中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 二次函數(shù)中特殊三角形的存在性問題 專題講義

讓每一個(gè)孩子都能學(xué)有所得！二次函數(shù)與三角形11/11二次函數(shù)中特殊三角形的存在性問題題型一、直角三角形的存在性1、直角三角形存在性問題的設(shè)問方式 已知A、B為定點(diǎn)，是否存在動點(diǎn)C，使△ABC為直角三角形。解題的關(guān)鍵：確定點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡。2、直角三角形存在性問題的處理方法幾何作圖：（分別以A、B、C為直角頂點(diǎn)，分三種情況討論，簡稱：“一圓兩垂直”）?若∠A=90°，過點(diǎn)A作AB的垂線，垂線?若∠B=90°，過點(diǎn)B作AB的垂線，垂線?若∠C=90°3、Rt△ABC動頂點(diǎn)C的求法①“一線三垂直”模型 過銳角頂點(diǎn)向直角頂點(diǎn)所在的直線作垂線，構(gòu)造相似或全等的直角三角形。 ②勾股定理在Rt△ABC中：abc例1如圖，線段AB在直線l上方，在直線l上是否存在一點(diǎn)P，使△PAB是直角三角形？請?jiān)趫D中畫出所有符合條件要求的點(diǎn)P，并說明畫圖依據(jù)例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是3,0，0,4。點(diǎn)P為y軸上一點(diǎn)，使例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為3,0。在直線x=1上有一點(diǎn)Q，使△QBC例4如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=?x2+2x+3例5、（2020年徐州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，它的對稱軸交x軸于點(diǎn)E．過點(diǎn)C作CD∥x軸交拋物線于點(diǎn)D，連接DE并延長交y軸于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)G．直線AF交CD于點(diǎn)H，交拋物線于點(diǎn)K，連接HE、GK．（1）點(diǎn)E的坐標(biāo)為：；（2）當(dāng)△HEF是直角三角形時(shí)，求a的值；（3）HE與GK有怎樣的位置關(guān)系？請說明理由．題型二、等腰三角形存在性以線段AB為邊的等腰三角形構(gòu)造方法如圖1所示：等腰三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上，或以A，B為圓心、AB長為半徑的圓上（不與線段AB共線）。AAB圖1ABCD圖2解等腰三角形的存在性問題時(shí)，若沒有明確指出等腰三角形的底或腰，就需要進(jìn)行分類討論。通常這類問題的解題策略有：（1）幾何法：先分類討論，再畫出等腰三角形，后計(jì)算。如圖2，若AB＝AC，過點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，則BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，從而利用銳角三角函數(shù)、相似三角形等知識解決問題。（2）代數(shù)法：先羅列三邊長，再分類討論列方程，然后解方程并檢驗(yàn)。有時(shí)候?qū)缀畏ê痛鷶?shù)法相結(jié)合，可以使得解題又快又好。例6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)、、拋物線過A、C兩點(diǎn)。（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；（2）動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向終點(diǎn)D運(yùn)動速度均為每秒1個(gè)單位長度，運(yùn)動時(shí)間為t秒過點(diǎn)P作交AC于點(diǎn)E。 ①過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，交拋物線于點(diǎn)當(dāng)t為何值時(shí)，線段EG最長？ ②連接在點(diǎn)P、Q運(yùn)動的過程中，判斷有幾個(gè)時(shí)刻使得是等腰三角形？請直接寫出相應(yīng)的t值。例7、拋物線的頂點(diǎn)為（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸負(fù)半軸交于C（0，﹣3）。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為對稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，以BP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)M落在對稱軸上，求P點(diǎn)的坐標(biāo)。例8、在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方拋物線上一動點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點(diǎn)P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)D（與點(diǎn)A不重合）使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例9、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D。（1）求線段AC的長度；（2）P為線段BC上方拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)E為（0，﹣1），一動點(diǎn)Q從點(diǎn)P出發(fā)運(yùn)動到y(tǒng)軸上的點(diǎn)G，再沿y軸運(yùn)動到點(diǎn)E．當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求PG+GE的最小值；（3）將線段AB沿x軸向右平移，設(shè)平移后的線段為A'B'，直至A'P平行于y軸（點(diǎn)P為第2小問中符合題意的P點(diǎn)），連接直線CB'．將△AOC繞著O旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后A、C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A''、C'，在旋轉(zhuǎn)過程中直線A''C'與y軸交于點(diǎn)M，與線段CB'交于點(diǎn)N．當(dāng)△CMN是以MN為腰的等腰三角形時(shí)，寫出CM的長度。課后鞏固練習(xí)1、（2020年12月蘇州新區(qū)一中九年級第二次月考，28題，12分） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線過點(diǎn)B且與直線相交于另一點(diǎn)。（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)（點(diǎn)P不與B、C重合），當(dāng)∠PAO=∠BAO時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)在x軸的正半軸上，點(diǎn)M0，m是y軸正半軸上的一動點(diǎn)，且滿足∠MNC=①求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；①當(dāng)m在什么范圍時(shí)，符合條件的N點(diǎn)的個(gè)數(shù)有2個(gè)？備用圖 備用圖2、如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A0,3、B（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PAE的面積最大？并求出最大面積；（3）是否存在點(diǎn)P使得△PAE為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。3、如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像過點(diǎn)1,8，且與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)A坐標(biāo)為?（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求△MCB的面積；（3）在坐標(biāo)軸上，是否存在點(diǎn)N，使得△BCN為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。4、如圖，已知直線y＝x+2交x軸、y軸分別于點(diǎn)A、B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣，且拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，交x