利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值同步訓(xùn)練B【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修（含解析）

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值專項訓(xùn)練B一．選擇題（共8小題）1．函數(shù)在區(qū)間，上的最大值是A． B． C．12 D．92．已知函數(shù)，，其中，若，，，，使得成立，則A． B． C． D．3．函數(shù)恒成立的一個充分不必要條件是A． B．， C．， D．，4．若函數(shù)，則當(dāng)，時，的最大值為A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若，時，在處取得最大值，則的取值范圍為A． B． C． D．6．若函數(shù)，，表示的曲線過原點，且在處的切線的斜率為，有以下命題：（1）的解析式為：，，（2）的極值點有且僅有一個（3）的最大值與最小值之和等于零其中假命題個數(shù)為A．0個 B．1個 C．2個 D．3個7．函數(shù)，若與有相同值域，則實數(shù)的取值范圍是A．， B． C． D．，8．已知函數(shù)，若對任意，使，則的最大值為A．0 B． C．1 D．二．多選題（共4小題）9．聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中包含著正弦函數(shù)．純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，我們聽到的聲音是由純音合成的，稱之為復(fù)合音．若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則A．在上是增函數(shù) B．的最大值為 C．在，上有3個零點 D．在，上有3個極值點10．已知不等式對任意的恒成立，則滿足條件的整數(shù)的可能值為A． B． C． D．11．設(shè)，，的最大值為，則A．當(dāng)時， B．當(dāng)時， C．當(dāng)時， D．當(dāng)時，12．若存在常數(shù)和，使得函數(shù)和對其公共定義域上的任意實數(shù)都滿足：和恒成立，則稱此直線為和的“隔離直線”．已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)），則A．在內(nèi)單調(diào)遞減 B．和之間存在“隔離直線”，且的最小值為 C．和之間存在“隔離直線”，且的取值范圍是， D．和之間存在唯一的“隔離直線”，方程為三．填空題（共4小題）13．若函數(shù)在上有最大值，則實數(shù)的取值范圍為．14．某同學(xué)向王老師請教一題：若不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．王老師告訴該同學(xué)：“恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，且在有零點”．根據(jù)王老師的提示，可求得該問題中的取值范圍是．15．已知，，對于，時都有恒成立，則的取值范圍為．16．設(shè)函數(shù)，若存在唯一的整數(shù)使得，則實數(shù)的取值范圍是．四．解答題（共6小題）17．設(shè)函數(shù)，為實數(shù)），（1）當(dāng)，求函數(shù)的最小值；（2）在時，若方程有三個不同實數(shù)根，求實數(shù)的范圍．18．已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且．（1）求函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并證明；（2）令，設(shè)，若對任意，，當(dāng)，，時，都有，求實數(shù)的取值范圍．19．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的最大值．20．已知函數(shù)，其中．（Ⅰ）若曲線在點，（2）處的切線的斜率為1，求的值；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅲ）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明：當(dāng)時，．21．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：在上恒成立．22．已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：．

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【解答】解：，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減；時取得極大值，也即最大值，（4），故選：．2．【解答】解：由，得，令，所以，而，令，得，所以，，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，且（2）（3），所以在，上的值域為，又，令，得，所以，，，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，且（2）（3），所以在，上的值域為，因為，，，所以的值域為的值域的子集，所以，故選：．3．【解答】解：函數(shù)的定義域為，依題意，在上恒成立，設(shè)，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，故使得函數(shù)恒成立的一個充分不必要條件是．故選：．4．【解答】解：，當(dāng)時，，是增函數(shù)；當(dāng)時，，是減函數(shù)，最大值為，故選：．5．【解答】，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的函數(shù)圖象如圖所示，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，不成立，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞減，成立，當(dāng)時有兩個根，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，在，，，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，顯然不成立．綜上，．故選：．6．【解答】解：函數(shù)的圖象過原點，可得；又，且在處的切線斜率均為，則有，解得，．所以，．（1）可見，因此（1）正確；（2）令，得．因此（2）不正確；所以在，內(nèi)遞減，（3）的極大值為，極小值為，兩端點處（2），所以的最大值為，最小值為，則，因此（3）正確．故選：．7．