第2章離散時(shí)間信號(hào)分析

第2

章離散時(shí)間信號(hào)分析離散時(shí)間信號(hào)

離散時(shí)間信號(hào)(discrete-timesignal)是離散時(shí)間變量n的函數(shù)，它只在規(guī)定的離散時(shí)間點(diǎn)上才有函數(shù)值，在其他點(diǎn)無(wú)定義。在離散信號(hào)處理過(guò)程中，離散時(shí)間信號(hào)表現(xiàn)為在時(shí)間上按一定次序排列的不連續(xù)的一組數(shù)的集合，故稱(chēng)為時(shí)間序列(timeseriesorsequence)。

x(0)x(1)x(2)x(3)本章主要內(nèi)容離散時(shí)間信號(hào)——序列采樣定理及實(shí)現(xiàn)離散時(shí)間信號(hào)的相關(guān)分析離散時(shí)間信號(hào)的Z域分析離散系統(tǒng)描述與分析物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)2.1離散時(shí)間信號(hào)——序列一、序列的表示

單位采樣序列單位階躍序列1

-1

0

1

2

…

…

矩形序列

1……N-1N0和的關(guān)系：實(shí)指數(shù)序列……01230123…40123…40123正弦序列

對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，模擬角頻率，rad/s

數(shù)字角頻率rad周期序列

N為整數(shù)

對(duì)正弦序列來(lái)說(shuō)等式成立的條件為：二、序列的運(yùn)算序列加減乘

設(shè)序列

與注意：時(shí)刻對(duì)齊序列移位序列翻轉(zhuǎn)

序列的尺度變換

012345601234562345610111201789序列的離散卷積翻褶、移位、相乘、相加231x(n)54n0N1=523h(n)n0N2=3（1）翻褶231x(k)54k0N1=5231h(-k)k（2）平移（3）相乘x(k)h(-k)=5×1=5x(k)h(1-k)=5*2+4*1=14x(k)h(2-k)=5*3+4*2+3*1=26x(k)h(3-k)=4*3+3*2+2*1=20x(k)h(4-k)=3*3+2*2+1*1=14x(k)h(5-k)=2*3+1*2=8x(k)h(6-k)=1*3=3231x(k)54k023h(1-k)k01(4)相加14265ny(n)2014830信號(hào)轉(zhuǎn)換過(guò)程

2.2采樣定理及實(shí)現(xiàn)一、采樣過(guò)程1.模擬信號(hào)采樣器離散的脈沖信號(hào)2.數(shù)學(xué)描述（2.2.1)假設(shè)采樣脈沖為理想脈沖（2.2.2)只考慮正值時(shí)間(2.2.3)二、采樣定理(Samplingtheory)離散信號(hào)X(nTs)連續(xù)信號(hào)

X(t)Nyquist（Shannon)采樣定理：要想采樣后不失真地還原原信號(hào)，采樣頻率必須大于原信號(hào)頻譜中最高頻率的兩倍，即1.推導(dǎo)過(guò)程采樣的脈沖序列時(shí)域采樣信號(hào)是原始信號(hào)x(t)與脈沖序列的乘積頻譜？X(t)的頻譜：（2.2.4)脈沖序列頻譜：(2.2.5)將（2.2.4)和(2.2.5)代入上式：2.幾點(diǎn)說(shuō)明（1）頻譜的幅度受加權(quán)（2）頻譜產(chǎn)生了周期延拓，以為間隔重復(fù)t1高頻與低頻的混疊

頻率混疊現(xiàn)象？如何解決？1.提高采樣率2.抗混疊濾波器3.如何由X(nTs)重構(gòu)x(t)工程上：D/A轉(zhuǎn)換器理論上：T插值函數(shù)三、采樣方式實(shí)時(shí)采樣等效時(shí)間采樣單次波形

實(shí)時(shí)顯示

等效時(shí)間顯示重復(fù)波形2.3離散信號(hào)的相關(guān)分析

離散時(shí)間信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)

對(duì)功率信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為對(duì)周期信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為對(duì)復(fù)值信號(hào)，其自相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為性質(zhì)若是實(shí)信號(hào)，則若是實(shí)信號(hào)，則當(dāng)時(shí),

若是能量信號(hào)若是周期性的，則不收斂，也是周期性的，且頻率與的頻率相同。同頻率余弦例:

離散時(shí)間信號(hào)的互相關(guān)函數(shù)

對(duì)功率信號(hào)，其互相關(guān)函數(shù)應(yīng)定義為性質(zhì)

若是能量信號(hào)例：信號(hào)的檢測(cè)（白噪聲）

連續(xù)時(shí)間信號(hào)系統(tǒng)時(shí)域頻域微分方程代數(shù)方程離散時(shí)間信號(hào)系統(tǒng)時(shí)域頻域差分方程代數(shù)方程拉氏變換Z變換2.4離散時(shí)間信號(hào)的Z域分析采樣信號(hào)拉氏變換一、Z變換及其收斂域

