中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形 解答題訓(xùn)練（一）

中考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)幾何專題：三角形解答題訓(xùn)練（一）1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（﹣1，m），點B（2，n），且|m﹣1|+＝0．（1）求A，B兩點的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若直線AB交x軸于點C點，試求出C點坐標(biāo)；（3）在（2）的結(jié)論下，已知P（a，0）為x軸上一動點，若S△ABP不超過9，請求出a的取值范圍．2．如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝14，M為AC的中點，OM⊥AC交∠ABC的平分線于O，OE⊥AB交BA的延長線于E，OF⊥BC．垂足為F．（1）求證：AE＝CF．（2）求線段BE的長．3．已知在△ACD中，P是CD的中點，B是AD延長線上的一點，連結(jié)BC，AP．（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，BD＝AC，AP＝，求BC的長．（2）過點D作DE∥AC，交AP延長線于點E，如圖2所示，若∠CAD＝60°，BD＝AC，求證：BC＝2AP．（3）如圖3，若∠CAD＝45°，是否存在實數(shù)m，當(dāng)BD＝mAC時，BC＝2AP？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D是BC中點，點E是AC邊上一動點，連接DE，在DE左側(cè)作Rt△DEF，滿足∠DFE＝90°，DF＝EF，連接AF并延長，交BC于點G．（1）如圖1，若AB＝4，AE＝1，求DE的長；（2）如圖2，在點E的運動過程中，猜想AF與FG存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖3，在點E的運動過程中，將AF繞點F逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到A′F，連接A'B，A'D，若AB＝4，請直接寫出當(dāng)A'B+A′D取得最小值時，△A′DF的面積．5．如圖，直線MN與直線PQ相交于O，∠POM＝30°，點A在射線OP上運動，點B在射線OM上運動，AC、BC分別是∠BAO和∠ABO的角平分線．（1）若∠BAO＝50°，試求出∠ACB的度數(shù)．（2）點A、B在運動的過程中，∠ACB的大小是否會發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請說明理由；若不發(fā)生變化，試求出∠ACB的度數(shù)．（3）在（2）的條件下，在△ABC中，如果有一個角是另一個角的2倍，請直接寫出∠BAC的度數(shù)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)是（a，0），點B的坐標(biāo)是（b，0），其中a，b滿足+（b﹣3）2＝0．（1）填空：a＝，b＝；（2）在y軸有一點M（0，m），△ABM的面積為4．求m的值；（3）如圖，若M在y軸負(fù)半軸，將線段AM沿x軸正方向平移，使得A的對應(yīng)點為B，M的對應(yīng)點為N．若點P為線段AB上的任意一點（不與A，B重合），試寫出∠MPN，∠PMA，∠PNB之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．7．已知：DF∥BC，∠FDC＝∠AEC．（1）如圖1，已知CD⊥AB，CB平分∠NCE．求∠ABC的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ABC＝∠ACF，AC＝FC，DM＝BE．求證：BC＝MC．8．如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，對角線AC與BD相交于點O，M、N分別是邊BD、AC的中點．（1）求證：MN⊥AC；（2）當(dāng)AC＝30cm，BD＝34cm時，求MN的長．9．如圖，在等邊△ABC中，點D是射線BC上一動點（點D在點C的右側(cè)），CD＝DE，∠BDE＝120°．點F是線段BE的中點，連接DF、CF．（1）請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（2）若AB＝4，求線段CF長度的最小值．10．如圖，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A、D、E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD、BE之間的數(shù)量關(guān)系是．