二項式定理【新教材】2022年人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修練習(xí)（含答案）

二項式定理第I卷（選擇題）一、單選題1．，則（）A．49 B．56 C．59 D．642．在的二項展開式中，的系數(shù)是（）A． B． C． D．3．已知，則（）A． B．10 C． D．454．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克·牛頓于年?年間提出，據(jù)考證，我國至遲在世紀(jì)，北宋數(shù)學(xué)家賈憲就已經(jīng)知道了二項式系數(shù)法則，在的二項式展開式中，的系數(shù)為（）A． B． C． D．5．的展開式中項的系數(shù)是（）A． B． C． D．

6．已知，則等于（）A．63 B．64 C．31 D．327．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝（）A．284 B．356 C．364 D．3788．若，則（）A． B．4 C． D．9．已知的展開式中所有項的系數(shù)之和為-64，則其常數(shù)項為（）A．-25 B．-5 C．20 D．5510．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的.以下關(guān)于楊輝三角的猜想中錯誤的是（）A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個二項式系數(shù)相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個數(shù)都等于它‘肩上’兩個數(shù)的和”猜想：C．由“第n行所有數(shù)之和為2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝1510105111．已知二項式的展開式的二項式系數(shù)和為32，所有項系數(shù)和為243，則（）A． B．2 C． D．312．若，則（）A． B． C． D．13．設(shè)，則的值為（）A． B． C． D．14．設(shè)，則等于（）A．1 B．2 C．3 D．415．的展開式中二項式系數(shù)最大的項是（）A． B． C． D．16．設(shè)，則A． B．0 C．1 D．17．設(shè)，若與的二項展開式中的常數(shù)項相等，則（）A．4 B．-4 C．2 D．-218．展開式的二項式系數(shù)之和為32，則按x降冪排列的展開式的第三項是A． B． C． D．19．已知的展開式中的系數(shù)為25，則展開式中所有項的系數(shù)和為（）A． B．97 C．96 D．20．已知一組數(shù)據(jù)1，3，5，7的方差為n，則在二項式（2x）n的展開式所有項中任取一項，取到有理項的概率為（）A． B． C． D．第II卷（非選擇題）二、解答題21．在二項式的展開式中，________．給出下列條件：①若展開式前三項的二項式系數(shù)的和等于46；②所有奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和為256；③若展開式中第7項為常數(shù)項．試在上面三個條件中選擇一個補(bǔ)充在上面的橫線上，并且完成下列問題：（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式的常數(shù)項．（備注：如果多個條件分別解得，按第一個條件計分）22．在二項式的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列．（1）求項數(shù)；（2）求展開式中的二項式系數(shù)最大的項；（3）求展開式中所有系數(shù)的絕對值的和．23．請從下面三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.①第5項的系數(shù)與第3項的系數(shù)之比是14：3；②第2項與倒數(shù)第3項的二項式系數(shù)之和為55；③.已知在的展開式中，________.（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中含的項.24．已知展開式中的第二項、第三項、第四項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求的值及展開式的所有項的系數(shù)和；（2）將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率．25．已知的二項展開式中，第三項的系數(shù)為7.（1）求證：前三項系數(shù)成等差數(shù)列；（2）求出展開式中所有有理項（即的指數(shù)為整數(shù)的項）.參考答案1．C【分析】令，可得各項系數(shù)和.【詳解】令，.故選：C.【點睛】求二項展開式各項系數(shù)和、奇數(shù)項系數(shù)和與偶數(shù)項系數(shù)和問題關(guān)鍵是賦值法應(yīng)用.若，則展開式中：(1)各項系數(shù)之和為；(2)；(3).2．C【分析】由二項式展開式通項，即可確定的系數(shù).【詳解】由二項式通項，∴當(dāng)時，，則.∴的系數(shù)是.故選：C.3．A【分析】由于，求出的通項，從而可求出的值【詳解】，.故選：A4．D【分析】寫出二項式展開式的通項，令的指數(shù)位置等于即可求解.【詳解】展開式的通項為，令，解得，所以二項式展開式中，的系數(shù)為，故選：D.5．