空間幾何量的計(jì)算.板塊七.空間幾何量計(jì)算綜合問(wèn)題.學(xué)生版

板塊七.空間幾何量計(jì)算綜合問(wèn)題典例分析【例1】如果四棱錐的四條側(cè)棱都相等，就稱它為“等腰四棱錐” ，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下四個(gè)命題中，假命題是（ ）A．等腰四棱錐的腰與底面所成角都相等B．等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)C．等腰四棱錐的底面四邊形必存在外接圓D．等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上PD OCHAB【例2】如圖，正方體 ABCD A1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并且總保持AP BD1，則動(dòng)點(diǎn) P的軌跡是（ ）A．線段B1CB．線段BC1C．BB1中點(diǎn)與CC1中點(diǎn)連成的線段D．BC中點(diǎn)與B1C1中點(diǎn)連成的線段D1 C1A1 B1PDCA B【例3】（2010重慶高考）到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)， 在過(guò)其中一條直線且平行于另一條直線1的平面內(nèi)的軌跡是（ ）A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線【例4】（2010福建高考）如圖，若是長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是（）A．EH∥FGB．四邊形EFGH是矩形C．是棱柱D．是棱臺(tái)D1HC1A1EB1GFDCAB【例5】（2010江西高考）過(guò)正方形 ABCD A1B1C1D1的頂點(diǎn)A作直線l，使l與棱AB，AD，AA1所成的角都相等，這樣的直線 l可以作A．1條 B．2條 C．3條 D．4條A DB CA1D1B1 C1【例6】（2010全國(guó)卷Ⅱ高考）11．與正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)A．有且只有1個(gè)B．有且只有2個(gè)C．有且只有3個(gè)D．有無(wú)數(shù)個(gè)【例7】（2009海南）如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱線長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF2，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）2A．AC BEB．EF∥平面ABCD2C．三棱錐ABEF的體積為定值D．異面直線AE，BF所成的角為定值C1B1EFD1A1CBD A【例8】（2008遼寧）在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，CC1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線A1D1，EF，CD都相交的直線（）A．不存在B．有且只有兩條C．有且只有三條D．有無(wú)數(shù)條D1C1MNA1 B1FPED CA B【例9】（2009安徽文15）對(duì)于四面體 ABCD，下列命題正確的是 ．（寫出所有正確命題的編號(hào)）．①相對(duì)棱AB與CD所在的直線是異面直線；②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是 BCD的三條高線的交點(diǎn)；③若分別作 ABC和 ABD的邊AB上的高，則這兩條高的垂足重合；④任何三個(gè)面的面積之和都大于第四個(gè)面的面積；⑤分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn)．【例10】（2010年一?！の鞒恰の摹ゎ}17）如圖，在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACBC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示．⑴證明：AD平面PBC；⑵求三棱錐DABC的體積；⑶在ACB的平分線上確定一點(diǎn)Q，使得PQ∥平面ABD，并求此時(shí)PQ的長(zhǎng)．3P222D42 2A C

2B

4 4正（主）視圖 側(cè)（左）視圖【例11】（2010年二模·宣武·文·題16）已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓），根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)，⑴求這個(gè)組合體的體積；⑵若組合體的底部幾何體記為ABCDA1B1C1D1，其中A1B1BA為正方形．?。┣笞C：A1B平面AB1C1D；ⅱ）求證：P為棱A1B1上一點(diǎn)，求APPC1的最小值．4121088主視圖左視圖俯視圖D1C1A1B1DCA B【例12】（2010年二模·宣武·理·題 16）已知某個(gè)幾何體的三視圖如圖（主視圖的弧線是半圓） ，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)，⑴求這個(gè)組合體的表面積；⑵若組合體的底部幾何體記為 ABCD A1B1C1D1，其中A1B1BA為正方形．?。┣笞C： A1B 平面AB1C1D；ⅱ）設(shè)點(diǎn)P為棱A1D1上一點(diǎn)，求直線 AP與平面AB1C1D所成角的正弦值的取值范圍．441288

10主視圖 左視圖 俯視圖D1PA1 D B1A B

1C【例13】（2009廣雅期中）已知四棱錐PABCD的三視圖如下圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．PED22C1111主視圖 左視圖 俯視圖A B⑴求四棱錐 P ABCD的體積；⑵是否不論點(diǎn) E在何位置，都有 BD AE？證明你的結(jié)論．【例14】（2009江門市一模）如圖，四棱錐 P ABCD， PAB≌ CBA，在它的俯視圖 ABCD中，BC CD，AD 1， BCD BAD 60．⑴求證： PBC是直角三角形；⑵求四棱錐 P ABC的體積．5PB A(P)B A DDC

