第四章 常見(jiàn)的幾種概率分布

第三章概率分布第一節(jié)隨機(jī)事件與概率

幾種重要分布的特點(diǎn)、相互關(guān)系為以后統(tǒng)計(jì)分析做準(zhǔn)備

確定性現(xiàn)象/必然現(xiàn)象

隨機(jī)現(xiàn)象

隨機(jī)事件

：隨機(jī)現(xiàn)象至少有兩個(gè)以上可能出現(xiàn)的結(jié)果，通常稱(chēng)每一個(gè)可能的結(jié)果為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件。

：是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的客觀度量指標(biāo)，隨機(jī)事件A的概率記為P（A），

0≤P（A）≤1。頻率概率：若隨機(jī)事件A，在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)f次，則稱(chēng)為隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率。

：通常稱(chēng)概率P≤0.05

隨機(jī)事件為“小概率事件”，因?yàn)椤靶「怕适录痹谝淮斡^察或試驗(yàn)中發(fā)生的可能性很小，可認(rèn)為其不發(fā)生的。

小概率事件隨機(jī)變量

隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量：可能的取值為有限個(gè)或無(wú)限可列個(gè)實(shí)數(shù)。比如：一個(gè)家庭的人口數(shù)X等連續(xù)型隨機(jī)變量：可能的取值充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間或在整個(gè)實(shí)數(shù)軸，無(wú)法一一列舉。比如：正常成年人的身高X

等：表示隨機(jī)現(xiàn)象觀察結(jié)果的變量為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量的概率分布

：即確定隨機(jī)變量的取值和相應(yīng)取值的概率。

（1）離散型隨機(jī)變量：通常用概率分布描述其取值和相應(yīng)取值的概率。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量：通常用概率密度函數(shù)和概率分布函數(shù)描述其在一個(gè)區(qū)間上取值的概率。表離散型隨機(jī)變量X的概率分布表X的取值123456Pi1/61/61/61/61/61/6例如記X為拋擲1次均勻的骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則可將所有可能的結(jié)果及其各結(jié)果出現(xiàn)的概率列成下表的形式：連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)與分布函數(shù)：概率密度函數(shù)具有下列兩個(gè)重要的性質(zhì)：①對(duì)于任意實(shí)數(shù)X，都有；

，即概率密度函數(shù)曲線下的面積恒等于1。

（a）（b）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)圖(a)與概率分布函數(shù)圖(b)及其聯(lián)系F(x)F(c)cdxf(x)dcxF(d)-F(c)F(c)第二節(jié)正態(tài)分布

一、正態(tài)分布概念和特征

正態(tài)分布（normaldistribution）也叫高斯分布，是最常見(jiàn)、最重要的一種連續(xù)型分布。

1．正態(tài)分布概念

正態(tài)分布的引入觀測(cè)人數(shù)增加，分割密度Xf(X)m

如果連續(xù)型隨機(jī)變量X在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)取值，且具有如下的概率密度函數(shù)稱(chēng)連續(xù)型隨機(jī)變量

X

服從正態(tài)分布，記為

X～其中表示X的均數(shù)，表示X的方差。1．正態(tài)分布概念

⑴曲線呈鐘型，以為對(duì)稱(chēng)軸左右對(duì)稱(chēng)。⑵在處，取最大值，即曲線最高。⑶正態(tài)分布有兩個(gè)參數(shù)，即位置參數(shù)和形態(tài)參數(shù)。⑷正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化變換

2．正態(tài)分布特征

一般正態(tài)分布為一個(gè)分布族:N(m,s2)

；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布只有一個(gè)

N(0,1)

，這樣簡(jiǎn)化了應(yīng)用。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布（standardnormaldistribution）

u-∞α界值：α界值：u小（大）于uα

的概率=α（1）服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量在一區(qū)間上曲線下的面積與服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量在其上取值的概率相等。（2）X軸上與正態(tài)曲線下所夾面積恒等于1。（3）如果u，欲求服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量在區(qū)間（-∞，u）（u≤0）上曲線下的面積，可直接查附表2。（4）在區(qū)間，正態(tài)曲線下面積為68.27%；

在區(qū)間，正態(tài)曲線下面積為95.00%；在區(qū)間，正態(tài)曲線下面積為99.00%。3．正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律

——一般正態(tài)分布μμ-σμ+σμ-1.96σμ+1.96σμ-2.58σμ+2.58σ68.27%95.00%99.00%圖正態(tài)曲線面積分布示意圖

正態(tài)曲線下面積的分布規(guī)律

——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

0-11-1.961.96-2.582.5868.27%

95.00%99.00%計(jì)算正態(tài)曲線下面積實(shí)例例5-13由160名7歲男孩身高測(cè)量的數(shù)據(jù)算得，，已知身高數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。試估計(jì)該地當(dāng)年7歲男孩身高界于119cm到125cm范圍所占的比例。

近似看作

該地當(dāng)年7歲男孩身高界于119cm到125cm范圍所占的比例為46.49%。122.61191250-0.750.5相當(dāng)于

t分布X~N(，2)

～

第三節(jié)

2分布、t分布、F分布英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家W.S.Gosset(1908)給出了統(tǒng)計(jì)量t的分布規(guī)律，并稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律為t分布，自由度為v，記為t(v)分布。由于每個(gè)自由度v對(duì)應(yīng)一個(gè)分布，因此t分布是一簇分布。自由度不同的三條t分布密度曲線v=1

v=5v

=∞v=1分布特征:t分布曲線是單峰的，且以t=0左右對(duì)稱(chēng)。t分布是隨自由度v而變化的一簇分布。t分布與正態(tài)分布的關(guān)系:自由度v較小時(shí)，t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布相差較大，隨著自由度v的增大，t分布曲線越來(lái)越接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線。當(dāng)時(shí)，t分布的極限分布就是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。t分布的界值:t分布的圖形特征和t界值雙側(cè)

單側(cè)

-t/2,vt/2,vt界值示意圖:2分布

設(shè)為相互獨(dú)立的服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)總體的隨機(jī)變量，統(tǒng)計(jì)量為一隨機(jī)變量，且其密度函數(shù)為

稱(chēng)所服從的分布為自由度為

v的分布（Chi-squaredistribution），記作。2分布曲線

圖5-8不同自由度的分布密度曲線圖

2分布是一種連續(xù)型分布，2取值范圍為(0，+)。2分布的曲線形狀依賴(lài)于自由度v的大小。當(dāng)自由度v≤2時(shí)，曲線呈L型，隨著自由度v的增加，2分布趨向?qū)ΨQ(chēng)。當(dāng)自由度v趨于無(wú)窮大時(shí),2分布則趨于正態(tài)分布。2分布的特征

設(shè)隨機(jī)變量X，Y分別服從分布，即，且X與Y獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量