來描述比薩斜塔的傾斜程度嗎?通過本章的學習,你將能夠解決這個問題.導入二:【復習提問】1.直角三角形有哪些特殊性質?2.有一個銳角是30°的直角三角形有什么特殊性質?3.有一個銳角是45°的直角三角形有什么特殊性質?【師生活動】學生思考回答,教師點評.導入三:操場上有一個旗桿,老師讓小明去測量旗桿的高度.小明在離旗桿底部10米遠處目測旗桿的頂部,視線與水平線的夾角為34°,并且已知目高為米,然后他很快就能算出旗桿的高度了.[過渡語]你想知道小明怎樣算出的嗎?這就是我們即將探討和學習的利用銳角三角函數(shù)來測量物體的高度.今天我們學習銳角三角函數(shù)的第一種——銳角的正弦.[設計意圖]通過大家熟知的意大利比薩斜塔導出本章學習內容,激發(fā)學生學習本章的求知欲,同時又以生活實例測旗桿的高度導入本課時的內容,讓學生體會測量旗桿的高度不僅可以用上章所學習的相似三角形,還可以應用本章的銳角三角函數(shù),激發(fā)學生的學習興趣,體會生活與數(shù)學之間的密切聯(lián)系.同時由復習導入新課,為本節(jié)課的學習做好鋪墊.一、共同探究思路一為了綠化荒山,某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管,在山坡上修建一座揚水站,對坡面的綠地進行噴灌.現(xiàn)測得斜坡的坡角(∠A)為30°,為使出水口的高度為35m,需要準備多長的水管?思考一(1)你能不能把該實際問題轉化為幾何語言?[在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,求AB(如圖)](2)你能求出AB的長度嗎?為什么?(根據(jù)直角三角形中30°的銳角對應的直角邊等于斜邊的一半,可得AB=2BC=70（m）)(3)計算題目中∠A的對邊與斜邊的比BCAB是多少.(4)在該題目中,如果出水口的高度為50m,那么需要準備多長的水管?此時BCAB的值是多少?需要準備100m長的水管,BCAB(5)出水口的高度改變,∠A不變時,∠A的對邊與斜邊的比BCAB是否變化?不變,都等于【師生活動】學生獨立思考后,小組交流答案,學生展示結果,教師點評,歸納結論.【結論】在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與斜邊的比都等于12思考二(1)如圖,任意畫一個Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,你能計算出∠A的對邊與斜邊的比BCAB(2)通過計算,你能得到什么結論?【師生活動】學生思考后,小組合作交流,小組代表展示成果,教師在巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的展示進行點評,共同歸納結論.【結論】在直角三角形中,如果一個銳角等于45°,無論這個直角三角形大小如何,這個角的對邊與斜邊的比都等于22思考三【猜想】一般地,當∠A取其他一定度數(shù)的銳角時,它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值?如圖,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么BCAB與B'【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,共同得出結論,教師對學生的展示進行點評.【板書】因為∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',因此,BCB'C'=ABA【課件展示】在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,∠A的對邊與斜邊的比都不變,是一個固定值.思路二動手操作:(1)測量自己手中一副三角板中30°,45°,60°角所對的直角邊與斜邊的長度,并計算它們的比值.其中一同學測量、計算教師手中的三角板中各角所對的直角邊與斜邊的比值.(2)小組內交流計算結果,三角板的大小不同,30°,45°,60°角所對的直角邊與斜邊的比有什么特點?你能得到什么結論?【師生活動】學生動手測量、計算,小組內交流結果,共同歸納結論,教師及時發(fā)現(xiàn)學生存在的問題并及時糾正,對學生的結論進行點撥.【結論】不論三角板大小如何,30°,45°,60°角的對邊與斜邊的比都是一個固定值.【猜想】如果是任意一個直角三角形,當一個銳角的度數(shù)固定時,這個角的對邊與斜邊的比是否也是固定值呢?【驗證】如圖,Rt△ABC和Rt△A'B'C',∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,那么BCAB與B'【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,共同得出結論,教師對學生的展示進行點評.【板書】因為∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',因此,BCB'C'=ABA【課件展示】在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,∠A的對邊與斜邊的比都不變,是一個固定值.[設計意圖]思路一由實際問題入手,計算直角三角形中特殊銳角所對的直角邊與斜邊的比是固定值,然后類比探索出直角三角形中銳角確定時,它所對的直角邊與斜邊的比是固定值；思路二通過操作、測量、猜想、驗證,得出結論,讓學生體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納總結能力.二、形成概念[過渡語]在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,它所對的直角邊與斜邊的比是固定值,這個固定值就是這個銳角的正弦值.【課件展示】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即sinA=∠A的對邊斜邊【思考】(1)當∠A=30°或∠A=45°時,∠A的正弦為多少?當∠A=30°時,sinA=sin30°=12；當∠A=45°時,sinA=sin45°=(2)∠A的正弦sinA表示的是sin與A的乘積還是一個整體?(sinA表示的是一個整體)(3)當∠A的大小變化時,sinA是否變化?(sinA隨著∠A的大小變化而變化)(4)sinA有單位嗎?(sinA是一個比值,沒有單位)(5)∠B的正弦怎么表示?sin(6)要求一個銳角的正弦值,我們需要知道直角三角形中的哪些邊?(需要知道這個銳角的對邊和斜邊)【師生活動】學生思考,小組合作交流,小組代表回答問題,教師點撥.[設計意圖]在一系列的問題解決中,經歷從特殊到一般建立數(shù)學概念的過程,讓學生理解、認識正弦的概念及寫法和意義,教師強調概念中需注意的事項,加深對正弦概念的理解和掌握.三、例題講解如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.教師引導思考:(1)求sinA實際上要確定什么?依據(jù)是什么?sinB呢?(2)sinA,sinB的對邊和斜邊是已知的嗎?(3)直角三角形中已知兩邊如何求三角形的第三邊?【師生活動】學生思考后回答問題,然后書寫解題過程,小組交流結果,小組代表板書過程,教師規(guī)范解題步驟.【課件展示】解:如圖(1),在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=AC2+B因此sinA=BCAB=35,sinB=ACAB如圖(2),在Rt△ABC中,由勾股定理得AC=AB2-B因此sinA=BCAB=513,sinB=ACAB[設計意圖]學生在教師的引導下,根據(jù)正弦的概念求出角的正弦值,教師規(guī)范學生的解題過程,讓學生體會數(shù)學的嚴謹性,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.[知識拓展](1)正弦是一個比值,沒有單位.(2)正弦值只與角的大小有關,與三角形的大小無關.(3)sinA是一個整體符號,不能寫成sin·A.(4)當用三個字母表示角時,角的符號“∠”不能省略,如sin∠ABC.(5)sin2A表示(sinA)2,不能寫成sinA2.1.在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,∠A的對邊與斜邊的比都是一個固定值.2.正弦的定義:在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即sinA=∠A的對邊斜邊1.如圖,△ABC的頂點都是正方形網格(每個小正方形的邊長均為1)中的格點,則sin∠ABC等于()A.5B.255C.552.把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍,則銳角A的正弦值()A.不變B.縮小為原來的133.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=35,AB=20,則BC=4.如圖,在菱形ABCD中,DE⊥AB,垂足為E,DE=8cm,sinA=45,則菱形ABCD是cm2.