③當(dāng)點A、D、E不在同一直線上，∠AEB的度數(shù)會發(fā)生變化嗎？（填寫“變化”或“不變”）．11．在△ABC中，∠CAB＝90°，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF．（1）求證：四邊形ADCF是菱形．（2）連接CE，若CE＝EF，直接寫出長度等于的線段．12．如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D．BE⊥AC，垂足為G，AB＝CF，BE＝AC．（1）求證：AE＝AF；（2）求∠EAF的度數(shù)．13．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，AB＝AC且∠CAB＝90°，E為BC上一點，且BE＝AC，過E作EF⊥BC且EF＝EC，連接CF．（1）如圖1，已知AB＝2，連接AE、AF，求△AEF的面積；（2）如圖2所示，D為AB上一點，連接DB，作∠DBH＝45°交EF于H點，求證：CD＝HF+CE；（3）已知△ABC面積為8+4，D為射線AC上一點，作∠DBH＝45°，交射線EF于H，連接DH，點M為DH的中點，當(dāng)CM有最小值時，請直接寫出△CMD的面積．14．直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，直線l過點C．（1）當(dāng)AC＝BC時，如圖①，分別過點A、B作AD⊥l于點D，BE⊥l于點E．求證：△ACD≌△CBE．（2）當(dāng)AC＝8，BC＝6時，如圖②，點B與點F關(guān)于直線l對稱，連接BF，CF，動點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿AC邊向終點C運動，同時動點N從點F出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿F→C→B→C→F向終點F運動，點M、N到達(dá)相應(yīng)的終點時停止運動，過點M作MD⊥l于點D，過點N作NE⊥l于點E，設(shè)運動時間為t秒．①CM＝，當(dāng)N在F→C路徑上時，CN＝．（用含t的代數(shù)式表示）②直接寫出當(dāng)△MDC與△CEN全等時t的值．15．在△ABC和△DBE中，CA＝CB，EB＝ED，點D在AC上．（1）如圖1，若∠ABC＝∠DBE＝60°，求證：∠ECB＝∠A；（2）如圖2，設(shè)BC與DE交于點F．當(dāng)∠ABC＝∠DBE＝45°時，求證：CE∥AB；（3）在（2）的條件下，若tan∠DEC＝時，求的值．16．閱讀下列材料，完成相應(yīng)任務(wù)．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知△ABC中，AD是BC邊上的中線．求證：AB+AC＞2AD．智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線∴BD＝CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（依據(jù)一）∴BE＝CA在△ABE中，AB+BE＞AE（依據(jù)二）∴AB+AC＞2AD．任務(wù)一：上述證明過程中的“依據(jù)1”和“依據(jù)2”分別是指：依據(jù)1：；依據(jù)2：．歸納總結(jié)：上述方法是通過延長中線AD，使DE＝AD，構(gòu)造了一對全等三角形，將AB，AC，AD轉(zhuǎn)化到一個三角形中，進(jìn)而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系．任務(wù)二：如圖3，AD是BC邊上的中線，AB＝3，AC＝4，則AD的取值范圍是；任務(wù)三：如圖4，在圖3的基礎(chǔ)上，分別以AB和AC為邊作等腰直角三角形，在Rt△ABE中，∠BAE＝90°，AB＝AE；Rt△ACF中，∠CAF＝90°，AC＝AF．連接EF．試探究EF與AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．17．（1）①如圖1，△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，點E在線段AB上，∠ACB＝∠ECF＝90°．求證：△ACF≌△BCE；②如圖2，當(dāng)AE＝，BE＝3AE時，求線段CG的長；（2）如圖3，∠BDC＝∠CAD＝30°，∠BCD＝90°，AB＝2，AD＝4，求AC的長．18．（1）如圖①，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且點B，C，E在一條直線上，連接BD和AE，直線BD，AE相交于點P．則線段BD與AE的數(shù)量關(guān)系為；BD與AE相交構(gòu)成的銳角的度數(shù)為．