向量的加減法【新教材】2022年蘇教版高中數(shù)學(xué)必修同步教案（學(xué)生版教師版）

編號：002課題:§向量的加減法目標(biāo)要求1、理解并掌握向量的概念．2、理解并掌握零向量與單位向量．3、理解并掌握相等向量與共線向量．4、理解并掌握向量的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：相等向量與共線向量；難點：向量的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.向量加法的定義求____________________的運算,叫作向量的加法.2.求向量和的方法(1)三角形法則與平行四邊形法則三角形法則作法已知向量和,在平面內(nèi)任取一點O,作,則向量叫作與的和,記作,即.圖示平行四邊形法則作法對于任意兩個不共線的非零向量,分別作,以O(shè)A,OC為鄰邊作?OABC,則以O(shè)為起點的對角線表示的向量就是向量與的和.圖示規(guī)定(2)本質(zhì):向量加法運算結(jié)果仍是向量,此向量的方向和大小可以用三角形法則和平行四邊形法則作出.三角形法則的物理模型是位移的合成.平行四邊形法則的物理模型是力的合成.(3)應(yīng)用:①兩個非零向量的和;②為學(xué)習(xí)向量的其他運算奠定基礎(chǔ).【思考】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有什么不同?兩者有何聯(lián)系?3.|a+b|,|a|,|b|之間的關(guān)系一般地,我們有,當(dāng)且僅當(dāng)________________時等號成立.4.向量加法的運算律交換律結(jié)合律5.向量的減法(1)本質(zhì):向量的減法是向量加法的逆運算.(2)定義:若,則向量叫作與的差,記為.求兩個向量差的運算,叫作向量的減法.(3)應(yīng)用:①求兩個向量的差;②為向量的綜合運算奠定基礎(chǔ).6.向量減法的幾何意義作法已知向量,在平面內(nèi)任取一點O,作,則圖示(1)已知是不共線的向量,如何在同一個平行四邊形中作出和?(2)在代數(shù)運算中的移項法則,在向量中是否仍然成立?【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.存在向量,使得是一個實數(shù). B.在平行四邊形ABCD中，.C..D.相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.題2.在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯誤的是 ()A.B.C. D.題3.若表示“向東走8km”,表示“向北走8km”,則________,的方向是________.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一三角形法則、平行四邊形法則的應(yīng)用(直觀想象)【題組訓(xùn)練】題4.下列等式錯誤的是 ()A.B.C.D.在?ABCD中,題5.如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則 ()A. B. C. D.題6.如圖,已知向量.(1)用平行四邊形法則作出向量;(2)用三角形法則作出向量.【補償訓(xùn)練】題7.向量等于 ()A. B. C. D.題8.如圖,已知?ABCD,O是兩條對角線的交點,E是CD的一個三等分點,求作:(1);(2).題9.已知,則___________.【補償訓(xùn)練】題10.如圖,已知三個向量,試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量.類型二向量減法的幾何意義(直觀想象)【典例】題11.如圖,已知向量不共線,求作向量.【變式探究】題12.如圖,已知向量不共線,求作向量:.【跟蹤訓(xùn)練】題13.如圖所示,O為△ABC內(nèi)一點,,求作:.【補償訓(xùn)練】題14.如圖,已知向量,求作.類型三向量加減法的運算(數(shù)學(xué)運算)【典例】題15.化簡:(1);(2).2.化簡:(1);(2);(3);(4);(5);(6).【跟蹤訓(xùn)練】題16.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點,如圖所示,化簡下列各式:(1)________;(2)________;(3)________;(4)________.【補償訓(xùn)練】題17.在平行四邊形ABCD中(如圖),對角線AC,BD交于點O,則①________.②________.③________.④________.