立體幾何解答題精選

立體幾何解答題1.（2014天津理 17）如圖，在四棱錐 P-ABCD中，PA 底面ABCD，AD AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點. P（1）證明 ：BE DC；E（2）求直線 BE與平面PBD所成角的正弦值；D（3）若F為棱PC上一點，滿足 BF AC，求二面角F- AB-P的余弦值.

A

CB2.（2014浙江理 20）如圖，在四棱錐 A BCDE中，平面 ABC 平面BCDE， CDE BED 90，AB CD 2,DE BE 1,AC 2. A（1）證明：DE 平面ACD;求二面角B AD E的大小.D CE B3.（2015山東理17）如圖所示，三棱臺 DEF ABC中，AB 2DE，G，H分別為AC，BC的中點.（1）求證： BD∥平面FGH；（2）若CF 平面ABC，AB BC，CF DE，BAC 45，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大小 .DFECAGHB4.（2015浙江理17）如圖所示，在三棱柱ABCABC中，BAC90，ABAC2，AA4，A在底11111面ABC的射影為BC的中點，D為BC的中點.11（1）證明：AD平面ABC；11（2）求二面角A1BDB1的平面角的余弦值.5.（2015重慶理19）如圖所示，在三棱錐PABC中，PC平面PABC,PC3，ACBπAB，BC上的點，.D，E分別為線段2且CDDE2，CE2EB2.（1）證明：DE平面PCD；（2）求二面角APDC的余弦值.CEBAD6.（2016北京理17）如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD5.P（1）求證：PD平面PAB；（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；DA3AM的值；若不B（）在棱PA上是否存在點M，使得BM//平面PCD?若存在，求APC存在，說明理由 .7.（2017全國 3卷理科 19）如圖所示，四面體 ABCD中，△ABC是正三角形， △ACD是直角三角形，ABD CBD，AB BD．（1）求證：平面 ACD 平面ABC；（2）過AC的平面交 BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角 D–AE–C的余弦值．（天津理）如圖所示，在三棱錐PABC中，底面ABC，BAC90點D，E，N分別為棱PA，8.201717.PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PAAC4，AB2.（）求證：MN//平面BDE；（）求二面角CEMN的正弦值；123BE所成角的余弦值為7，求線（）已知點H在棱PA上，且直線NH與直線21段AH的長.

PDEMAB N C答案29.（2014天津理17）（本小題滿分13分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA^底面ABCD，AD^AB，AB//DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點.（1）證明：BE^DC；P（2）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；（3）若F為棱PC上一點，滿足BF^AC，E求二面角F-AB-P的余弦值.DCA B31.（2014浙江理 20）（本題滿分 15分）如圖，在四棱錐 A BCDE中，平面ABC 平面BCDE， CDE BED 90，AB CD 2,DE BE 1,AC 2.2）證明：DE平面ACD;3）求二面角BADE的大小.DE B38.（2015山東理17）如圖所示，三棱臺 DEF ABC中，AB 2DE，G，H分別為

ACAC，BC的中點.（1）求證： BD∥平面FGH；（2）若CF 平面ABC，AB BC，CF DE，BAC 45，求平面FGH與平面ACFD所成的角（銳角）的大小 .D