（2）如圖②，點B，C，E不在同一條直線上，其它條件不變，上述的結(jié)論是否還成立？請說明理由．（3）應(yīng)用：如圖③，點B，C，E不在同一條線上，其它條件依然不變，此時恰好有∠AEC＝30°．設(shè)直線AE交CD于點Q，請把圖形補全．若PQ＝2，則DP＝．19．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（a，0），B（0，b），C（0，c），+|2﹣b|＝0，c＝（a﹣b）．（1）求△ABC的面積；（2）如圖2，點A以每秒m個單位的速度向下運動至A′，與此同時，點Q從原點出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿x軸向右運動至Q′，3秒后，A′、C、Q′在同一直線上，求m的值；（3）如圖3，點D在線段AB上，將點D向右平移4個單位長度至E點，若△ACE的面積等于14，求點D坐標(biāo)．20．在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于點E，BD⊥AE交AE延長線于點D，連接CD，過點C作CF⊥CD交AD于F．（Ⅰ）如圖①，（1）求∠EBD的度數(shù)；（2）求證AF＝BD；（Ⅱ）如圖②，DM⊥AC交AC的延長線于點M，探究AB、AC、AM之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．參考答案1．解：（1）∵|m﹣1|+＝0，又∵|m﹣1|≥0,≥0,∴m＝1,n＝4,∴A(﹣1,1),B(2,4)．(2)如圖1中，過點B作BH⊥x軸于H,連接AH,設(shè)C(m,0)．∵B(2,4),A(﹣1,1),∴H(2,0),BH＝4,∵S△ABH＝S△CBH﹣S△ACH,∴×4×3＝×(2﹣m)×4﹣×(2﹣m)×1,∴m＝﹣2,∴C(﹣2,0)．(3)如圖2中，當(dāng)S△PAB＝9時，?|a+2|?4﹣?|a+2|?1＝9,解得a＝4或﹣8，∴滿足條件的a的值為：﹣8≤a＜﹣2或﹣2＜a≤4．2．（1）證明：連接OA,∵OB平分∠ABC，又∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴OE＝OF．∵OM⊥AC，M為AC中點，∴OM垂直平分AC，∴OA＝OC，在Rt△AEO與Rt△CFO中，,∴Rt△AEO≌Rt△CFO（HL），∴AE＝CF；（2）解：在Rt△BEO與Rt△BFO中，，∴△BEO≌△BFO（HL），∴BE＝BF，∵AB＝7，BC＝14，設(shè)AE＝CF＝x，∴x+7＝14﹣x，∴，∴．3．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠CAD＝60°，∴AB＝，∵BD＝AC，∴AD＝AC，∴△ADC是等邊三角形，∴∠ACD＝60°，∵P是CD的中點，∴AP⊥CD，在Rt△APC中，AP＝，∴，∴，（2）證明：連接BE，∵DE∥AC，∴∠CAP＝∠DEP，在△CPA和△DPE中，∴△CPA≌△DPE（AAS），∴AP＝EP＝，DE＝AC，∵BD＝AC，∴BD＝DE，又∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠CAD＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∵BD＝AC，∴AC＝BE，在△CAB和△EBA中，∴△CAB≌△EBA（SAS），∴AE＝BC，∴BC＝2AP，（3）存在這樣的m，m＝．理由如下：作DE∥AC交AP延長線于E，連接BE，由（2）同理可得DE＝AC，∠EDB＝∠CAD＝45°，AE＝2AP，當(dāng)BD＝時，∴BD＝，作BF⊥DE于F，∵∠EDB＝45°，∴BD＝，∴DE＝DF，∴點E，F(xiàn)重合，∴∠BED＝90°，∴∠EBD＝∠EDB＝45°，∴BE＝DE＝AC，同（2）可證：△CAB≌△EBA（SAS），∴BC＝AE＝2AP，∴存在m＝，使得BC＝2AP4．（1）解：過點E作EH⊥DC，垂足為H，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AB＝4，∴BC＝4，∠C＝45°，∵點D是BC中點，∴DB＝DC＝2，∵AE＝1，∴CE＝3，∵∠C＝45°，∴HE＝HC＝，HD＝CD﹣HC＝，DE＝，∴DE＝．（2）AF＝FG，證明如下：取AE的中點I，連接FI，DI，∵點D是BC中點，∴DI∥AB，∴△DIC是等腰直角三角形，∴，即，∠FDE＝∠IDC＝45°，∴∠FDI＝∠BDC，∴△FDI∽△EDC，∴∠FID＝∠C＝45°，∴∠AIF＝∠C＝45°，∴FI∥CB，∴AF＝FG．