5.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,且sinB=35,試分別求出AC,AB的值【答案與解析】解析:如圖,過點A向BC引垂線,與BC的延長線交于點D.在Rt△ABD中,AD=2,BD=4,∴AB=22+42=25,∴sin∠ABC=AD解析:因為△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似,所以銳角A的大小沒改變,所以銳角A的正弦值也不變.故選A.3.12解析:∵AB=20,sinA=35,∴sinA=BCAB=35,∴BC=80解析:在菱形ABCD中,DE⊥AB.在Rt△DEA中,DE=8cm,sinA=45,則DEAD=4510cm.所以AB=AD=10cm,所以菱形ABCD的面積為DE×AB=8×10=80(cm2).5.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴sinB=ACAB=3設AC=3x,則AB=5x.又AB2=AC2+BC2,∴(5x)2=(3x)2+62=9x2+36,即25x2=9x2+36,∴x=32,∴AC=3x=92,AB=5x=第1課時1.共同探究2.形成概念在Rt△ABC中,∠C=90°,則sinA=∠A的對邊斜邊3.例題講解例題一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,AC=1,則sinB的值為()A.12B.22C.2.三角形在正方形網格(每個小正方形的邊長均為1)中的位置如圖,則sinα的值是()A.3443.353.在△ABC中,∠C=90°,AB=15,sinA=13,則BC等于(C.15D.4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,則sinB的值為()A.12B.22C.5.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足為D,若AC=5,BC=2,則sin∠ACD的值為()A.53B.255C.6.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,則sinA=.

7.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,sinA=23,則AB=8.如圖,AB是☉O的直徑,點C,D在☉O上,且AB=5,BC=3,則sin∠BAC=,sin∠ADC=,sin∠ABC=.

9.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,求sinA和sinB的值.10.在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)若sinA=35,BC=9,求AB(2)若sinB=45,AB=10,求BC的長【能力提升】11.如圖,圓O的直徑CD=10cm,且AB⊥CD,垂足為P,AB=8cm,則sin∠OAP=.