【解答】解：函數(shù)的定義域為，，令，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以在上為增函數(shù)，即（1），所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，（1），所以函數(shù)的值域為，，所以要使與的值域相同，則必有的值域為，包含，，所以，解得，故選：．8．【解答】解：令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，故，即，，當(dāng)時取“”，所以的最小值為0，所以，所以的最大值為0，故選：．二．多選題（共4小題）9．【解答】解：當(dāng)，時，，由，得或（舍，或；由，得，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在，上有2個極值點，故錯誤．為函數(shù)的極大值點，為函數(shù)的極小值點，且，，故正確．由，得，或，當(dāng)，時，，，，則在，上有3個零點，故正確．故選：．10．【解答】解：令，則，易得當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最小值（1），故，結(jié)合選項可知，符合．故選：．11．【解答】解：對于：當(dāng)時，，，，，故在，遞增，故，故正確；對于時，，，令，，，則，在，遞減，而，故，在，遞減，故，故正確；對于時，，則，令，，，則，故在，遞減，而，在，遞減，而，即，在，遞減，故，故錯誤；對于時，，則，令，，，則，故在，遞減，而，在，遞減，而，即，在，遞減，故，故錯誤；故選：．12．【解答】解：對于，，，所以，故在，內(nèi)單調(diào)遞增，故錯誤；對于，，設(shè)、的隔離直線為，則對恒成立，即對恒成立，所以△，所以，又對恒成立，即對恒成立，因為，所以且△，所以且，，解得，同理，所以的最小值是，的取值范圍是，，故正確，錯誤；對于，函數(shù)和的圖象有公共點，，若存在和的隔離直線，則該直線過點，，設(shè)隔離直線的斜率為，則其方程為，即，由，得對恒成立，則△，解得，此時隔離直線的方程為：．下面證明：，令，定義域為，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得極小值為，這也是最小值．所以在上恒成立，即．所以函數(shù)和存在唯一的隔離直線，即正確．故選：．三．填空題（共4小題）13．【解答】解：因為，所以，令，得，，所以當(dāng)時，；當(dāng)或時，，從而在處取得極大值（a），令，得，解得或，因為在上有最大值，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．14．【解答】解：，即，令，，函數(shù)在有零點，設(shè)為，則，則，則，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，而（1），（4），故，故，，，故，故的取值范圍是，，故答案為：，．15．【解答】解：由題意，要使對于，時都有恒成立，只需時恒成立，令，，則，易知，而，當(dāng)時，，遞增；當(dāng)時，，遞減．結(jié)合，時，，遞增；時，遞減．故．所以要使原式恒成立，只需．故答案為：．16．【解答】解：當(dāng)時，，單調(diào)遞增，存在無數(shù)個整數(shù)，使得，不符合題意；當(dāng)時，由于，所以，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值也是最大值為，且時，，時，，所以作出函數(shù)和的大致圖象，如圖，過點的直線介于，之間時滿足條件，直線過點時，的值為2，直線過點，（2）時，的值為，由圖可知，的取值范圍是，．故答案為：，．四．解答題（共6小題）17．【解答】解：（1）當(dāng)時，,,所以當(dāng)時，,單調(diào)遞減，當(dāng)時，,單調(diào)遞增，所以．當(dāng)時，有三個不同的實數(shù)根，則有三個不同的實數(shù)根，因為,所以是一個實數(shù)根，當(dāng)時，,令,所以,令,得,當(dāng)時，,單調(diào)遞增，當(dāng)時，,單調(diào)遞增，當(dāng)時，,單調(diào)遞減，,,時，,所以或，故的取值范圍為,,．18．【解答】解：（1）因為，且是奇函數(shù)，所以（1），所以，解得，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，證明：任取，，且，則，因為，，且，所以，，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，任取，，且，則，因為，，且，所以，，所以，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）由（1）可得，不妨令，則，即函數(shù)在，上為減函數(shù)，所以，，因為當(dāng)，，，滿足，故只需，即，對任意，成立，因為，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，時，有最小值，，由，得，故的取值范圍為，．19．【解答】解：（1）當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，，所以在上單調(diào)遞增；，，所以在上單調(diào)遞減；綜上：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）任意，，即恒成立，即恒成立；令，則任意，，因為存在正實數(shù)，滿足：，且，所以，所以．下證：當(dāng)時成立：即證：，因為，，所以：顯然成立；所以實數(shù)的最大值為2．20．【解答】（Ⅰ）解：根據(jù)條件，則當(dāng)時，（2），解得；（Ⅱ）解：函數(shù)的定義域是，，①時，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，②時，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在，遞減，在遞增，③時，，在遞增，④時，令，解得：或，令，解得：，故在遞增，在遞減，在，遞增；綜上：時，在遞減，在遞增，時，在遞增，在，遞減，在遞增，時，在遞增，時，在遞增，在遞減，在，遞增；（Ⅲ）證明：因為，又因為導(dǎo)函數(shù)在上存在零點，所以在上有解，則有，即，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，設(shè)，，則，則，所以在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，則（2），所以，則根據(jù)不等式的傳遞性可得，當(dāng)時，．21．【解答】解：（1）依題意，，，則△，若，則△，則，在上單調(diào)遞增；若，令，則，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，時，，，當(dāng)，時，，當(dāng)時，，綜上：①時，在上單調(diào)遞增；②時，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；③時，在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）證明：要證，即證：，即證：，即證：，