（3）延長DA′交AB于點M，取AM的中點N，連接DN，AD，AA′，∵△ADB和△AFA′是等腰直角三角形，∴＝，∠BAD＝∠A′AD＝45°，∴∠BAA′＝∠DAF，∴△BAA′∽△DBF，∴，由（2）可知，AF＝FG，∠ADC＝90°，∴AF＝FD，∴BA′＝AA′，∵BD＝DA，∴DM垂直平分AB，BM＝AM＝DM＝2，NM＝1，∴DN＝，sin，tam，過點A′作A′P⊥DN，垂足為P，∴sin，，當(dāng)B、A′、P在同一條直線上時，A′B+A′D最小，∵∠BA′M＝∠DA′P，∴∠MBP＝∠MDN，∴，A′M＝1，A′D＝1，∵，A，∴，A，∵，∴，DP＝，∴＝．5．解：（1）如圖1中，∵BC平分∠ABO，AC平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABO，∠BAC＝∠BAO，∵∠POM＝30°，∴∠ABO+∠BAO＝180°﹣30°＝150°，∴∠CBA+∠CAB＝（∠ABO+∠BAO）＝×150°＝75°，∴∠ACB＝180°﹣（∠CBA+∠CAB）＝180°﹣75°＝105°；（2）∠ACB的大小不變，理由如下：由（1）知：點A、B在運動的過程中，∠ACB＝105°；（3）由（2）可知，∠ACB＝105°，∠BAC+∠ABC＝75°，∵△ABC中有一個角是另一個角的2倍，∴∠ACB＝2∠BAC或∠ACB＝2∠ABC或∠ABC＝2∠BAC或∠BAC＝2∠ABC，∴∠BAC＝52.5°或22.5°或25°或50°．6．解：（1）∵+（b﹣3）2＝0，≥0，（b﹣3）2≥0，∴a+1＝0，b﹣3＝0，解得，a＝﹣1，b＝3，故答案為：﹣1；3；（2）由（1）可知A（﹣1，0），B（3，0），∴OA＝1，OB＝3，∴AB＝OA+OB＝4，由題意得，△ABM的面積＝AB?OM＝×4×OM＝4，即×4×|m|＝4，解得，m＝±2；（3）∠MPN＝∠PMA+∠PNB，理由如下：過點P作PE∥AM，則∠MPE＝∠PMA，∵AM平移后得到BN，∴AM∥BN，∴PE∥BN，∴∠NPE＝∠PNB，∴∠MPN＝∠MPE+∠NPE＝∠PMA+∠PNB．7．解：（1）∵DF∥BC，∴∠FDC＝∠NCB，∵CB平分∠NCE，∴∠NCB＝∠BCE，∵∠FDC＝∠AEC，∴∠FDC＝∠NCB＝∠BCE＝∠AEC，∵CD⊥AB，∴∠ENC＝90°，∴∠AEC+∠NCE＝∠AEC+∠BCE+∠NCB＝3∠NCB＝90°，∴∠NCB＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠NCB＝60°；（2）∵DF∥BC，∴∠FMC＝∠ACB，∵∠ABC＝∠ACF，∴180°﹣∠FMC﹣∠ACF＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC，即∠F＝∠BAC，在△DFC和△EAC中，，∴△DFC≌△EAC（AAS），∴CD＝CE，在△MDC和△BEC中，，∴△MDC≌△BEC（SAS），∴MC＝BC．8．解：（1）如圖，連接AM，CM，∵∠DAB＝∠DCB＝90°，點M是BD的中點，∴AM＝BD，CM＝BD，∴AM＝CM，∵點N是AC的中點，∴MN⊥AC；（2）∵BD＝34cm，∴AM＝CM＝BD＝17cm，∵AC＝30cm，∴AN＝AC＝15cm，由（1）知，MN⊥AC，∴MN＝＝＝8．9．解：（1）線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：AD＝2DF，理由如下：延長DF至點M，使DF＝FM，連接BM、AM，如圖1所示：∵點F為BE的中點，∴BF＝EF，在△BFM和△EFD中，，∴△BFM≌△EFD（SAS），∴BM＝DE，∠MBF＝∠DEF，∴BM∥DE，∵線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，∴CD＝DE＝BM，∠BDE＝120°，∴∠MBD＝180°﹣120°＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠ABM＝∠ABC+∠MBD＝60°+60°＝120°，∵∠ACD＝180°﹣∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∴∠ABM＝∠ACD，在△ABM和△ACD中，，∴△ABM≌△ACD（SAS），∴AM＝AD，∠BAM＝∠CAD，∴∠MAD＝∠MAC+∠CAD＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，∴△AMD是等邊三角形，∴AD＝DM＝2DF；（2）連接CE，取BC的中點N，連接作射線NF，如圖2所示：∵△CDE為等腰三角形，∠CDE＝120°，∴∠DCE＝30°，∵點N為BC的中點，點F為BE的中點，∴NF是△BCE的中位線，∴NF∥CE，∴∠CNF＝∠DCE＝30°，∴點F的軌跡為射線NF，且∠CNF＝30°，當(dāng)CF⊥NF時，CF最短，∵AB＝BC＝4，∴CN＝2，在Rt△CNF中，∠CNF＝30°，∴CF＝CN＝1，∴線段CF長度的最小值為1．10．解：①如圖1，∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案為：AD＝BE．