12.在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45,BC=20,則sinB=13.如圖,菱形ABCD的周長為40cm,DE⊥AB,垂足為E,sinA=35.則下列結論正確的有.①DE=6cm；②BE=2cm；③菱形的面積為60cm2；④BD=410cm.14.如圖,將一張矩形紙片ABCD沿CE折疊,B點恰好落在AD邊上,設此點為F,若AB∶BC=4∶5,求sin∠CFD,sin∠DCF的值.【拓展探究】15.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,BD為AC邊上的中線,求sin∠ABD的值.【答案與解析】解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinB=ACAB=12解析:觀察網格圖,可知在直角三角形中,α的對邊長為3,鄰邊長為4.根據(jù)勾股定理可得斜邊長為5,所以根據(jù)正弦定義可得sinα=35.解析:∵sinA=BCAB=13,AB=15,∴BC=5解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC.設BC=a,則AB=2a,根據(jù)勾股定理可得AC=AB2-BC2=(2a)2-a2=解析:在Rt△ABC中,根據(jù)勾股定理可得AB=AC2+BC∠B+∠BCD=90°,∠ACD+∠BCD=90°,∴∠B=∠ACD.∴sin∠ACD=sinB=ACAB=536.398解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=5,AB=8,∴BC=AB2-A∴sinA=BCAB=396解析:∵sinA=BCAB=4AB=23,∴8.354545解析:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵AB=5,BC=3,∴sin∠BAC=BCAC=AB2-BC2=52-32=4,∴sin∠ADC=sin∠ABC=AC9.解:由勾股定理可得AB=12+22=5(cm),所以sinA=BCAB=25=255,sin10.解:(1)∵sinA=BCAB=35,又BC=9,∴AB=15.(2)∵sinB=ACAB=45,又AB11.35解析:∵AB⊥CD,∴AP=BP=12AB=12×8=4(cm).在Rt△OAP中,OA=∴OP=AO2-AP2=3cm,∴sin∠12.35解析:在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=45,即CBAB=45.設CB=4x,則AB=5x,∴根據(jù)勾股定理可得AC=3x.∴sinB=13.①②③解析:∵菱形ABCD的周長為40cm,∴AD=AB=BC=CD=10cm.∵DE⊥AB,垂足為E,∴sinA=DEAD=DE10=35,∴DE=6cm,∴AE=8cm,∴BE=2cm.∴菱形的面積為AB×DE=10×6=60(cm2).在Rt△BED中,BE=2cm,DE=6cm,∴BD=210cm14.解:由AB∶BC=4∶5,可設AB=4k,BC=5k,由折疊可知CF=CB=5k.在矩形ABCD中,CD=AB=4k.在Rt△CDF中,由勾股定理可得DF=CF2-CD2=3k,∴sin∠sin∠DCF=DFCF=315.解:如圖,作DE⊥AB于E.設BC=AC=2x.∵BD為AC邊上的中線,∴CD=AD=12AC=x.Rt△BCD中,根據(jù)勾股定理,得BD=5x.∵∠C=90°,AC=BC,∴∠A=∠CBA=45°,又∵DE⊥AB,∴∠A=∠EDA=45°,∴AE=DE=22x.在Rt△BDE中,sin∠ABD=DEBD=22通過復習含特殊角的直角三角形的性質,為本節(jié)課的探究做好鋪墊,用具體情景引入新課,把教學內容轉化為具有潛在意義的問題,讓學生帶著問題進入課堂,然后用具體實例的探究,層層遞進,由特殊到一般,引導學生歸納總結出:直角三角形的銳角確定時,它的對邊與斜邊的比是固定值的特點,從而自然引出正弦的概念,順理成章完成知識的遷移,學生通過動手操作、合作探究、歸納總結等數(shù)學活動突破了本節(jié)課的重點和難點,培養(yǎng)了學生發(fā)現(xiàn)問題、探究思考與合作交流的能力.在課堂上,學生參與意識較強,課堂氣氛活躍,讓不同的學生得到不同的發(fā)展,突出了學生在課堂上的主體作用.本節(jié)課的重點是探究直角三角形中銳角確定時,它的對邊和斜邊的比是固定值,由此歸納總結正弦定義,在教學設計中,注重知識間的聯(lián)系,由前邊所學知識自然推導結論,由結論自然導出正弦的概念,但在授課過程中忽略了學生的認知能力,部分學生對銳角的正弦的理解有困難,在以后的教學中,給出正弦的定義后,應給出幾個簡單練習加深學生對概念的理解和掌握.本節(jié)課的內容是探究直角三角形中銳角確定時,它的對邊和斜邊的比是固定值,把這個固定值定義為這個銳角的正弦,在教學設計中,以比薩斜塔導入新課,激發(fā)學生學習本章內容的好奇心和求知欲,然后通過復習特殊直角三角形的性質,為本節(jié)課的探究活動做好鋪墊,通過探究特殊圖形中邊之間的關系,猜想一般直角三角形中邊之間的關系,然后理論證明猜想,從而很自然地導出概念,讓學生經歷概念的形成過程,利于對概念的理解和掌握,同時提高數(shù)學思維和能力.本節(jié)課是銳角三角函數(shù)的第一個課時,在教學設計中,通過設計“思考”“探究”“歸納”等教學環(huán)節(jié),為學生提供探究交流的空間,發(fā)展學生的思維能力.教材中直接給出了正弦的概念,而概念的形成過程的探索留給了學生,在本節(jié)課的教學設計中,通過復習特殊直角三角形的性質,為學生探究活動做好鋪墊,然后給出特殊的直角三角形,學生通過獨立思考、小組合作交流、共同歸納等數(shù)學活動,探索出結論“在直角三角形中,當一個銳角確定時,這個角的對邊與斜邊的比是固定值”,然后教師引導學生思考,對于一般的直角三角形是否具有這樣的性質.學生通過動手操作,合作探究,完成嚴格的理論證明,從而得到結論的正確性,很自然地引出正弦的概念.在課堂上以問題引導的形式讓學生積極參與課堂,親身經歷知識的形成過程,為學生提供了更加廣闊的探索空間,讓學生學會觀察、思考、與他人合作及歸納總結,從而提高學生分析問題、解決問題的能力,使數(shù)學思維得到進一步的提升.如圖,在下列網格中,小正方形的邊長均為1,點A,B,O都在格點上,則∠AOB的正弦值是()A.31010B.12C.1〔解析〕如圖,作AC⊥OB,交OB延長線于點C.則AC=2,AO=22+4sin∠AOB=ACAO=225=第課時1.探索直角三角形的銳角確定時,它的鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比是固定值,從而引出余弦、正切的概念.2.了解銳角三角函數(shù)的概念,理解銳角的余弦、正切的概念并能根據(jù)余弦、正切的概念進行計算.1.結合正弦的概念探索銳角的余弦、正切的概念的形成,培養(yǎng)學生類比推理的能力.2.通過探究銳角的余弦、正切的概念的形成,體會由特殊到一般的數(shù)學思想方法,培養(yǎng)學生的歸納推理能力.3.通過銳角三角函數(shù)的學習,進一步認識函數(shù),體會函數(shù)的變化與對應的思想,逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.1.通過觀察、思考、交流、總結等數(shù)學活動,體驗數(shù)學學習充滿著探索與發(fā)現(xiàn),培養(yǎng)學生積極思考,勇于探索的精神.2.通過主動探索,合作交流,增強學生的合作意識,體驗成功的快樂,增強學生學習數(shù)學的信心.3.培養(yǎng)學生敢于發(fā)表自己的想法,勇于質疑,養(yǎng)成認真勤奮、獨立思考、合作交流等學習習慣,形成實事求是的科學態(tài)度.【重點】理解余弦、正切的概念,并會求銳角的余弦值、正切值.【難點】類比正弦的概念,探索余弦、正切的概念.導入一:【復習提問】1.在直角三角形中,當一個銳角的大小一定時,它的對邊與斜邊的比有什么規(guī)律?2.什么是正弦?如何求一個角的正弦?3.探究正弦的概念時,我們用了什么方法?導入二:觀察兩個大小不同的三角板,當角是30°,45°,60°時,它們的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比有什么規(guī)律?談談你的看法.