FECA GHB38.解析（1）證法一：連接DG，CD，設CDGFO，連接OH．在三棱臺DEFABC中，AB2DE，G為AC的中點，可得DF//GC，DFGC，F所以四邊形DFCG為平行四邊形，D則O為CD的中點．EO又H為BC的中點，所以OH//BD．CG又OH平面FGH，BD平面FGH，A所以BD//平面FGH．HB證法二：在三棱臺DEFABC中，由BC2EF，H為BC的中點，可得BH//EF，BHEF，所以四邊形BHFE為平行四邊形，可得BE//HF．在△ABC中，G為AC的中點，H為BC的中點，所以GH//AB．又GHHFH，所以平面FGH//平面ABED．因為BD平面ABED，所以BD//平面FGH．（2）解法一：設AB2，則CF1．在三棱臺DEFABC中，G為AC的中點，由DF1GC，可得四邊形DGCF為平行四邊形，因此DG//FC．AC2又FC平面ABC，所以DG平面ABC．在△ABC中，由ABBC，BAC45，G是AC中點，所以ABBC，GBGC，因此GB，GC，GD兩兩垂直．以G為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系Gxyz，所以G0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，D0,0,1，可得H2,2,0，F0,2,1，22zF22D故GH,2,0，GF0,2,1．2E設nx,y,z是平面FGH的一個法向量，yxy0CnGH0AG則由，可得z，HnGF02y0B解得平面FGH的一個法向量n1,1,2．x因為GB是平面ACFD的一個法向量，GB2,0,0，所以cosGB,nGBn21GBn22．2所以平面FGH與平面ACFD所成（銳角）的大小為60．解法二：作HMAC于點M，作MNCF于點N，連接NH．由FC平面ABC，得HMFC．DFC，所以HM又FCAC平面ACFD，E因此GFNH，所以MNH即為所求的角．NM1BG2C在△BGC中，MH//BG，MH，AG22H由△GNM∽△GCF，可得MNGM，BFCGF6．由HM平面ACFD，MN平面ACFD，從而MN6得HMMN，因此tanMNHHM3，所以MNH60，MN所以平面FGH與平面ACFD所成（銳角）的大小為60．40.（2015浙江理17）如圖所示，在三棱柱ABCABC111中，BAC90，ABAC2，A1A4，A1在底面ABC的射影為BC的中點，D為BC的中點.11（1）證明：AD平面ABC；11（2）求二面角A1BDB1的平面角的余弦值.E11AEAE.40.解析（1）設BC的中點為，連接AE1111ACAE//AD11111又，所以．又11,所以.而所以ADBC.又BCAEE，所以AD平面A1BC．111（2）解法一：作A1FBD，垂足為F，連接B1F，如圖（1）所示則AEEB2，A1BA1A4．AEB190.所以AD1DB,1AB1BB1，所以△ABD≌△BBD11.由A1FBD，得B1FBD，因此A1FB1即為二面角A1BDB1的平面角．又DAB90，所以BD32，所以A1FB1F4.13在△AFB中，由余弦定理得，cosA1FB1111．8解法二（向量法）：以CB的中點E為原點，分別以射線EAEB,,EA1為x,y,z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Exyz，如圖（2）所示．由題意知各點坐標如下：A1(0,0,14)，B(0,2,0)，D(2,0,14)，B1(2,2,14)．因此A1B(0,2,14)，BD(2,2,14)，DB1(0,2,0)．設平面A1BD的法向量為m(x1,y1,z1)，平面B1BD的法向量為n(x2,y2,z2)．mA1B0,2y114z10，可取m(0,7,1)．由即mBD0,2x12y114z10nDB10,2y20，可取n(由nBD即7,0,1)．0,2x22y214z20于是cosm,nmn1．由題意可知，所求二面角的平面角是鈍角，mn8故二面角A1BDB1的平面角的余弦值為1．8zC1C1DA1B1A1DBF1FCECABExAyB圖（1）圖（2）41.（2015重慶理19）如圖所示，在三棱錐PABC中，PC平面ABC,PC3，ACBπ.D，E分別為線段AB，BC上的點，且CDDE2，CE2EB2.21）證明：DE平面PCD；2）求二面角APDC的余弦值.PCEBAD41.解析（1）證明：因為PC平面ABC，DE平面ABC，所以PCDE.由CE2，CDDE2得△CDE為等腰直角三角形，故CDDE．又PCCDC，且PC,CD平面PCD，故DE平面PCD．21DCE，如圖所示，4過點D作DF垂直CE于F，易知DFFCFE1，又EB1，故FB2．由ACBDFFB2，得DF//AC，BC，2AC3故AC3DF3．以點C為坐標原點，22分別以，，CP的方向分別為軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系CACBxCxyz，C0,0,0，P0,0,3，A3,0,0，2E0,2,0，D1,1,0，ED1,1,0，，1，1,0.DP1,1,3DA2設平面PAD的法向量為n1x1,y1,z1，z則1，n1DA0，PDP0nx1y13z10即1x1y10，令x12，2CFEABy則y11,z11，故可取n12,1,1．Dx由（1）可知DE平面PCD，故平面PCD的法向量n2可取為ED，即n21,1,0.則cosn1,n2n1n23，又二面角A﹣PD﹣C為銳二面角，n1n26所以二面角A﹣PD﹣C的余弦值為3．649.（2016北京理17）如圖所示，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，ABAD，AB1，AD2，ACCD5.1平面PAB；（）求證：PD（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；（3）在棱PA上是否存在點M，使得BM平面PCD?若存在，求AM的值；若不存在，說明理由.APPD ABC49.解析（1）如題中的圖所示，平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，AB平面ABCD,ABAD，得AB平面PAD，所以PDAB.又因為PDPA,PA平面PAB，AB平面PAB，ABPAA，所以PD平面PAB.PNAMBC