③如圖2，點A、D、E不在同一直線上，∠AEB的度數(shù)會發(fā)生變化；故答案為：變化．11．證明：（1）∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠BDE，∵E為AD中點，∴AE＝DE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB（ASA），∴AF＝BD，∵AD為Rt△ABC的斜邊中線，∴AD＝BD＝CD，∴AF＝AD＝CD，又∵AF∥CD，∴四邊形ADCF是菱形．（2）由（1）得E為BF中點，∵CE＝EF，∴CE＝BE，∴AD垂直平分BC，∴△ABC為等腰直角三角形，四邊形CFAD為正方形，∴BD＝AD＝CD＝CF＝FA＝AB．故答案為：BD，AD，CD，CF，F(xiàn)A．12．（1）證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠EBA＝90°，∴∠ACD＝∠EBA，在△AEB和△FAC中，，∴△AEB≌△FAC（SAS），∴AE＝FA；（2）解：∵△AEB≌△FAC，∴∠E＝∠CAF，∵∠E+∠EAG＝90°，∴∠CAF+∠EAG＝90°，即∠EAF＝90°．13．解：（1）∵AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，∴BC＝＝＝2，∠ACB＝45°，如圖1，過點A作AT⊥BC于點T，則BT＝CT，AT＝BC＝，∵BE＝AC＝2，∴CE＝BC﹣BE＝2﹣2，∵EF⊥BC且EF＝EC，∴∠ECF＝45°，CF＝CE＝×（2﹣2）＝4﹣2，∴∠ACF＝∠ACB+∠ECF＝45°+45°＝90°，∴S△AEF＝S△ACF﹣S△ACE﹣S△CEF＝?AC?CF﹣?CE?AT﹣?CE?EF＝×2×（4﹣2）﹣12×（2﹣2）×﹣×（2﹣2）×（2﹣2）＝3﹣4；（2）如圖2，∵∠DBH＝45°＝∠ABC，∴∠ABD+∠CBD＝∠EBH+∠CBD，∴∠ABD＝∠EBH，在△ABD和△EBH中，，∴△ABD≌△EBH（ASA），∴AD＝EH，過點B作BR⊥AB交CF的延長線于點R，在RC上截取RK＝AD，連接BK，BF，∴∠ABR＝90°＝∠A＝∠ACF，∴四邊形ABRC是矩形，∵AB＝AC，∴四邊形ABRC是正方形，∴BR＝AB，∠R＝90°＝∠A，在△BRK和△BAD中，，∴△BRK≌△BAD（SAS），∴BK＝BD，RK＝AD，∠ABD＝∠RBK，∵∠ABC＝∠RBC＝45°，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠RBC﹣∠RBK，即∠CBD＝∠CBK，在△CBD和△CBK中，，∴△CBD≌△CBK（SAS），∴CD＝CK＝CF+FK，∵CF＝CE，∴CD＝FK+CE，在Rt△BRF和Rt△BEF中，，∴Rt△BRF≌Rt△BEF（HL），∴FR＝FE，∵RK＝AD＝EH，∴FR﹣RK＝FE﹣EH，即FK＝FH，∴CD＝FH+CE；（3）由（2）知，△ABD≌△EBH，∴AD＝EH，根據(jù)瓜豆原理，點H的運動軌跡為射線EF，∵點M為DH的中點，點M的運動軌跡為射線AE，當(dāng)CM有最小值時，CM⊥AE，∴∠AMC＝90°，設(shè)AB＝a，則BC＝a，CE＝（）a，過點M作MK⊥AB于K，過點E作ET⊥AB于點T，∴∠BTE＝∠BKM＝∠AKM＝∠ALM＝∠BAC＝90°，∵∠ABC＝45°，∴ET＝BT＝BE?cos∠ABC＝a?sin45°＝a，∴AT＝AB﹣BT＝a﹣a＝a，∴AE＝＝＝a，∵ET∥AC，∴∠CAM＝∠AET，∵∠AMC＝∠ETA＝90°，∴△AMC∽△ETA，∴＝＝，即＝＝，∴CM＝a，AM＝a，∵ET∥MK，∴△AET∽△AMK，∴＝，即＝，∴MK＝a，∴S△ABM＝AB?MK＝?a?a＝a2，∵∠AMD＝∠BMD＝90°，∴∠CMD+∠AMD＝∠AMB+∠AMD，∴∠CMD＝∠AMB，∵∠CAM+∠DCM＝90°，∠CAM+∠BAM＝90°，∴∠DCM＝∠BAM，∴△CMD∽△AMB，∴＝＝＝3﹣2，∴S△CMD＝（3﹣2）?S△AMB＝（3﹣2）?a2，∵S△ABC＝a2＝8+4，∴a2＝16+8，∴S△CDM＝（3﹣2）?a2＝（3﹣2）××（16+8）＝2．14．解：（1）△ACD與△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直線l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由題意得，AM＝t，F(xiàn)N＝3t，則CM＝8﹣t，由折疊的性質(zhì)可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t．故答案為：8﹣t；6﹣3t．