[過渡語]類比探究正弦的方法,在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,它的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比也是固定的值,這就是我們這節(jié)課要學習的內容.[設計意圖]通過復習提問,回憶上節(jié)課的探究方法,用類比的方法探究本節(jié)課的內容,為本節(jié)課的學習做好鋪墊.計算直角三角板中特殊角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比,歸納規(guī)律,很自然地引出本節(jié)課要學習的概念,同時培養(yǎng)學生計算、觀察、猜想的能力.一、新知探究思路一【思考】在不同的直角三角形中,當銳角A的度數(shù)相同時,它們的鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比是同一個固定值嗎?【師生活動】教師提示類比上節(jié)課的證明思路,學生獨立完成證明過程,學生代表板書,教師規(guī)范證明過程.已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α.求證:ACAB=A'C'A【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,共同得出結論,教師對學生的展示進行點評.【板書】證明:因為∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'=α,所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C',因此,ACA'C'=ABA同理可得BCB'C'=ACA【思考】大家能不能得出銳角B的度數(shù)一定時,∠B的鄰邊與斜邊、∠B的對邊與鄰邊的比是不是一個固定值呢?學生思考回答,教師點評.【課件展示】1.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比都是一個固定值.2.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與鄰邊的比都是一個固定值.思路二如圖,在Rt△AB1C1和Rt△AB2C2中,∠AC1B1=∠AC2B2=90°.【思考】(1)Rt△AB1C1與Rt△AB2C2之間有什么關系?(Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2)(2)AC1AB1與AC2AB2,B(3)在射線AB1上任取一點B3,過B3作B3C3⊥AC1,垂足為C3,則AC1AB1與AC3AB3,B(4)根據(jù)以上思考,你得到什么結論?(直角三角形中∠A的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比是固定不變的)(5)如果改變∠A的大小,上邊的比值是否變化?歸納你的結論.【師生活動】教師提出問題,學生思考后小組合作交流,共同歸納結論,教師巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的回答作出點評.【課件展示】1.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的鄰邊與斜邊的比都是一個固定值.2.在直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,這個角的對邊與鄰邊的比都是一個固定值.[設計意圖]在教師提出的問題的引導下,學生通過小組合作交流,類比上節(jié)課探究問題的方法,經過觀察、討論、驗證等數(shù)學活動,歸納出結論,為歸納理解三角函數(shù)的定義做好鋪墊,同時培養(yǎng)學生的歸納總結能力.二、形成概念[過渡語]在直角三角形中,銳角的度數(shù)一定時,角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比是固定值,我們把這兩個固定值分別定義為余弦和正切.【課件展示】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即cosA=∠A的鄰邊斜邊同樣,把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA=∠A的對邊∠【思考】當∠A的大小變化時,sinA,cosA,tanA是否變化?對于銳角A的每一個確定的值,sinA,cosA和tanA是否有唯一的值和它對應?【師生活動】學生思考回答,教師引導點評.歸納:sinA,cosA,tanA都是∠A的函數(shù).【課件】銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).[設計意圖]教師根據(jù)上邊的總結驗證,類比正弦的概念形成,引導學生認識理解余弦、正切的概念,教師可以強調概念中需注意的事項,加深學生對銳角三角函數(shù)的概念的理解和掌握.三、例題講解如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.【思考】(1)根據(jù)余弦、正切的定義,要求cosA,tanA的值必須求出哪條邊的長?(2)怎樣求出AC的長?【師生活動】學生思考后回答問題,然后書寫解題過程,小組交流結果,小組代表板書過程.【課件展示】解:由勾股定理得AC=AB2-所以sinA=BCAB=610=cosA=ACAB=810=tanA=BCAC=68=(補充拓展)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=6,sinA=35,求cosA,tanB的值【解析】(1)已知sinA和BC的值,根據(jù)正弦的定義,可以求出三角形的哪條邊長?(2)你能不能求出三角形的第三條邊長?(3)根據(jù)余弦、正切的定義,你能求出cosA,tanB的值嗎?【師生活動】學生獨立思考完成,小組內交流答案,教師幫助有困難的學生,對學生的答案進行點評.解:∵sinA=BCAB,∴AB=BCsinA=6×又∵AC=AB2-∴cosA=ACAB=45,tanB=ACBC[設計意圖]在教師提出的問題的引導下,學生獨立思考完成,教師對學生的結果進行點評,讓學生根據(jù)概念求出各三角函數(shù)值,加深學生對概念的理解和掌握,同時讓學生綜合運用勾股定理、三角函數(shù)的概念進行有關計算,培養(yǎng)學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.[知識拓展](1)余弦和正切都是一個比值,沒有單位.(2)余弦值和正切值只與角的大小有關,而與三角形的大小無關.(3)cosA,tanA都是一個整體符號,不能寫成cos·A,tan·A.(4)當用三個字母表示角時,角的符號“∠”不能省略,如tan∠ABC.(5)在Rt△ABC中,∠C=90°,由于sinA=BCAB=ac,cosA=ACAB=bc,sinB=ACAB=bc,costanA=BCAC=ab,tanB=ACBC=ba,因此,sinA=cosB,cosA=sinB,tanA在Rt△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2.∵sinA=ac,cosA=bc,tanA=∴sin2A+cos2A=1,tanA=sinA1.在直角三角形中,當銳角A的度數(shù)一定時,無論這個直角三角形的大小如何,∠A的鄰邊與斜邊的比、對邊與鄰邊的比都是一個固定值.2.余弦、正切的定義:在Rt△ABC中,∠C=90°,我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc.把銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即tanA=3.三角函數(shù)的定義:銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,則cosA的值是()A.154B.14C.152.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,則下列選項正確的是()A=125A=1213A=3.如圖,A,B,C三點在正方形網格線的交點處,網格中,小正方形的邊長均為1,若將△ACB繞著點A逆時針旋轉得到△AC'B',則tanB'的值為.

