基本不等式 教學設計

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式【2.2基本不等式】基礎闖關務實基礎達標檢測題型一對基本不等式的理解1、已知，且，那么下列結論一定成立的是A．B．C．D．【解析】因為，且，所以．當且僅當時取等號，故選C．2、下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．【解析】A.由基本不等式可知，故A不正確；B.，即恒成立，故B正確；C.當時，不等式不成立，故C不正確；D.當時，不等式不成立，故D不正確.3、“為正數(shù)”是“”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若a,b為正數(shù),取a=1,b=1,則a+b=2,則“a,b為正數(shù)”不是“a+b>2”的充分條件;若a+b>2,取a=1,b=0,則b不是正數(shù),則“a,b為正數(shù)”不是“a+b>2”的必要條件.故“a,b為正數(shù)”是“a+b>2”的既不充分也不必要條件,故選D.4、不等式成立的前提條件為()A． B．C．D．解析：因為不等式成立的前提條件是x-2y和均為正數(shù),所以x-2y>0,即x>2y,故選B.題型二利用基本不等式比較大小5、設0＜a＜b，則下列不等式中正確的是（）A．a＜b＜＜B．a＜＜＜bC．a＜＜b＜D．＜a＜＜b解析：因為0<a<b，所以由基本不等式得<，且<＝b，又a＝<，故a<<<b，故選B.6、設、、，，，，則、、三數(shù)（）A．都小于B．至少有一個不大于C．都大于D．至少有一個不小于解析：由基本不等式得，當且僅當時，等號成立，因此，若、、三數(shù)都小于，則與矛盾，即、、三數(shù)至少有一個不小于，故選D.7、已知，則與的大小關系是()A．a2+b2≥2|ab| B．a2+b2=2|ab|C．a2+b2≤2|ab| D．a2+b2>2|ab|解析：∵a2+b2-2|ab|=(|a|-|b|)2≥0,∴a2+b2≥2|ab|(當且僅當|a|=|b|時,等號成立).故選A8、設0<a<b，且a+b=1，則下列四個數(shù)中最大的是()A． B．a2+b2C．2ab D．a解析：因為0<a<b,所以1=a+b>2a,所以a<.又因為a2+b2≥2ab，所以四個數(shù)中的最大數(shù)一定不是a和2ab.又因為1=a+b>，所以ab<,所以a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab>1-=,即a2+b2>,故選B.題型三利用基本不等式求最值8、已知實數(shù)，滿足，則的最大值是（）A．1B．C．D．【解析】解：因為，所以，得.故選D9、已知正實數(shù)x，y滿足.則的最小值為（）A．4B．C．D．【解析】解：由，得，因為x，y為正實數(shù)，所以當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，故選：D10、下列命題中：①若，則的最大值為；②當時，；③的最小值為；④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立.其中是真命題的是__________．(填上所有真命題的序號)【解析】①若，則的最大值為，正確②當時，，時等號成立，正確③的最小值為，取錯誤④當且僅當均為正數(shù)時，恒成立均為負數(shù)時也成立.故答案為①②11、(1)已知，求的最大值；(2)已知，求的最大值．解析：(1)因為，所以，所以，所以當且僅當，即，函數(shù)的最大值為.(2)因為，所以，所以，當且僅當，即時，的最大值為12、已知，則的最小值是_______.【解析】因為，所以，所以（當且僅當時，等號成立）.題型四利用基本不等式證明不等式13、已知均為正數(shù)不全相等.求證:解析：證明∵∴+≥=+≥=+≥=2b.當且僅當a=b=c時上式等號均成立,又不全相等,故上述等號至少有一個不成立.∴.14、已知x，y，z是互不相等的正數(shù)，且x＋y＋z=1，求證：（1）（1）（1）＞8．【解析】∵x+y+z＝1，x、y、z是互不相等的正實數(shù)，∴（1）（1）（1）8．∴（1）（1）（1）＞815、已知a，b都是正數(shù)，求證：．【解析】∵，∵由均值不等式得，．由不等式的性質，得，當且僅當且時，等號成立．題型五利用基本不等式解決實際問題16、已知A、B兩地的距離是100km，按交通法規(guī)定，A、B兩地之間的公路車速x應限制在60~120km/h，假設汽油的價格是7元/L，汽車的耗油率為，司機每小時的工資是70元（設汽車為勻速行駛），那么最經濟的車速是多少？如果不考慮其他費用，這次行車的總費用是多少？【解析】設總費用為則當時等號成立，滿足條件故最經濟的車速是，總費用為280.17、某單位修建一個長方形無蓋蓄水池，其容積為立方米，深度為米，池底每平方米的造價為元，池壁每平方米的造價為元，設池底長方形的長為米.（1）用含的表達式表示池壁面積；（2）當為多少米時，水池的總造價最低，最低造價是多少？【解析】（1）由題意得：池底面積為平方米，池底長方形的寬為米（2）設總造價為元，則：化簡得：因為，當且僅當，即時取等號即當米時，最低造價是元能力提升思維拓展探究重點1、已知，若不等式恒成立，則的最大值為A．9B．12C．16D．20【解析】因為，所以，，（當且僅當時，取等號），要想不等式恒成立，只需，即的最大值為，故選A．2、已知正實數(shù)滿足，則的最小值是（）A．B．5C．D．【解析】解：，當且僅當時取等號，即，時等號成立，故選：．3、（1）證明：；（2）正數(shù)，滿足，求的最小值.解析：（1）證明：要證，只需證，即證.由于，所以成立，即成立.（2）解：當，即，時，取最小值.4、已知a，b，c均為正數(shù),求證:++≥3.解析：證明∵a，b，c均為正數(shù),∴+≥2(當且僅當a=2b時等號成立),+≥2(當且僅當a=3c時等號成立),+≥2(當且僅當2b=3c時等號成立),以上三式相加,得+++++≥6(當且僅當a=2b=3c時等號成立),∴（+-1）+（+-1）+（+-1）≥3(當且僅當a=2b=3c時等號成立),即++≥3.(當且僅當a=2b=3c時等號成立).5、如圖，某人計劃用籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度沒有限制）的矩形菜園.設菜園的長為，寬為.