D2）如圖所示，設棱AD的中點是O，由題設可得直線OC,OA,OP兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.可得O(0,0,0),A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)，所以PC(2,0,1),DP(0,1,1)，PB(1,1,1).設平面PCD的一個法向量是n(x,y,z)，得nPC2xz0，所以可得n(1,2,2).nDPyz0設直線PB與平面PCD所成角的大小為，nPB11212(1)33可得sin2，nPB12(2)222121213333即直線PB與平面PCD所成角的正弦值是.3（3）設棱PA上存在點M(x,y,z)，使得BM平面PCD，并設AM(0剟1)，得AMAP，AP即(x,y1,z)(0,1,1)(x,y,z)(0,1,).得M(0,1,),BM(1,,).，即由BM平面PCD，平面PCD的一個法向量是n(1,2,2)，得nBM(1,2,2)(1,,)1220，解得1平面PCD，所以BM平面PCD..又BM，且AM14即在棱PA上存在點M使得BM平面PCD.AP4zPMDAyOBCx58.（2017全國3卷理科19）如圖所示，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD CBD，AB BD．（1）求證：平面 ACD 平面ABC；2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角D–AE–C的余弦值．58．解析⑴如圖所示，取AC的中點為O，聯結BO，DO.因為△ABC為等邊三角形，所以BOAC，ABBC.ABBC由BDBD，得△ABD△CBD，所以ADCD，即△ACD為等腰直角三角形，ABDDBC從而ADC為直角.又O為底邊AC中點，所以DOAC.令ABa，則ABACBCBDa，易得ODa3a，OB，22222DOB，即ODOB.所以ODOBBD，從而由勾股定理的逆定理可得2OD ACOD OB由 AC OB O ，所以OD 平面ABC.AC 平面ABCOB 平面ABC又因為OD平面ADC，由面面垂直的判定定理可得平面ADC平面ABC.DCEOBA⑵由題意可知VDACEVBACE，即B，D到平面ACE的距離相等，即點E為BD的中點.以O為坐標原點，OA為x軸正方向，OB為y軸正方向，OD為z軸正方向，設ACa，建立空間直角坐標系，則O0,0,0，Aa,0,0，Da，B0,3a3a20,0,2,0，E0,a,，244易得AEa,3a,a，ADa,0,a，OAa,0,0.244222設平面的法向量為n1=x1,y1,z1，平面AEC的法向量為n2=x2,y2,z2，AEDAEn103,1,3；AEn20，取n20,1,3.則n1，取n1OAn20AD0設二面角DAEC為，易知為銳角，則cosn1n27n1n2.7zDCEOByxA11.（2017天津理17）如圖所示，在三棱錐 P ABC中，PA 底面ABC， BAC 90.點D，E，N分別為棱PA，PC，BC的中點，M是線段AD的中點，PA AC 4，AB 2.（1）求證：MN//平面BDE；（2）求二面角 C EM N的正弦值；（3）已知點H在棱PA上，且直線 NH與直線BE所成角的余弦值為