4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,cosA=33,AB=12,求△ABC的面積【答案與解析】解析:根據(jù)余弦的定義可得cosA=ACAB=14解析:由勾股定理可得BC=AB2-AC2=5,∴sinA=BCAB=513,cosA=ACAB=3.13解析:由旋轉可得∠B'=∠B,所以tanB'=tanB=14.解:∵cosA=ACAB=33,AB=12,∴AC=4由勾股定理可得BC=AB2-AC∴S△ABC=12AC·BC=12×43×46=24第2課時1.新知探究2.形成概念在Rt△ABC中,∠C=90°,則cosA=∠A的鄰邊斜邊=bc,tanA=3.例題講解例1例2一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎鞏固】1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則tanB的值是()A.35B.34C.452.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AC=2,則tanA的值是()B.12C.553.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=43,BC=8,則AC等于(B.3234.如圖,若cosα=1010,則sinα的值為(A.101023.35.小明在學習“銳角三角函數(shù)”中發(fā)現(xiàn),將如圖的矩形紙片ABCD沿過點B的直線折疊,使點A在BC上的點E處,還原后,再沿過點E的直線折疊,使點A落在BC上的點F處,這樣就可以求出°的角的正切值是()A.3+1B.2+1D.56.如圖,將∠AOB放在邊長為1的小正方形組成的網格中,則tan∠AOB=.

7.如圖,AB是☉O的直徑,AB=15,AC=9,連接BC,則tan∠ADC=.

8.在Rt△ABC中,∠C=90°,tanA=23,AB=26.求cosB及AC的長【能力提升】9.如圖,A,B,C三點在正方形網格線的交點處(每個小正方形的邊長均為1).若將△ACB繞著點A逆時針旋轉到如圖的位置,得到△AC'B',使A,C,B'三點共線,則tan∠B'CB的值為.

10.如圖,AB是☉O的直徑,且AB=5,CD是☉O的弦,AD與BC相交于點E,若CD=2,則cos∠BED=.