題18.化簡下列各式:(1);(2).【補償訓(xùn)練】題19.下列各式中不能化簡為的是 ()A.B.C.D.類型四向量加減法的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)角度1與平面幾何知識綜合應(yīng)用【典例】題20.已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,且.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.【變式探究】題21.四邊形ABCD中,,且,求證四邊形ABCD為矩形.角度2與物理知識綜合【典例】題22.一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛,航船實際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船實際速度.【思路導(dǎo)引】畫出示意圖,根據(jù)向量加法的幾何意義分析水流速度、船垂直于對岸的方向行駛的速度和船實際航行的速度之間的關(guān)系,解直角三角形求有關(guān)線段和角的大小.【題組訓(xùn)練】題23.已知點G是△ABC的重心,則________.題24.一架直升飛機從A地沿北偏東60°方向飛行了40km到B地,再由B地沿正北方向飛行40km到達(dá)C地,求此時直升飛機與A地的相對位置.【補償訓(xùn)練】題25.如圖所示,P,Q是△ABC的邊BC上兩點,且.求證:.題26.如圖所示,在正八邊形ABCDEFGH中,,(1)試用已知向量表示;(2)試用已知向量表示.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題27.若C是線段AB的中點,則等于 ()A. B.C. D.以上均不正確題28.下列運算中正確的是 ()A. B.C. D.題29.化簡:(1)________;(2)________.題30.根據(jù)下圖填空:.題31.河水從東向西流,流速為2m/s,一小船以2m/s垂直水流方向向北橫渡,求小船實際航行的方向和航速(結(jié)果保留小數(shù)點后一位).編號：002課題:§向量的加減法目標(biāo)要求1、理解并掌握向量的概念．2、理解并掌握零向量與單位向量．3、理解并掌握相等向量與共線向量．4、理解并掌握向量的應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．重點難點重點：相等向量與共線向量；難點：向量的應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識點1.向量加法的定義求___兩個向量和__的運算,叫作向量的加法.2.求向量和的方法(1)三角形法則與平行四邊形法則三角形法則作法已知向量和,在平面內(nèi)任取一點O,作,則向量叫作與的和,記作,即.圖示平行四邊形法則作法對于任意兩個不共線的非零向量,分別作,以O(shè)A,OC為鄰邊作?OABC,則以O(shè)為起點的對角線表示的向量就是向量與的和.圖示規(guī)定(2)本質(zhì):向量加法運算結(jié)果仍是向量,此向量的方向和大小可以用三角形法則和平行四邊形法則作出.三角形法則的物理模型是位移的合成.平行四邊形法則的物理模型是力的合成.(3)應(yīng)用:①兩個非零向量的和;②為學(xué)習(xí)向量的其他運算奠定基礎(chǔ).【思考】向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的使用條件有什么不同?兩者有何聯(lián)系?提示:(1)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和,平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和.(2)當(dāng)兩個向量不共線時,兩個法則是一致的.如圖所示,(平行四邊形法則),又因為,所以(三角形法則).3.|a+b|,|a|,|b|之間的關(guān)系一般地,我們有,當(dāng)且僅當(dāng)__方向相同__時等號成立.4.向量加法的運算律交換律結(jié)合律5.向量的減法(1)本質(zhì):向量的減法是向量加法的逆運算.(2)定義:若,則向量叫作與的差,記為.求兩個向量差的運算,叫作向量的減法.(3)應(yīng)用:①求兩個向量的差;②為向量的綜合運算奠定基礎(chǔ).6.向量減法的幾何意義作法已知向量,在平面內(nèi)任取一點O,作,則圖示(1)已知是不共線的向量,如何在同一個平行四邊形中作出和?提示:如圖所示,作平行四邊形OACB,設(shè),根據(jù)向量加法的平行四邊形法則和向量減法的三角形法則,有.