D【分析】由題意利用二項展開式的通項公式求得的項的系數(shù).【詳解】的展開式中項系數(shù)為，故選：D.6．A【分析】先逆用二項式定理得到，求得n值，再利用計算即得結(jié)果.【詳解】逆用二項式定理得＝，即3n＝36，所以n＝6，所以＝64－1＝63.故選：A.7．C【分析】分別令x＝1和x＝－1，得到兩式相加即得a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，得a0，即得結(jié)果.【詳解】令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，①令x＝－1，則a0－a1＋a2－…＋a12＝1，②①②兩式左右分別相加，得2(a0＋a2＋…＋a12)＝36＋1＝730，所以a0＋a2＋…＋a12＝365，再令x＝0，則a0＝1，所以a2＋a4＋…＋a12＝364.故選：C.【點睛】方法點睛：二項式定理的系數(shù)和問題，通常先通過觀察，根據(jù)需要使用賦值法代入計算即可.8．C【分析】由題知，再令，得，令，得，進(jìn)而得.【詳解】因為，所以．令，得，即．令，可得．所以，故選：C．【點睛】本題考查二項式定理求值，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.解題的關(guān)鍵在于賦值和求解.9．A【分析】令可得所有項的系數(shù)，進(jìn)而得，再由的展開式和相乘可得常數(shù)項.【詳解】令可得的展開式中所有項的系數(shù)之和為，解得，展開式的通項公式為：，展開式中的常數(shù)項為：.故選：A.【點睛】方法點睛：利用二項展開式計算指定項的系數(shù)時，注意利用通項公式和多項式的乘法判斷出指定項的系數(shù)是有哪些項的系數(shù)相乘所得到的.10．D【分析】由組合數(shù)及二項式系數(shù)的性質(zhì)可判斷A、B、C，由二項式定理運(yùn)算可判斷D.【詳解】對于A，由組合數(shù)的互補(bǔ)性質(zhì)可得，故A正確；對于B，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，故B正確；對于C，由二項式系數(shù)和的性質(zhì)可得，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：D.【點睛】本題考查了數(shù)學(xué)文化及組合數(shù)、二項式定理、二項式系數(shù)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.11．A【分析】根據(jù)二項式系數(shù)和求得，利用賦值法，結(jié)合所有項系數(shù)和求得.【詳解】∵二項式系數(shù)和為，∴.令，∴，∴.故選：A.【點睛】本小題主要考查二項式展開式的有關(guān)計算，屬于中檔題.12．D【分析】利用二項式定理可知、、、為負(fù)數(shù)，、、、、為正數(shù)，可得出，然后令可求得所求代數(shù)式的值，可以求得，從而求得結(jié)果.【詳解】二項式的展開式通項為，所以，的奇數(shù)次冪的系數(shù)均為負(fù)數(shù)，偶數(shù)次冪的系數(shù)均為正數(shù)，即、、、為負(fù)數(shù)，、、、、為正數(shù)，所以.所以，故選：D.【點睛】本題考查利用賦值法求解各項系數(shù)絕對值之和，要結(jié)合二項式定理確定各項系數(shù)的正負(fù)，考查計算能力，屬于中檔題目.13．A【分析】根據(jù)題中條件，直接令代入，即可得出結(jié)果.【詳解】令，代入可得，，則.故選：A.【點睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，根據(jù)賦值法求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.14．C【分析】令，即可求出．【詳解】解：，令，則，故選：．【點睛】本題考查了二項式定理的應(yīng)用，考查了賦值法，屬于基礎(chǔ)題．15．C【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值，再根據(jù)通項公式可求得結(jié)果.【詳解】由二項式系數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值，所以二項式系數(shù)最大的項是.故選：C.【點睛】本題考查了二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查了二項展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題.16．B【分析】通過賦值法分別求出二項式奇數(shù)項和偶數(shù)項系數(shù)的和，代入所求極限中利用平方差公式化簡即可得解.【詳解】令，則①，令，則②，可得：，可得：，所以故選：B【點睛】本題考查賦值法求二項展開式中奇數(shù)項、偶數(shù)項系數(shù)的和，極限的求解，屬于中檔題.17．B【分析】分別求出與的通項公式，進(jìn)而求出常數(shù)項，建立的方程即可.【詳解】的通項公式為，令，所以常數(shù)項為；的通項公式為，令，所以常數(shù)項為，依題意可得.故選:B.【點睛】本題考查二項展開式定理的應(yīng)用，熟練掌握二項展開式通項是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.18．C【分析】先求出n=5,再利用二項式展開式的通項求出按x降冪排列的展開式的第三項得解.