11.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AM是BC邊上的中線,sin∠CAM=35,則tanB的值是12.如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,tanB=cos∠DAC.(1)求證：AC=BD.(2)若sinC=1213,BC=12,求AD的長【拓展探究】13.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是BC邊上一點,AC=2,CD=1,設∠CAD=α.(1)求sinα,cosα,tanα的值；(2)若∠B=∠CAD,求BD的長.【答案與解析】解析:在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=AB2-BC2=4,∴tanB解析:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=2,BC=1,∴tanA=BCAC=12解析:∵tanA=BCAC=43,BC=8,∴AC=BCtanA=3解析:∵cosα=α的鄰邊斜邊=1010,∴設α的鄰邊長為10k,斜邊長為10k,由勾股定理可得α的對邊長為(10k)2-(10k)2=3解析:注意折疊前后對應點關于對稱軸對稱,也就是說△ABE和△AEF都是等腰三角形,進而得到°的角為∠FAB.設AB=x,則BE=x,在直角三角形ABE中,利用勾股定理求得AE=EF=2x,于是BF=(2+1)x.在直角三角形ABF中,tan∠FAB=BFAB=(2+1)°.故選B.6.12解析:過點A作AD⊥OB,垂足為D,如圖.在Rt△AOD中,AD=1,OD=2,則tan∠AOB=ADOD=7.34解析:∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵AB=15,AC=9,∴根據(jù)勾股定理,得BC=12∵∠ADC和∠ABC是同弧所對的圓周角,∴∠ADC=∠ABC.∴tan∠ADC=tan∠ABC=ACBC=912=8.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,∴tanA=BCAC=23,∴設BC=2k,AC=3k,由勾股定理可得AB=13k,∴13k=26,∴k=213,∴BC=2k=413,AC=3k=613,∴cosB=BCAB=41326=21313.∴AC解析:如圖,連接BD,由正方形網格利用勾股定理得BC=10,CD=2,BD=22,則CD2+BD2=BC2,所以CD⊥BD,則tan∠B'CB=22210.25解析:如圖,連接BD,則∠ADB=90°,易知∠CDA=∠ABC,∠C=∠A,∴△CED∽△AEB∴EDEB=CDAB=25.在Rt△BED中,∠EDB=90°,∴cos∠BED=ED11.23解析:在Rt△AMC中,sin∠CAM=MCAM=35,設MC=3x,AM=5x,則AC=AM2-MC2=4x.由題意知M是BC的中點,∴BC=2MC=6x.在Rt△ABC12.(1)證明:∵AD是BC邊上的高,∴AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∠ADC=90°.在Rt△ABD和Rt△ADC中,tanB=ADBD,cos∠DAC=ADAC.又∵tanB=cos∠DAC,∴ADBD=ADAC(2)解:在Rt△ADC中,sinC=ADAC=1213,故可設AD=12k,AC=13k,∴CD=AC∵BC=BD+CD,又AC=BD,∴BC=13k+5k=18k.∵BC=12,∴18k=12,∴k=23,∴AD=12k=12×2313.解:在Rt△ACD中,∵AC=2,DC=1,∴AD=AC2+(1)sinα=CDAD=15=55,cosα=ACAD=25=255(2)在Rt△ABC中,tanB=ACBC,即tanα=2BC=12,∴BC=4,∴BD=BC-本節(jié)課的主要內容是在上節(jié)課的基礎上,用類比的方法探究余弦和正切的定義,在教學設計中,通過復習上節(jié)課探究正弦的方法和技巧,為本節(jié)課學生的自主學習打下基礎.在探究活動中,教師引導學生仿照研究銳角的正弦的思路和方法,自己完成銳角的余弦、正切的探索過程,從而得到余弦和正切的概念.例題的分析和解答以學生為主體,通過小組合作交流完成,教師及時點撥,加深學生對概念的理解和掌握的同時,提高了學生的解題能力,并規(guī)范了教學過程.本節(jié)課學習的主要內容是三個銳角三角函數(shù),在教學設計時,只注重了學生的活動的設計,考慮到學生基礎較差,對函數(shù)的理解較難,所以沒有將函數(shù)與定義過多的聯(lián)系,三角函數(shù)的定義是高中知識的基礎,所以僅僅讓學生停留在會應用定義進行簡單的計算還遠遠不夠,在以后的教學中,應讓學生加深對三角函數(shù)的定義的理解和掌握.本節(jié)課的重點是通過探究得到直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,這個銳角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比都是一個固定值,從而得到銳角的余弦和正切的定義,并根據(jù)定義能進行有關運算,在教學中以復習銳角的正弦的定義及探究方法、生活實例導入新課,為本節(jié)課的學習做鋪墊,激發(fā)學生學習的興趣,然后把課堂大膽交給學生,類比上節(jié)課的探究方法,通過自主探究、小組合作等數(shù)學活動,讓學生探究出結論,歸納三角函數(shù)的定義,讓學生體驗成功的快樂,人人學有價值的數(shù)學.本節(jié)課的教學設計中,重點是探究余弦、正切兩個三角函數(shù)的定義,通過復習上節(jié)課正弦的概念及探究方法,讓學生類比“直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,這個銳角的對邊與斜邊的比是一個固定值”的證明方法,獨立完成猜想“直角三角形中,當銳角的度數(shù)一定時,這個銳角的鄰邊與斜邊、對邊與鄰邊的比都是固定值”,然后通過小組交流,順利完成證明過程,從而歸納余弦、正切的定義.在例題的設計中,學生在解答教師提出的一系列問題的引導下,獨立思考,有困難的學生通過小組合作交流,加深對概念的理解和掌握.總之,在教學設計中,以學生活動為主,在設計的各個活動中,學生掌握了知識,提高了學習能力.如圖,沿AE折疊矩形紙片ABCD,使點D落在BC邊的點F處.已知AB=8,BC=10,則tan∠EFC的值為()A.34B.43C.35〔解析〕根據(jù)題意可知在Rt△ABF中,有AB=8,AF=AD=10,則BF=6,易知∠EFC=∠BAF,故tan∠EFC=tan∠BAF=68=34第課時1.能推導并熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,并能根據(jù)這些值說出對應的銳角度數(shù).2.能熟練計算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.1.通過探索特殊角的三角函數(shù)值的過程,培養(yǎng)學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)的能力.2.通過推導特殊角的三角函數(shù)值,了解知識間的聯(lián)系,提升綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.3.經歷特殊角的三角函數(shù)值的學習,培養(yǎng)學生把實際問題轉化為數(shù)學問題的能力.1.在探索特殊角的三角函數(shù)值中,學生積極參與數(shù)學活動,培養(yǎng)學生獨立思考問題的能力.2.讓學生經歷觀察、操作等過程,探索特殊三角函數(shù)值,讓學生獲得成功的體驗,鍛煉克服困難的意志,建立自信心.【重點】熟記30°,45°,60°角的三角函數(shù)值,能熟練計算含有30°,45°,60°角的三角函數(shù)的代數(shù)式.【難點】30°,45°,60°角的三角函數(shù)值的推導過程.【教師準備】多媒體課件.【學生準備】復習銳角三角函數(shù)的定義.導入一:如圖,這是一塊三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=米,那么這塊三角形的草皮面積為多少呢?如圖,這是一塊三角形草皮,∠A=60°,AB=2米,AC=米,那么這塊三角形草皮的面積為多少呢?【師生活動】學生思考后,小組合作交流,回答解決方法,教師點評,導出新課.結合學生回答,教師分析:過C點作AB的垂線CD,垂足為D,∵sinA=CDAC,∴CDACsin60°.