(2)在代數(shù)運算中的移項法則,在向量中是否仍然成立?提示:成立.在向量等式的兩邊都加上或減去同一個向量仍得到向量等式,因此移項法則對向量等式也是適用的.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題正確的是()A.存在向量,使得是一個實數(shù). B.在平行四邊形ABCD中，.C..D.相反向量不一定是平行向量,平行向量一定是相反向量.【答案】選BC提示:A×.兩個向量的和仍是一個向量.B√.由向量加法的平行四邊形法則可知.C√.由向量加法的交換律、結(jié)合律知,a+(b+c)=(a+b)+c=c+(a+b).D×.由平行向量與相反向量的定義可知,相反向量必為平行向量,平行向量不一定是相反向量.故選BC.題2.在平行四邊形ABCD中,下列結(jié)論錯誤的是 ()A.B.C. D.【解析】選C.因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以,所以,A正確;,由向量加法的平行四邊形法則可知,,B正確;,C錯誤;因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以與互為相反向量,所以,D正確.題3.若表示“向東走8km”,表示“向北走8km”,則________,的方向是________.【解析】如圖所示,作,則.所以(km),因為∠AOB=45°,所以的方向是東北方向.答案:km東北方向關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一三角形法則、平行四邊形法則的應(yīng)用(直觀想象)【題組訓(xùn)練】題4.下列等式錯誤的是 ()A.B.C.D.在?ABCD中,【解析】選A.由向量加法可知.題5.如圖所示的方格紙中有定點O,P,Q,E,F,G,H,則 ()A. B. C. D.【解析】選C.設(shè),利用平行四邊形法則作出向量,再平移即發(fā)現(xiàn).題6.如圖,已知向量.(1)用平行四邊形法則作出向量;(2)用三角形法則作出向量.【解析】(1)如圖,在平面內(nèi)任取一點O,作,以O(shè)A,OB為鄰邊作?OACB,連接OC,則.(2)如圖,在平面內(nèi)任取一點O',作,連接O'E,則.【解題策略】1.應(yīng)用三角形法則應(yīng)注意的問題使用三角形法則求兩個向量的和時,應(yīng)注意“首尾相連,起點指終點”,即首尾相連的兩個向量的和對應(yīng)的向量是第一個向量的起點指向第二個向量的終點.2.應(yīng)用平行四邊形法則應(yīng)注意的問題(1)平行四邊形法則只適用于求不共線的兩個向量的和.(2)基本步驟可簡述為:共起點兩向量所在線段為鄰邊作平行四邊形,找共起點的對角線對應(yīng)的向量.【補償訓(xùn)練】題7.向量等于 ()A. B. C. D.【解析】選C..題8.如圖,已知?ABCD,O是兩條對角線的交點,E是CD的一個三等分點,求作:(1);(2).【解析】(1)延長AC,在延長線上截取CF=AO,則向量即為所求.(2)在AB上取點G,使AG=AB,則向量即為所求.【拓展延伸】向量加法的多邊形法則向量加法的三角形法則可以推廣為多個向量求和的多邊形法則,即把每個向量平移,使這些向量首尾相連,則由第一個向量的起點指向最后一個向量終點的向量就是這些向量的和向量.即:.或.這是一個極其簡單卻非常有用的結(jié)論(如圖).利用向量加法的多邊形法則化簡多個向量的和有時非常有效.【拓展訓(xùn)練】題9.已知,則___________.【解析】.答案:【補償訓(xùn)練】題10.如圖,已知三個向量,試用三角形法則和平行四邊形法則分別作向量.【解析】利用三角形法則作a+b+c,如圖①所示,作,以A為起點,作,再以B為起點,作,則.利用平行四邊形法則作,如圖②所示,作,以為鄰邊作?OADB,則,再以為鄰邊作?ODEC,則.類型二向量減法的幾何意義(直觀想象)【典例】題11.如圖,已知向量不共線,求作向量.【思路導(dǎo)引】先作,再作.作向量的差時,可以依據(jù)定義也可以依據(jù)向量減法的三角形法則.【解析】方法一:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點O,作,則,再作,則.方法二:如圖所示,在平面內(nèi)任取一點O,作,則,再作,連接OC,則.【變式探究】題12.如圖,已知向量不共線,求作向量:.【解析】如圖所示:【解題策略】作兩個向量的差的兩種方法(1)用向量減法的三角形法則①步驟②口訣:共起點,連終點,指向被減.(2)用向量減法的定義根據(jù)轉(zhuǎn)化為向量加法運算,再作圖.【跟蹤訓(xùn)練】題13.如圖所示,O為△ABC內(nèi)一點,,求作:.