【詳解】由題得.所以=，所以按x降冪排列的展開式的第三項.故選：C【點睛】本題主要考查二項式系數(shù)和二項式展開式指定項的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19．C【分析】先求得的值：解法一直接展開，再尋找的系數(shù)；解法二利用二項式定理，結(jié)合乘法分配律，求得的系數(shù).由此列方程，求得的值.然后令，求得展開式中所有項的系數(shù)和.【詳解】解法1：因為，所以的系數(shù)為，所以，解得，所以，令，得.解法2：由乘法分配律知的展開式中的系數(shù)為所以，解得，所以令，得.故選：C【點睛】本小題主要考查二項式定理的運(yùn)用，考查展開式中所有項的系數(shù)和的求法，屬于基礎(chǔ)題.20．C【分析】求出方差n再代入,求得展開式中的項數(shù),再求有理項的個數(shù)即可.【詳解】1,3,5,7的平均數(shù)，故方差.故二項式的展開項共6項.其中通項公式.其中有理項滿足為整數(shù),即滿足.故展開式所有項中任取一項,取到有理項的概率為故選：C【點睛】本題主要考查了方差的運(yùn)算以及二項式展開式的應(yīng)用,需要根據(jù)題意列出通項公式中某項滿足的條件再求解即可.屬于中等題型.21．答案見解析【分析】先根據(jù)所選的條件計算出的值：若選①，根據(jù)組合數(shù)計算出的值；若選②，根據(jù)奇數(shù)項的二項式系數(shù)為求解出的值；若選③，先寫出展開式的通項公式，然后根據(jù)的次數(shù)為零得到的關(guān)系，由此根據(jù)條件可確定出的值；（1）根據(jù)的值，先確定出二項式系數(shù)最大的項是哪幾項，然后利用展開式的通項求解出對應(yīng)項；（2）先寫出展開式的通項，然后根據(jù)的次數(shù)為零求解出的值，由此求解出常數(shù)項.【詳解】解：選擇①：，即，即，即，解得或（舍去）選擇②：，即，解得．選擇③：，則有，所以．因為展開式中第7項為常數(shù)項，即，所以．（1）展開式中二項式系數(shù)最大的項為第5和第6項，，．（2）展開式通項為：，令，∴，∴展開式中常數(shù)項為第7項，常數(shù)項為．【點睛】結(jié)論點睛：二項式系數(shù)的性質(zhì)：（1）對稱性：與首末兩端“等距”的兩個二項式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)時，二項式系數(shù)是遞增的，當(dāng)時，二項式系數(shù)是遞減的；當(dāng)為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大，當(dāng)為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大；（3）二項式系數(shù)的和：，.22．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）寫出二項式展開式的通項，根據(jù)等差中項的性質(zhì)列方程可得出的值；（2）根據(jù)二項式系數(shù)的對稱性和單調(diào)性可得出二項式系數(shù)最大的項；（3）列出展開式中所有系數(shù)的絕對值，利用二項式定理特殊賦值求解即可.【詳解】（1）二項式展開式的通項為，因為前三項系數(shù)的絕對值成等差數(shù)列，所以，化簡得，解得，（，舍去）．（2）由（1）知，二項式的展開項共9項，故二項式系數(shù)最大的項為第項，即（3）展開式中所有系數(shù)的絕對值的和為，【點睛】結(jié)論點睛：本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，在的展開式中，若n是偶數(shù)時，中間項項的二項式系數(shù)最大；若n是奇數(shù)時，中間兩項與項的二項式系數(shù)相等且最大．23．（1）；（2）.【分析】（1）先求出二項展開式的通項，根據(jù)條件求出，即可知道二項式系數(shù)最大的項；（2）令的指數(shù)為5，即可計算出，求出含的項.【詳解】可知，方案一：選條件①，（1）由題可知，，，解得或（舍去），所以展開式共有11項，其中二項式系數(shù)最大的項是第六項，，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，；（2）由（1）知，令，，，所以展開式中含的項是第一項，為；方案二：選條件②，（1）由題可知，整理得，解得或（舍去），所以展開式共有11項，其中二項式系數(shù)最大的項是第六項，，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，；（2）同方案一（2）；方案三：選條件③，（1），，所以展開式共有11項，其中二項式系數(shù)最大的項是第六項，，所以展開式中二項式系數(shù)最大的項是第6項，；（2）同方案一（2）.【點睛】本題考查二項展開式的相關(guān)性質(zhì)，屬于中檔題.24．（1）；2187；（2）．【分析】（1）利用第二項、第三項、第四項的二項式系數(shù)為等差數(shù)列可求，再令可求系數(shù)和.（2）根據(jù)二項展開式的通項可得展開式中共有3項有理項，利用插空法和古典概型的概率計算公式可求概率.【詳解】解：（1）由已知第二項、第三項、第四項的二項式系數(shù)分別為、、，∴，解得或（舍），∴．令可得展開式的所有項的系數(shù)和為．（2），其中，故展開式共8項，當(dāng)為有理項，共3項，∴由插空法可得有理項不相鄰的概率．【點睛】本題考查二項展開式中指定項的系數(shù)的計算以及古典概