冪函數(shù)同步練習(xí)（含答案）

冪函數(shù)1．判斷下列說法是否正確(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)．(1)函數(shù)f(x)＝－x2是冪函數(shù)．(×)(2)冪函數(shù)f(x)＝xeq\f(1,2)是偶函數(shù)．(×)(3)冪函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在定義域上是減函數(shù)．(×)(4)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(0,0)，(1,1)點(diǎn)．(×)2．下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為(B)A．1 B．2C．3 D．4解析：②⑦指數(shù)為變量不是常數(shù)，③中系數(shù)不是1，④中解析式為多項(xiàng)式，⑤中底數(shù)不是自變量本身，所以只有①⑥是冪函數(shù)．題型1與冪函數(shù)的概念有關(guān)問題3．在函數(shù)y＝eq\f(1,x2)，y＝2x3，y＝eq\f(1,x)－1，y＝x0中，冪函數(shù)的個(gè)數(shù)是(C)A．0 B．1C．2 D．3解析：根據(jù)冪函數(shù)的特征，可以判斷y＝eq\f(1,x2)＝x－2，y＝x0是冪函數(shù)．4．已知冪函數(shù)f(x)＝xα過點(diǎn)(9,3)，則f(x)的解析式是(B)A．f(x)＝x2 B．f(x)＝xeq\f(1,2)C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x解析：由題意得3＝9α，解得α＝eq\f(1,2)，故選B.5．設(shè)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α組成的集合為(B)A．{－1,1} B．{1,3}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，3)) D．{－1,3}解析：y＝x1，y＝x3的定義域?yàn)镽，且為奇函數(shù)．題型2冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用6．如圖所示，給出4個(gè)冪函數(shù)的圖象，則圖象與函數(shù)的大致對(duì)應(yīng)是(B)A．①y＝xeq\f(1,3)，②y＝x2，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝xeq\f(1,2)，④y＝x－1D．①y＝x3，②y＝xeq\f(1,2)，③y＝x2，④y＝x－1解析：因?yàn)閥＝x3的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖①；y＝x2為開口向上的拋物線且頂點(diǎn)為原點(diǎn)，應(yīng)為圖②.同理可得出③為y＝xeq\f(1,2)，④為y＝x－1，選項(xiàng)B正確．7．如圖是冪函數(shù)y＝xm與y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象，則(B)A．－1<n<0<m<1 B．n<－1,0<m<1C．－1<n<0，m>1 D．n<－1，m>1解析：如圖，作直線y＝x，并在(0,1)內(nèi)取x0，作直線x＝x0，與各圖象有交點(diǎn)，則“點(diǎn)低指數(shù)大”，故0<m<1，n<－1.題型3冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用8．(多選題)若冪函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2,4)，則在定義域內(nèi)(BC)A．為增函數(shù) B．為偶函數(shù)C．有最小值 D．有最大值解析：設(shè)冪函數(shù)f(x)＝xα，由f(－2)＝4，得(－2)α＝4＝(－2)2，所以α＝2，即f(x)＝x2，則在定義域內(nèi)有最小值0，且為偶函數(shù)．9．(多選題)下列冪函數(shù)中過點(diǎn)(0,0)，(1,1)的是(ABD)A．y＝xeq\f(1,2) B．y＝x2C．y＝x－1 D．y＝x5解析：只有y＝x－1不過點(diǎn)(0,0)，其余函數(shù)都經(jīng)過(0,1)，(1,1)點(diǎn)．10．已知函數(shù)f(x)＝x－k2＋k＋2，且f(2)>f(3)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__(－∞，－1)∪(2，＋∞)__．解析：由f(2)>f(3)可知－k2＋k＋2<0，即k2－k－2>0，所以(k－2)(k＋1)>0，解得k>2或k<－1.易錯(cuò)點(diǎn)1忽略自變量的取值范圍致錯(cuò)11．若(x＋1)－2>(3－2x)－2，求x的取值范圍．解：設(shè)f(x)＝x－2，則f(x)是偶函數(shù)且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，由(x＋1)－2>(3－2x)－2知(|x＋1|)－2>(|3－2x|)－2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1≠0，,3－2x≠0，,|x＋1|<|3－2x|，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－1，,x≠\f(3,2)，,x<\f(2,3)或x>4.))即x的范圍是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))∪(4，＋∞)．[誤區(qū)警示]對(duì)于偶函數(shù)不等式問題，要注意f(x)＝f(|x|)的應(yīng)用，避免對(duì)x的討論．易錯(cuò)點(diǎn)2忽視冪函數(shù)圖象特點(diǎn)致錯(cuò)12．函數(shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是冪函數(shù)，且其圖象過原點(diǎn)，則m＝__－3__.解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(m2＋3m＋1)xm2＋m－1是冪函數(shù)，所以m2＋3m＋1＝1，解得m＝0或－3.當(dāng)m＝0時(shí)，f(x)＝x－1，其圖象不過原點(diǎn)，應(yīng)舍去；當(dāng)m＝－3時(shí)，f(x)＝x5，其圖象過原點(diǎn)．所以m＝－3.[誤區(qū)警示]根據(jù)冪函數(shù)的概念求出參數(shù)的取值后，要代入檢驗(yàn)，根據(jù)圖象的特點(diǎn)，確定參數(shù)的取值．(限時(shí)30分鐘)一、選擇題1．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\r(2))，則f(4)的值為(C)A．eq\f(1,2) B．1C．2 D．8解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)＝xα的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2，eq\r(2))，所以eq\r(2)＝2α，解得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\f(1,2)，f(4)＝4eq\f(1,2)＝2.2．下列冪函數(shù)中過點(diǎn)(0,0)，(1,1)的偶函數(shù)是(C)A．y＝xeq\f(1,2) B．y＝x－2C．y＝x4 D．