第3章試驗(yàn)的方差分析11月11日上午

第3章試驗(yàn)的方差分析

（AnalysisofVariance,ANOVA）ANOVA是由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher首創(chuàng)，為紀(jì)念Fisher，以F命名，故方差分析又稱F檢驗(yàn)（F-test）。用于推斷多個總體平均數(shù)有無差異。理論基礎(chǔ)：將總變異分解為由研究因素所造成的部分和由抽樣誤差所造成的部分，通過比較來自于不同部分的變異，借助F分布做出統(tǒng)計判斷。方差分析（analysisofvariance，簡稱ANOVA）檢驗(yàn)試驗(yàn)中有關(guān)因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性試驗(yàn)指標(biāo)（experimentalindex）衡量或考核試驗(yàn)效果的參數(shù)

因素（experimentalfactor）影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件

可控因素（controllablefactor）水平（leveloffactor）因素的不同狀態(tài)或內(nèi)容

1、檢驗(yàn)飲料的顏色是否對銷售量有影響，也就是檢驗(yàn)四種顏色飲料的平均銷售量是否相同。2、設(shè)μ1為無色飲料的平均銷售量，μ2為粉色飲料的平均銷售量，μ3為橘黃色飲料的平均銷售量，μ4為綠色飲料的平均銷售量，也就是檢驗(yàn)下面的假設(shè)：H0：μ1=μ2=μ3=μ4，顏色對銷售量無影響；H1:μ1,μ2,μ3,μ4不全相等，意味著來自不同的總體，表明顏色對銷售量產(chǎn)生影響。3、檢驗(yàn)上述方法采用的就是方差分析，就是一次性地對多個總體平均值是否相等這一假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)的方法。1、因素或因子所要檢驗(yàn)的對象稱為因子；要分析飲料的顏色對銷售量是否有影響，顏色就是檢驗(yàn)的因素或因子。2、水平因素的具體表現(xiàn)稱為水平；無色、粉色、橘黃色及綠色就是因素的水平。3、觀察值在每個因素水平下到的樣本值；每種顏色飲料的銷售量就是觀察值。4、試驗(yàn)這里只涉及一個因素，因此稱為單因素四水平的試驗(yàn)；5、總體因素的每一個水平可以看作是一個整體；比如無色、粉色、橘黃色和綠色四種顏色可以看作是四個總體。6、樣本數(shù)據(jù)上面的數(shù)據(jù)可以看作是這四個總體中抽取的樣本數(shù)據(jù)。方差分析的基本思想和基本原理觀察值的差異由因素中的不同水平造成的差異由于抽選樣品的隨機(jī)性產(chǎn)生的差異系統(tǒng)差異隨機(jī)差異總方差變異指標(biāo)組間方差SSA組內(nèi)方差SSe不同水平之間的方差，既包括系統(tǒng)誤差又包括隨機(jī)誤差同一水平內(nèi)部的方差，只包括隨機(jī)誤差如果顏色（水平）對銷售量（結(jié)果）沒有影響，那么在SSA中只包括隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。此時SSA和SSe就應(yīng)該很接近，兩個方差的比值就會接近1；如果不同的水平對結(jié)果產(chǎn)生了影響，在SSA中除了包含隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時SSA就會大于SSe，此時，兩個方差的比值就會大于1；當(dāng)這兩個比值達(dá)到一定程度的時候，既可以說不同水平之間存在著顯著的差異。檢驗(yàn)統(tǒng)計量

我們把組間方差與組內(nèi)方差之比稱為檢驗(yàn)統(tǒng)計量。數(shù)理統(tǒng)計證明，這個統(tǒng)計量服從F分布。又叫F統(tǒng)計量，即：F分布為正偏態(tài)分布，F(xiàn)是大于0的正數(shù)，許多類型的假設(shè)檢驗(yàn)需要利用F分布，方差就是其中的一種。3.1單因素試驗(yàn)的方差分析

（one-way

analysis

of

variance）3.1.1單因素試驗(yàn)方差分析基本問題（1）目的：檢驗(yàn)一個因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響是否顯著性（2）基本命題：設(shè)某單因素A有r種水平：A1，A2，…，Ar，在每種水平下的試驗(yàn)結(jié)果服從正態(tài)分布在各水平下分別做了ni（i＝1，2，…，r）次試驗(yàn)判斷因素A對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著影響

（3）單因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)表3.1.2單因素試驗(yàn)方差分析基本步驟（1）計算平均值組內(nèi)平均值：