[過渡語]AC是已知的,假如sin60°能夠知道,CD就可求,那么這個問題就得到解決.本節(jié)課我們就一同來探討30°,45°,60°角的三角函數(shù)值.導入二:【復習提問】1.什么是銳角的正弦、余弦、正切?2.含30°,45°角的直角三角形有哪些性質?3.你還記得我們探究銳角的正弦的概念時所得的30°,45°角的正弦嗎?4.你還能推導出30°,45°,60°角的其他三角函數(shù)值嗎?[設計意圖]通過生活實際問題導入新課,激發(fā)學生的求知欲望,感受生活中處處有數(shù)學,復習直角三角形的性質和三角函數(shù)的概念,為本節(jié)課特殊角的三角函數(shù)值的推導打下基礎,做好鋪墊,讓學生從已有的知識體系中很自然地構建出新知識.[過渡語]探究30°,45°,60°角的三角函數(shù)值就是我們本節(jié)課要學的內容.一、實踐探究思路一動手操作:畫出含有30°,45°角的直角三角形,分別求出30°,45°,60°角的所有三角函數(shù)值.【師生活動】學生畫圖,根據(jù)直角三角形的知識和三角函數(shù)的定義,獨立推導各三角函數(shù)值,然后小組成員交流推導結果,教師提示可以用字母表示三角形的一條邊長,然后計算各三角函數(shù)值,對學生推導的結果教師作出點評,共同完成下列表格.【課件展示】銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinA123cosA321tanA313【思考】觀察表格中特殊角的三角函數(shù)值,你能發(fā)現(xiàn)什么結論?【師生活動】學生進行小組討論,教師巡視中幫助有困難的學生,并對學生的回答作出點評,只要學生說得有理,就要給予肯定和鼓勵.【結論】(1)正弦、正切值隨著角度的增大而增大,余弦值隨著角度的增大而減小.(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°,故sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α),其中α為銳角.(3)0<sinA<1,0<cosA<1.思路二【思考】(1)在直角三角形中,30°角所對的直角邊和斜邊之間有什么關系?(2)設30°角的對邊為k,你能用k表示三角形的各邊長嗎?(3)利用三角函數(shù)的定義,分別求出30°,60°角的各三角函數(shù)值.(4)含有45°角的直角三角形有什么特點?(5)設等腰直角三角形的腰長為k,你能用k表示直角三角形的斜邊嗎?(6)利用三角函數(shù)的定義,求出45°角各三角函數(shù)值.【師生活動】學生逐步回答教師提出的問題,通過計算得出30°,45°,60°角的各三角函數(shù)值.師生共同完成下表:【課件展示】銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinA123cosA321tanA313【思考】(1)觀察表格中數(shù)據(jù),當銳角α增大時,它的正弦、余弦、正切怎樣變化?(2)表格中哪些角的三角函數(shù)值是相等的?(3)根據(jù)(2)猜想正確結論.(4)觀察表格中數(shù)據(jù),銳角α的正弦、余弦值與1之間的大小有何關系?【師生活動】學生進行小組討論,教師巡視中幫助有困難的學生,并對學生的回答作出點評,只要學生說得有理,就要給予肯定和鼓勵.【結論】(1)正弦、正切值隨著角度的增大而增大,余弦值隨著角度的增大而減小.(2)sin30°=cos60°,sin60°=cos30°,sin45°=cos45°,故sinα=cos(90°-α),cosα=sin(90°-α),其中α為銳角.(3)0<sinA<1,0<cosA<1.[設計意圖]學生在教師提出的問題的引導下,完成特殊角的三角函數(shù)值的推導,并通過觀察得到銳角三角函數(shù)的一些性質.學生通過動手畫圖、計算驗證得出結論,讓學生經歷知識的形成過程,加深對知識的理解和掌握,同時學生之間的討論、交流,增強了學生之間的合作能力.二、例題講解求下列各式的值.(1)cos260°+sin260°；(2)cos45°sin45°-tan45°教師引導思考:(1)你知道cos260°與sin260°表示的意義嗎?(cos260°表示(cos60°)2,sin260°表示(sin60°)2)(2)cos60°,sin60°,cos45°,sin45°,tan45°各等于什么值?(3)將各三角函數(shù)值代入,計算各代數(shù)式的值.【師生活動】教師邊提問邊解答該題,同時板書解題過程,教師強調易錯點.解:(1)cos260°+sin260°=122+3(2)cos45°sin45°-tan45°=22÷2(1)如圖(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=6,BC=3,求∠A的度數(shù)；(2)如圖(2),AO是圓錐的高,OB是底面半徑,AO=3OB,求α的度數(shù).【思考】(1)圖(1)中,在Rt△ABC中,邊長AB,BC與∠A有什么關系?sinA=BCAB=36(2)哪個銳角的正弦值等于22?sin45°=(3)圖(2)中,在Rt△AOB中,OB,AO與α有什么關系?tanα=OAOB=(4)哪個銳角的正切值等于3?(tan60°=3)【師生活動】學生獨立思考后,小組合作交流,完成解答過程,小組代表板書解題過程,教師點評,師生共同歸納解題方法.解:(1)∵sinA=BCAB=36=22,∴∠(2)∵tanα=OAOB=3OBOB=3,∴【歸納】要求一個直角三角形中一個銳角的度數(shù),可以先求它的某一個三角函數(shù)的值,如果這個值是一個特殊值,那么我們就可以求出這個角的度數(shù).[設計意圖]在教師的引導下完成例題的分析和解答,正確認識特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握由特殊角求三角函數(shù)值,由特殊三角函數(shù)值求出對應角的度數(shù),通過探索解題過程,提高學生分析問題、解決問題的能力,通過對題型方法技巧的總結,培養(yǎng)學生歸納總結能力.[知識拓展](1)結合圖形(如圖)及其中的數(shù)據(jù)和三角函數(shù)的定義來計算特殊角的三角函數(shù)值,從而記住結果.(2)對于其他相關角的三角函數(shù)值,往往用定義求解,15°,°,75°角等.(3)等邊三角形、等腰直角三角形及與30°,45°,60°角相關聯(lián)的其他三角形問題,常常要用特殊角的三角函數(shù)值解答.1.特殊角的三角函數(shù)值:銳角A銳角三角函數(shù)30°45°60°sinA123cosA321tanA3132.求含有特殊角的三角函數(shù)的代數(shù)式.3.已知特殊的三角函數(shù)值求特殊角.1.計算3tan30°的值等于()A.33C.33D.2.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,若sinA=12,且∠B=90°-∠A,則sinB等于(A.12B.22C.3.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,sinA=12,cosB=22,則△ABC的形狀為4.計算：(1)2sin30°-2cos45°；(2)tan30°-sin60°·sin30°；(3)(1-3tan30°)【答案與解析】解析:3tan30°=3×33=3.解析:∵sinA=12,∴∠A=30°.又∠B=90°-∠A,∴∠B=60°,∴sinB=sin60°=323.鈍角解析:∵sinA=12,cosB=22,∴∠A=30°,∠B=45°.又∠A+∠B+∠∴∠C=105°,∴△ABC為鈍角三角形.4.解:(1)2sin30°-2cos45°=2×12-2×22(2)tan30°-sin60°·sin30°=33-32×12=33-(3)(1-3tan30°)2=1-3×332=第3課時1.實踐探究特殊角的三角函數(shù)值2.例題講解例1例2一、教材作業(yè)二、課后作業(yè)【基礎鞏固】60°的值等于()A.12B.22C.322.計算2sin45°的結果等于()A.2C.22D.3.在△ABC中,∠A,∠B都是銳角,且sinA=12,cosB=32,則△ABC是(A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不能確定4.點M(-sin60°,cos60°)關于x軸對稱的點的坐標是()A.32,12-5.若α為銳角,且3tan(90°-α)=3,則α為()°°°°6.若sinα=22,則銳角α=.若2cosα=1,則銳角α=7.計算sin30°cos30°-tan30°=.