y＝x－3解析：設(shè)冪函數(shù)y＝xα，由于經(jīng)過(0,0)，(1,1)，則α>0，故排除選項(xiàng)BD，對(duì)于選項(xiàng)A，定義域?yàn)閇0，＋∞)，故不是偶函數(shù)；對(duì)于選項(xiàng)C，(－x)4＝x4，是偶函數(shù)．故選C.3．已知α∈{－1,1,2,3}，則使函數(shù)y＝xα的值域?yàn)镽，且為奇函數(shù)的所有α的值為(A)A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3解析：當(dāng)α＝－1時(shí)，y＝x－1＝eq\f(1,x)，為奇函數(shù)，但值域?yàn)閧y|y≠0}，不滿足條件．當(dāng)α＝1時(shí)，y＝x，為奇函數(shù)，值域?yàn)镽，滿足條件．當(dāng)α＝2時(shí)，y＝x2為偶函數(shù)，值域?yàn)閧y|y≥0}，不滿足條件．當(dāng)α＝3時(shí)，y＝x3為奇函數(shù)，值域?yàn)镽，滿足條件．4．若冪函數(shù)y＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3的定義域?yàn)閧x∈R|x≠0}，則m的取值是(D)A．－1≤m≤3 B．m＝－1或m＝3C．m＝－1 D．m＝3解析：由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2＝1，,－m2＋m＋3<0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3或m＝－1，,m2－m－3>0))?m＝3.5．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的圖象可能是(C)解析：當(dāng)a<0時(shí)，函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)在R上是減函數(shù)，與y軸相交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))，此點(diǎn)在y軸的正半軸上，只有選項(xiàng)B適合；但此時(shí)函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以選項(xiàng)B不適合．當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y＝ax－eq\f(1,a)在R上是增函數(shù)，與y軸相交于點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))，此點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，只有選項(xiàng)A，C適合，此時(shí)函數(shù)y＝xa在(0，＋∞)上是增函數(shù)，進(jìn)一步判斷只有選項(xiàng)C適合．二、填空題6．冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(4,2)，則函數(shù)g(x)＝af(x－3)＋1(a∈R，a≠0)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)__(3,1)__．解析：因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)＝xα過點(diǎn)(4,2)，可解得α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝xeq\f(1,2)，故g(x)＝a(x－3)eq\f(1,2)＋1，當(dāng)x＝3時(shí)，g(3)＝a×0＋1＝1，故g(x)恒過定點(diǎn)(3,1)．7．冪函數(shù)y＝m2·xm2－2m在(0，＋∞)上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝__1__.解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝m2·xm2－2m為冪函數(shù)，所以m2＝1，解得m＝±1.又y＝m2·xm2－2m在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以m2－2m<0，解得0<m<2.所以m＝1.8．已知冪函數(shù)f(x)＝(2m－1)x－2n2＋n＋3(n∈Z)為偶函數(shù)，且滿足f(3)<f(5)，則m＋n＝__2__.解析：因?yàn)閒(x)為冪函數(shù)，所以2m－1＝1，解得m＝1.又f(3)<f(5)，所以－2n2＋n＋3>0，解得－1<n<eq\f(3,2).因?yàn)閚∈Z，所以n＝0或1.當(dāng)n＝0時(shí)，f(x)＝x3，此時(shí)f(x)為奇函數(shù)，不合題意；當(dāng)n＝1時(shí)，f(x)＝x2，滿足題意，所以n＝1，所以m＋n＝2.三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xeq\f(1,m2－1)是冪函數(shù)．(1)求m的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．解：(1)根據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m＋3＝1，,m2－1≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1或m＝2，,m≠±1，))所以m＝2.(2)由(1)知f(x)＝xeq\f(1,3)＝eq\r(3,x)，x∈R.因?yàn)閒(－x)＝eq\r(3,－x)＝－eq\r(3,x)＝－f(x)，所以f(x)在R上是奇函數(shù)．10．已知f(x)＝(m2－m－1)x－5m－1是冪函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增．(1)求m的值；(2)解不等式f(x－2)>16.解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝(m2－m－1)x－5m－1是冪函數(shù)，所以m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，函數(shù)f(x)＝x－5×2－1＝x－11，此時(shí)函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)m＝－1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x－5×(－1)－1＝x4，此時(shí)函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，符合題意．綜上可得，實(shí)數(shù)m的值為－1.(2)由(1)知，函數(shù)f(x)＝x4，又由不等式f(x－2)>16，即(x－2)4>16，即x－2>2或x－2<－2，解得x>4或x<0，即不等式的解集為(－∞，0)∪(4，＋∞)．11．已知冪函數(shù)f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù)．(1)求m的值和函數(shù)f(x)的解析式；(2)判斷f(x)在(－∞，0)上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明你的結(jié)論．解：(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)＝x－m2＋2m＋3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以－m2＋2m＋3>0，且－m2＋2m＋3為偶數(shù)，解得m＝1，所以f(