②由折疊的性質(zhì)可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴當(dāng)CM＝CN時，△MDC與△CEN全等，當(dāng)點N沿F→C路徑運動時，8﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣1（不合題意），當(dāng)點N沿C→B路徑運動時，8﹣t═3t﹣6，解得，t＝3.5，當(dāng)點N沿B→C路徑運動時，由題意得，8﹣t＝18﹣3t，解得，t＝5，當(dāng)點N沿C→F路徑運動時，由題意得，8﹣t＝3t﹣18，解得，t＝6.5，綜上所述，當(dāng)t＝3.5秒或5秒或6.5秒時，△MDC與△CEN全等．15．（1）證明：∵CA＝CB，EB＝ED，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴△ABC和△DBE都是等邊三角形，∴AB＝BC，DB＝BE，∠A＝60°．∵∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．∴∠A＝∠ECB；（2）證明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴，∴，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：過點D作DM⊥CE于點M，過點D作DN∥AB交CB于點N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，設(shè)DM＝MC＝a，∴a，∵DN∥AB，∴△DCN為等腰直角三角形，∴DN＝DC＝2a，∵tan∠DEC＝，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴，∵CE∥DN，∴△CEF∽△NDF，∴．16．任務(wù)一：證明：延長AD至E，使DE＝AD，∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝CA，在△ABE中，AB+BE＞AE（三角形任意兩邊之和大于第三邊），∴AB+AC＞2AD．故答案為：SAS，三角形任意兩邊之和大于第三邊．任務(wù)二：解：如圖1，延長AD至點E，使DE＝AD，連接CE，∵AD是中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝EC＝4，在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE，∴4﹣3＜2AD＜4+3，∴1＜2AD＜7，∴．故答案為：＜AD＜．任務(wù)三：EF與AD的數(shù)量關(guān)系為EF＝2AD．理由如下：如圖2，延長AD至點M，使DM＝AD，連接CM，∵AD是中線，∴BD＝CD，在△ABD和△MCD中，，∴△ABD≌△CDM（SAS），∴AB＝MC，∠ABD＝∠DCM，∴AE＝CM，AB∥CM，∴∠BAC+∠ACM＝180°，∵∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠EAF＝∠ACM，又∵AF＝AC，∴△EAF≌△MCA（SAS），∴AM＝EF，∵AM＝2AD，∴EF＝2AD．17．解：（1）①證明：∵△ABC、△ECF都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝90°，∴∠BCE＝∠ACF，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS）；②由①知△ACF≌△BCE，∴AF＝BE，∠CBE＝∠CAF，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠B＝∠BAC＝45°，∴∠CAF＝45°，∴∠EAF＝90°，∵AE＝，BE＝3AE，∴AF＝3，AB＝BE+AE＝4，∴AC＝AB＝4，EF＝＝2，又∵△ECF為等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，CE＝EF＝，∴∠CEG＝∠EAC，又∵∠ECG＝∠ACE，∴△ECG∽△ACE，∴，∴CE2＝CG?AC，∴CG＝；（2）過點A作AD的垂線，過點C作AC的垂線，兩垂線交于點M，連接DM，∵∠CAD＝30°，∴∠CAM＝60°，∴∠AMC＝30°，∴∠AMC＝∠BDC，又∵∠ACM＝∠BCD＝90°，∴△BCD∽△ACM，∴，又∠BCD＝∠ACM，∴∠BCD+∠BCM＝∠ACM+∠BCM，即∠DCM＝∠ACB，∴△DCM∽△BCA，∴，∵AB＝2，∴DM＝2＝6，∴AM＝＝＝2，∴AC＝AM＝．18．解：（1）∵△ABC和△CDE都是等邊三角形，∴AB＝AC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴BD＝AE，∠AEC＝∠BDC，由三角形的外角性質(zhì)，∠DPE＝∠AEC+∠BDC，∠DCE＝∠BDC+∠DBC，∴∠DPE＝∠DCE＝60°；故答案為：相等，60