8.在△ABC中,若銳角A,B滿足cosA-12+sinB-2229.計算：(1)|2-3|-(2015-π)0+2sin60°+13(2)14-1+|1-3|-2710.如圖,在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=6.求BC的長.(結果保留根號)【能力提升】11.如圖,以O為圓心,任意長為半徑畫弧,與射線OM交于點A,再以A為圓心,AO長為半徑畫弧,兩弧交于點B,畫射線OB,則cos∠AOB的值等于.

12.菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖,∠AOC=45°,OC=2,則點B的坐標為.

13.如圖,在△ABC中,AD⊥BC,垂足為D,∠B=60°,∠C=45°,BC=2,求AC的長.【拓展探究】14.閱讀下面的材料,先完成閱讀填空,再按要求答題.sin30°=12,cos30°=32,則sin230°+cos230°=sin45°=22,cos45°=22,則sin245°+cos245°=sin60°=32,cos60°=12,則sin260°+cos260°=.……觀察上述等式,猜想:對任意銳角A,都有sin2A+cos2A=.④

(1)如圖,在銳角三角形ABC中,利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對∠A證明你的猜想；(2)已知∠A為銳角(cosA>0)且sinA=35,求cos【答案與解析】解析:cos60°=12.解析:2sin45°=2×22=1.解析:由sinA=12,cosB=32,得∠A=30°,∠B=30°.∵∠A+∠B+∠∴∠C=120°,∴△ABC是鈍角三角形.故選C.解析:∵sin60°=32,cos60°=12,∴點M的坐標為-32,12,∴點解析:∵3tan(90°-α)=3,∴tan(90°-α)=33,∴90°-α=30°,∴α=60°.°60°解析:由sinα=22,得α=45°.由2cosα=1,得cosα=12,∴α312解析:sin30°cos30°-tan30°=12×32-3°解析:由cosA-12+sinB-222=0,得cosA-12=0,sinB-22=0,∴cosA=12,sinB=22,∴∠9.解:(1)原式=2-3-1+2×32+3=1+3=4.(2)原式=4+3-1-33×33=4+3-1-3=10.解:如圖,過點A作AD⊥BC于點D.在Rt△ABD中,∠B=45°,∴AD=BD.設AD=x.∵AB=6,∴x2+x2=62,解得x=32,即AD=BD=32.在Rt△ACD中,∠ACD=60°,∴∠CAD=30°,tan30°=CDAD,即CD32=33,∴CD=6.∴BC=BD+DC=311.12解析:連接AB.由圖可知OA=OB,AO=AB,∴OA=AB=OB,即三角形OAB∴∠AOB=60°,∴cos∠AOB=cos60°=1212.(2+1,1)解析:如圖,作CD⊥OA于D.由題意可得OA=OC=BC=2,∠AOC=45°,∴CD=OCsin45°=1,OD=OCcos45°=1,則點C的坐標為(1,1),則點B的坐標為(2+1,1).13.解:在Rt△ACD中,cosC=CDAC,∴CD=ACcosC.∵∠C=45°,∴CD=22AC,∴AD=CD=2∵∠B=60°,∴tanB=ADBD=3,∴BD=22AC3=66AC.∵BC=BD+DC=2,∴22AC+66AC14.解:1111(1)過點B作BD⊥AC于D.在Rt△ADB中,sinA=BDAB,cosA=ADAB,由勾股定理得BD2+AD2=AB2,∴BDAB2+ADAB2=1,∴sin2(2)∵∠A為銳角(cosA>0),sinA=35,sin2A+cos2A=1,∴cosA=1-sin2本節(jié)課通過復習三角函數(shù)的定義,為特殊角的三角函數(shù)值的推導打下基礎,同時以生活實際問題導入新課,讓學生體會數(shù)學與生活聯(lián)系緊密,激發(fā)學生的學習興趣.通過特殊角所在直角三角形邊之間的關系及勾股定理和三角函數(shù)的定義,推導出特殊角的三角函數(shù)值,內容比較簡單,學生獨立完成后,小組交流答案,通過教師引導填寫表格,加深學生對特殊角的三角函數(shù)值的記憶,學生動手、動腦,提高了分析問題的能力.例題中求代數(shù)式的值,學生獨立完成,教師點評,再次加深對特殊角的三角函數(shù)值的記憶,整節(jié)課課堂氣氛活躍,人人學到有價值的數(shù)學.本節(jié)課的重點是探究特殊角的各三角函數(shù)值,并能計算和特殊角的三角函數(shù)值有關的代數(shù)式,學生能夠通過自主學習完成本節(jié)課的學習,大多數(shù)學生在課堂上表現(xiàn)積極活躍,但在推導出特殊角的三角函數(shù)值后,沒有給學生足夠的時間去記憶,應該同桌之間或組內成員之間互相出題,重點考查特殊角的三角函數(shù)值的記憶,為后邊的學習做好鋪墊.特殊角的三角函數(shù)值是需要記憶的知識,但教學設計不能讓學生單純的記憶,而是要讓學生經歷知識的形成過程,真正理解和掌握數(shù)學知識.以情景導入新課,引起學生的思考,讓學生嘗試求特殊角的三角函數(shù)值,通過學生動手推導,認識角的度數(shù)與三角函數(shù)值之間的相互轉化,發(fā)現(xiàn)銳角的三角函數(shù)值之間的規(guī)律,并歸納總結,提高學生觀察、思考、歸納的能力.例題的講解以學生活動為主,教師對出現(xiàn)的錯誤作出點評,加深對特殊角的三角函數(shù)值的記憶,并規(guī)范書寫過程,培養(yǎng)嚴謹精神.第課時1.讓學生熟識計算器一些功能鍵的使用.2.會熟練運用計算器求銳角的三角函數(shù)值和由三角函數(shù)值來求角.1.自己熟悉計算器,在教師的指導下求一般銳角三角函數(shù)值,體會數(shù)學知識與實際生活息息相關.2.認識使用計算器可以解決部分復雜問題,通過求值探討三角函數(shù)問題的某些規(guī)律,提高學生分析問題的能力.1.通過計算器的使用,了解科學在人們日常生活中的重要作用,激勵學生熱愛科學、學好文化知識.2.讓學生通過獨立思考、自主探究和合作交流,進一步體會函數(shù)的數(shù)學內涵,獲得知識,體驗成功,享受學習樂趣.【重點】運用計算器處理三角函數(shù)中的值或角的問題.【難點】運用計算器處理三角函數(shù)中的值或角的問題.導入一:如圖,工件上有一V形槽,AC=BC.測得它的上口寬AB為20mm,深CD為mm,求V形角(∠ACB)的大小.根據(jù)題意可得∠ACB=2∠ACD.在Rt△ACD中,tan∠ACD=ADCD=1019.2[過渡語]∠ACD的正切值不是特殊值,我們能不能求這個角呢?這就是我們這節(jié)課要學習的內容.導入二:【復習提問】1.列表寫出30°,45°,60°角的三個三角函數(shù)值.2.通過上節(jié)課的學習,我們知道當銳角A是30°,45°,60°時,可以求出它的三個三角函數(shù)值,如果銳角A不是這些特殊角,怎樣得到它的三角函數(shù)值呢?[設計意圖]通過生活實際問題導入新課,讓學生體會數(shù)學與實際生活緊密相關,激發(fā)學生的學習興趣,通過復習特殊角的三角函數(shù)值,引導學生思考不是特殊角的三角函數(shù)值如何求解,自然地引出本節(jié)課的內容,讓學生明確本節(jié)課的學習目標.[過渡語]我們可以用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值,已知角的三角函數(shù)值也可以用計算器求出這個銳角,讓我們一起用計算器解決這些問題吧!一、共同探究:用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值求出下列各角的三角函數(shù)值.(1)sin18°；(2)cos21°28'30″；(3)tan30°36'.思路一通過自主學習完成求值.【師生活動】獨立閱讀計算器的使用說明,然后小組合作交流,按照使用說明共同完成,教師巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的答案作出點評.解:(1)sin18°≈.(2)cos21°28'30″≈.(3)tan30°36'≈.【學生活動】組長出四個求銳角的三角函數(shù)值的題,小組成員用計算器完成后,小組內交流答案.思路二教師結合計算器使用說明講述用計算器求銳角三角函數(shù)值的方法.〔解析〕(1)利用計算器的sin鍵,并輸入角度值18,得到結果sin18°≈.(2)方法1:利用計算器的cos鍵,并輸入角的度、分、秒值(可以使用°'″鍵),得到結果cos21°28'30″≈.方法2:因為21°28'30″=°,所以可以利用計算器的cos鍵,輸入角度值,得到結果cos21°28'30″≈.(3)方法1:利用計算器的tan鍵,并輸入角的度、分值(可以使用°'″鍵),得到結果tan30°36'≈.方法2:因為30°36'=°,所以可以利用計算器的tan鍵,輸入角度值,得到結果tan30°36'≈.【學生活動】組長出四個求銳角的三角函數(shù)值的題,小組成員用計算器完成后,小組內交流答案.[設計意圖]學生自主學習計算器使用說明后,通過小組討論交流,學會用計算器求銳角的三角函數(shù)值,培養(yǎng)學生的自學能力及操作能力.二、共同探究:已知銳角的三角函數(shù)值求角度已知下列銳角三角函數(shù)值,求出其對應的銳角的度數(shù).(1)sinA=；(2)cosA=；(3)tanA=.【師生活動】獨立閱讀計算器的使用說明,然后小組合作交流,按照使用說明共同完成,教師巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的答案作出點評.解:(1)約為°或30°7'9″.(2)約為°或45°0'31″.(3)約為52°.【師生活動】歸納操作方法,教師點評.[設計意圖]學生閱讀計算器使用說明書后,小組合作交流操作方法,歸納操作步驟,培養(yǎng)學生自主學習能力和合作交流能力,同時培養(yǎng)學生歸納總結能力.三、例題講解用計算器求出下列各角的三角函數(shù)值,說明你的發(fā)現(xiàn),并嘗試驗證.(1)sin62°25'30″；(2)sin80°；(3)sin12°25'；(4)cos27°34'30″；(5)cos10°；(6)cos77°35'.【師生活動】學生分別求出各三角函數(shù)值,然后觀察,尋找規(guī)律,小組內合作交流答案,教師巡視過程中幫助有困難的學生,對學生的答案作出點評,共同歸納出正確結論.【結論】(1)銳角α的正弦值隨著α的增大而增大；(2)sinα=cos(90°-α),其中α為銳角.[設計意圖]通過例題的操作計算,加深用計算器求角的三角函數(shù)值的操作過程,觀察各銳角的三角函數(shù)值,探究歸納規(guī)律,讓學生明白許多數(shù)學規(guī)律可以運用先進的計算手段去發(fā)現(xiàn)、驗證,同時培養(yǎng)學生的觀察、歸納能力.[知識拓展](1)用計算器可以求出銳角的正弦值、余弦值、正切值,由于計算器的類型不同,因此使用方法也不同,所以要根據(jù)計算器的使用說明書來選擇按鍵順序.(2)使用計算器求出的值多數(shù)是近似值,具體計算中必須按要求確定近似值.(3)由于不同計算器的操作步驟不同,計算銳角的度數(shù)時,若需要將單位表示為“度”“分”“秒”,最后需要按鍵°'″或組合鍵2ndF°'″.1.用計算器求任意銳角的三角函數(shù)值.2.已知銳角的三角函數(shù)值用計算器求角度.1.用計算器求sin62°20'的值正確的是()2.已知tanA=,則∠A約為()°°°°3.用計算器求三角函數(shù)值(精確到.(1)sin23°≈；(2)tan54°53'40″≈.

4.已知sinα=,cosβ=,則α+β≈.(精確到1')

5.用計算器求銳角α(精確到1″).(1)若cosα=,則α≈；(2)若tan(2α+10°31'7″)=,則銳角α≈.

【答案與解析】解析:按計算器使用說明依次按鍵得sin62°20'≈.故選A.解析:按計算器使說明依次按鍵得∠A≈18°.故選B.3.(1)(2)解析:用計算器求得sin23°≈,tan54°53'40″≈.4.48°24'解析:用計算器分別求出α和β的值