Z變換的定義Z變換的收斂域?qū)θ我饨o定序列x(n),使其Z變換收斂的所有Z值的集合級(jí)數(shù)收斂|z|=RX-|z|=RX+jIm[z]Re[z]討論以下四種序列有限長(zhǎng)度序列(finitelengthsequence)右邊序列(right-sidesequence)左邊序列(left-sidesequence)雙邊序列(bilateralsequence)二、Z反變換圍線(xiàn)積分法（留數(shù)法）——(ContourIntegralMethod)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）——(PowerSeriesExpansionMethod)部分分式展開(kāi)法——(Partial-FractionExpansionMethod)圍線(xiàn)積分法（留數(shù)法）

若在積分圍線(xiàn)C內(nèi)的有限個(gè)極點(diǎn)集合為

若在處有階極點(diǎn)

冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法（長(zhǎng)除法）

一般情況下，是一個(gè)有理分式，分子分母都是z的多項(xiàng)式，則可直接用分子多項(xiàng)式除以分母多項(xiàng)式（長(zhǎng)除法），得到冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，從而得到。部分分式展開(kāi)法

類(lèi)似于拉氏變換中部分分式展開(kāi)法，我們可以將展成一些簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的部分分式之和，然后分別求出各部分分式的反變換，把各反變換相加即可得到。常用序列z變換（可直接使用）三、z變換的性質(zhì)

z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號(hào)處理中常常要用到。z變換主要的性質(zhì)參見(jiàn)附錄4。

2.5

離散系統(tǒng)描述一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列x(n)映射成輸出序列y(n)的唯一性變換或運(yùn)算。它的輸入是一個(gè)序列，輸出也是一個(gè)序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個(gè)運(yùn)算。

y(n)=T[x(n)]對(duì)T[·]加以種種約束,可定義出各類(lèi)離散時(shí)間系統(tǒng)。離散時(shí)間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線(xiàn)性、時(shí)不變系統(tǒng)”。線(xiàn)性離散系統(tǒng)的特點(diǎn)

系統(tǒng)滿(mǎn)足齊次性和疊加性輸入一、離散系統(tǒng)特點(diǎn)時(shí)不變離散系統(tǒng)的特點(diǎn)

在同樣起始狀態(tài)之下，系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)施加于系統(tǒng)的時(shí)刻無(wú)關(guān)。線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)的特點(diǎn)

線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)的輸出恰恰可以表示成輸入與單位采樣響應(yīng)的卷積和。二、差分方程的描述

一個(gè)線(xiàn)性的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)總可以用線(xiàn)性微分方程來(lái)表達(dá)。而對(duì)于離散時(shí)間系統(tǒng)，由于其變量n是離散整型變量，故只能用差分方程來(lái)反映其輸入輸出序列之間的運(yùn)算關(guān)系。離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個(gè)主要用途：①由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；②求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；三、離散卷積任何一個(gè)輸入序列都可以表示為加權(quán)延時(shí)單位采樣序列的線(xiàn)性組合。

將此任意序列加入到線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)時(shí)，系統(tǒng)的輸出為

單位采樣響應(yīng)四、系統(tǒng)的頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)，為單位采樣響應(yīng)

兩邊取z變換

定義為系統(tǒng)函數(shù)它是單位采樣響應(yīng)的z變換。所以可以用單位采樣響應(yīng)的z變換來(lái)描述線(xiàn)性時(shí)不變離散系統(tǒng)。單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)

可以證明，它是單位采樣響應(yīng)的DTFT。2.6

物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)就是指某時(shí)刻的輸出只取決于此時(shí)刻和此時(shí)刻以前時(shí)刻的輸入的系統(tǒng)。

的輸出只取決于的輸入

即線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分且必要條件是穩(wěn)定系統(tǒng)

穩(wěn)定系統(tǒng)就是指輸入信號(hào)序列有界，并能保證輸出信號(hào)序列也有界的系統(tǒng)。絕對(duì)可和

線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分且必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)2.7與本章內(nèi)容有關(guān)的MATLAB函數(shù)randnresiduezplaneconvxcorrrand

rxy=xcorr(x,y)rxy=xcorr(x,y,Mlag,‘option’)[rxy,lags]=xcorr(x,y,Mlag,‘option’)例1產(chǎn)生一個(gè)疊加白噪聲的正弦信號(hào)

M文件如下：clearallcloseallclcfs=1500;N=512;n=0:N-1;dt=1/fs;x=sin(2*pi*60*n*dt)+randn(1,N);plot(n,x);xlabel('n');ylabel('x(n)');title('sin+randnsignal');gridM文件如下：

x1=[1,2,3];x2=[2,4,3,5];n1=-1:1;n2=-2:1;x3=conv(x1,x2);s3=n1(1)+n2(1);e3=n1(length(x1))+n2(length(x2));n3=[s3:e3];

寫(xiě)出相應(yīng)的MATLAB程序求

例2設(shè)M文件如下：fs=input('thesamplingfrequency=');N=input('thesamplingnumber=');n=0:N-1;dt=1/fs;mlag=200;x=sin(2*pi*10*n*dt);y=0.5*sin(2*p