【解析】方法一:以為鄰邊作平行四邊形OBDC,連接OD,AD,則.方法二:作,連接AD,則.【補償訓(xùn)練】題14.如圖,已知向量,求作.【解析】如圖,以A為起點分別作向量和,使.連接CB,得向量,再以C為起點作向量,使.連接DB,得向量.則向量即為所求作的向量.類型三向量加減法的運算(數(shù)學(xué)運算)【典例】題15.化簡:(1);(2).【解析】(1).(2).2.化簡:(1);(2);(3);(4);(5);(6).【思路導(dǎo)引】1.綜合利用向量加法的運算律和三角形法則解答.2.首先用向量加法的運算律或向量減法的定義進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化,然后用向量加法(或減法)的三角形法則化簡.【解析】(1);(2);(3);(4);(5);(6)方法一:.方法二:.【解題策略】1.向量與非零向量的模及方向的聯(lián)系(1)當(dāng)向量與不共線時,向量的方向與都不相同,且,幾何意義是三角形兩邊之和大于第三邊.(2)當(dāng)向量與同向時,向量,方向相同,且.(3)當(dāng)向量與反向時,若時,則的方向與相同,且;若時,則;若時,則\的方向與相同,且.2.向量加法運算律的意義和應(yīng)用原則(1)意義:向量加法的運算律為向量加法提供了變形的依據(jù),實現(xiàn)恰當(dāng)利用向量加法法則運算的目的.實際上,由于向量的加法滿足交換律和結(jié)合律,故多個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.(2)應(yīng)用原則:利用代數(shù)方法通過向量加法的交換律,使各向量“首尾相連”,通過向量加法的結(jié)合律調(diào)整向量相加的順序.3.向量減法運算的常用方法(1)可以通過相反向量,把向量減法的運算轉(zhuǎn)化為加法運算.(2)運用向量減法的三角形法則,此時要注意兩個向量要有共同的起點.(3)引入點O,逆用向量減法的三角形法則,將各向量起點統(tǒng)一.【跟蹤訓(xùn)練】題16.設(shè)E是平行四邊形ABCD外一點,如圖所示,化簡下列各式:(1)________;(2)________;(3)________;(4)________.答案:(1)；(2)；(3);(4)【補償訓(xùn)練】題17.在平行四邊形ABCD中(如圖),對角線AC,BD交于點O,則①________.②________.③________.④________.【解析】①.②.③.④.答案:①;②;③;④題18.化簡下列各式:(1);(2).【解析】(1).(2).【補償訓(xùn)練】題19.下列各式中不能化簡為的是 ()A.B.C.D.【解析】選D.選項A中,;選項B中,;選項C中,.選項D中,.類型四向量加減法的綜合應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)角度1與平面幾何知識綜合應(yīng)用【典例】題20.已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O,且.求證:四邊形ABCD是平行四邊形.【思路導(dǎo)引】利用向量加法結(jié)合題目條件推證.【證明】如圖,，又因為,所以.所以AB=DC且AB∥DC.所以四邊形ABCD為平行四邊形.【變式探究】題21.四邊形ABCD中,,且,求證四邊形ABCD為矩形.【證明】因為四邊形ABCD中,,所以四邊形ABCD為平行四邊形,如圖.所以,因為,所以,即平行四邊形對角線相等,故四邊形ABCD為矩形.角度2與物理知識綜合【典例】題22.一艘船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛,航船實際航行方向與水流方向成30°角,求水流速度和船實際速度.【思路導(dǎo)引】畫出示意圖,根據(jù)向量加法的幾何意義分析水流速度、船垂直于對岸的方向行駛的速度和船實際航行的速度之間的關(guān)系,解直角三角形求有關(guān)線段和角的大小.【解析】如圖所示,表示水流速度,表示船垂直于對岸的方向行駛的速度,表示船實際航行的速度,∠AOC=30°,.因為四邊形OACB為矩形,所以.所以水流速度大小為km/h,船實際速度為10km/h.【解題策略】1.利用向量解決幾何問題的方法用向量法證明幾何問題的關(guān)鍵是把幾何中的線段轉(zhuǎn)化為向量,通過向量的運算得到結(jié)論,然后把向量問題還原為幾何問題.2.利用向量的加法解決實際應(yīng)用題的三個步驟【題組訓(xùn)練】題23.已知點G是△ABC的重心,則________.【解析】如圖所示,連接AG并延長交BC于E點,點E為BC的中點,延長AE到D點,使GE=ED