總平均：（2）計算離差平方和①總離差平方和SST（sumofsquaresfortotal）

表示了各試驗(yàn)值與總平均值的偏差的平方和反映了試驗(yàn)結(jié)果之間存在的總差異②組間離差平方和SSA（sumofsquareforfactorA）

反映了各組內(nèi)平均值之間的差異程度由于因素A不同水平的不同作用造成的③組內(nèi)離差平方和SSe（sumofsquareforerror）反映了在各水平內(nèi)，各試驗(yàn)值之間的差異程度由于隨機(jī)誤差的作用產(chǎn)生三種離差平方和之間關(guān)系：（3）計算自由度（degreeoffreedom）總自由度：dfT＝n－1組間自由度：dfA

＝r－1組內(nèi)自由度：dfe

＝n－r

三者關(guān)系：dfT＝dfA＋dfe（4）計算平均平方均方＝離差平方和除以對應(yīng)的自由度MSA——組間均方MSe——組內(nèi)均方/誤差的均方（5）F檢驗(yàn)服從自由度為（dfA,dfe）的F分布（Fdistribution）對于給定的顯著性水平，從F分布表查得臨界值F(dfA，dfe)

如果FA

＞F(dfA，dfe)

，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果沒有顯著影響（6）方差分析表若FA

＞F0.01(dfA，dfe)

，稱因素A對試驗(yàn)結(jié)果有非常顯著的影響，用“**”號表示；若F0.05(dfA，dfe)

＜

FA

＜F0.01(dfA，dfe)

，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著的影響，用“*”號表示；若FA

＜F0.05(dfA，dfe)

，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果的影響不顯著單因素試驗(yàn)的方差分析表例3-1為考察溫度對某種化工產(chǎn)品得率的影響，選取了5種不同的溫度，在同一溫度下各做三次試驗(yàn)，試驗(yàn)數(shù)據(jù)如表3-3所示。試問溫度對得率有無顯著影響。表3-3例3-1試驗(yàn)結(jié)果表依題意，本例為單因素試驗(yàn)的方差分析，單因素為溫度，它有5中水平，即r=5，在每種水平下做了3次試驗(yàn)，故ni=3（i=1，2，…5）,總試驗(yàn)次數(shù)為15。表3-5例3-1方差分析表3.1.3Excel在單因素試驗(yàn)方差分析中的應(yīng)用利用Excel“分析工具庫”中的“單因素方差分析”工具3.2雙因素試驗(yàn)的方差分析討論兩個因素對試驗(yàn)結(jié)果影響的顯著性，又稱“二元方差分析”3.2.1雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)表3-7雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)表（2）雙因素?zé)o重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①計算平均值總平均：Ai水平時：Bj水平時：②計算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：誤差平方和：③計算自由度SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSe的自由度：dfe＝（r－1）（s－1）SST的自由度：dfT＝n－1＝rs－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfe④計算均方

⑤F檢驗(yàn)FA服從自由度為（dfA,dfe)的F分布；FB服從自由度為（dfB,dfe)的F分布；對于給定的顯著性水平

，查F分布表：

F（dfA,dfe)，F(xiàn)（dfB,dfe)若FA＞F

（dfA,dfe)，則因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則因素B對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；⑥無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表表3-8無重復(fù)試驗(yàn)雙因素方差分析表例題某廠對所生產(chǎn)的高速銑刀進(jìn)行淬火工藝試驗(yàn)，選擇3種不同的等溫溫度：A1=280℃，A2=300℃，A3=320℃；以及三種不同的淬火溫度：B1=1210℃，B2=1235℃，B3=1250℃，測得淬火后的銑刀硬度如下表所示。銑刀硬度試驗(yàn)結(jié)果例題方差分析表3.2.2雙因素重復(fù)試驗(yàn)的方差分析（1）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表表3-9雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析試驗(yàn)表（2）雙因素重復(fù)試驗(yàn)方差分析的基本步驟①計算平均值總平均：任一組合水平（Ai，Bj）上：Ai水平時：Bj水平時：②計算離差平方和總離差平方和：因素A引起離差的平方和：因素B引起離差的平方和：交互作用A×B引起離差的平方和：誤差平方和：③計算自由度SSA的自由度：dfA

＝r－1SSB的自由度：dfB＝s－1SSA×B的自由度：dfA×B

＝(r－1)(s－1)SSe的自由度：dfe＝rs(c－1)SST的自由度：dfT＝n－1＝rsc－1dfT＝dfA＋dfB＋

dfA×B＋

dfe④計算均方⑤F檢驗(yàn)若FA＞F

（dfA,dfe)，則認(rèn)為因素A對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響，否則無顯著影響；若FB＞F

（dfB,dfe)，則認(rèn)為因素