C直觀圖 俯視圖【例15】（2009安徽文20）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，直線l與平面ABCD平行，E和F是l上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且EAED，F(xiàn)BFC．E和F是平面ABCD內(nèi)的兩點(diǎn)，EE和FF都與平面ABCD垂直．⑴證明：直線EF垂直且平分線段AD；⑵若EADEAB60，EF2，求多面體ABCDEF的體積．lEFDCE'F'AB【例16】如圖，在矩形ABCD中，AB33，BC3，沿對(duì)角線BD將BCD折起，使點(diǎn)C移到C點(diǎn)，CO⊥面ABD，且O在AB上．⑴求證： BC⊥平面ACD；⑵求點(diǎn)A到平面BCD的距離；⑶求直線AB與平面BCD所成角的正弦值．B A C'(C)B O AC D D6【例17】如圖， ACD和 ABC都是直角三角形， AB BC， CAD 30，把三角形ABC沿AC邊折起，使 ABC所在的平面與 ACD所在的平面垂直，若 AB 6．⑴求證：面 ABD⊥面BCD ；⑵求C點(diǎn)到平面 ABD的距離．BBA CACHDD【例18】（2006江蘇-19）在正 ABC中， E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB CF:FA CP:PB 1:2，將 AEF沿EF折起到 A1EF的位置，使二面角A1 EF B成直二面角，連結(jié) A1B、A1P⑴求證： A1E 平面BEP⑵求直線 A1E與平面A1BP所成角的大?、乔蠖娼?B A1P F的余弦值大?。瓵A1EFB P C

ED FB P C【例19】（07湖南理18）如圖1，E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊AB，CD的中點(diǎn)，G是EF上的一點(diǎn)，將GAB，GCD分別沿AB，CD翻折成G1AB，G2CD，并連結(jié)GG，使得平面GAB⊥平面ABCDGG∥AD，且GG2AD．連結(jié)BG2，121，121如圖2．ADG1G2GFADEEFB圖1CB圖2C⑴證明：平面 G1AB⊥平面G1ADG2；7⑵當(dāng)AB 12，BC 25，EG 8時(shí)，求直線 BG2和平面G1ADG2所成的角；【例20】（2009江西）在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2．以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N．⑴求證：平面 ABM 平面PCD；PMNA DOB C⑵求直線CD與平面ACM所成的角的大?。虎乔簏c(diǎn)N到平面ACM的距離．【例21】（2003京皖春）如圖所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為22，側(cè)棱長(zhǎng)為4．E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EFBDG．⑴求證：平面B1EF平面BDD1B1；⑵求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d；⑶求三棱錐B1EFD1的體積V．D1C1AB11DCAGFEB【例22】（2009揚(yáng)州中學(xué)高三期末）在四棱錐 P ABCD中， ABC ACD 90， BAC CAD 60，PA 平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)， PA 2AB 2．⑴求四棱錐 P ABCD的體積V；⑵若F為PC的中點(diǎn)，求證 PC 平面AEF．8PE FA BD

C【例23】如圖，已知PA⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB2，C是⊙O上一點(diǎn)，且ACBC，PC與⊙O所在的平面成45角，E是PC中點(diǎn)．F為PB中點(diǎn)．⑴求證：EF∥面ABC；⑵求證：EF面PAC；⑶求三棱錐BPAC的體積．PFEA BOC【例24】（05-天津-19）如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，A1ABA1AC，ABAC，A1AA1Ba，側(cè)面B1BCC1與底面ABC所成的二面角為120，E、F分別是棱CB1、AA1的中點(diǎn)．⑴求AA1與底面ABC所成的角；⑵證明： EA1∥平面B1FC；⑶求經(jīng)過(guò) A1、A、B、C四點(diǎn)的球的體積．C1A1EB1FCAB9【例25】（07福建理18）如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．⑴求證：AB1面A1BD；⑵求二面角AA1DB的大??；⑶求點(diǎn)C到平面A1BD的距離；AA1CD C1B B1\【例26】如圖所示，正三棱柱ABCA1B1C1的底邊長(zhǎng)為2，高為4，過(guò)AB作一截面交側(cè)棱CC1于P，截面與底面成60角，⑴求截面PAB的面積；⑵求點(diǎn)C到平面ABP的距離；⑶求PB與平面A1B1BA所成的角的正弦值．C1B1A1PCA B【例27】（05-江西-20）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng)．⑴證明：D1E⊥A1D；⑵當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；⑶AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為π．4D1A1B1C1DABCE10【例28】（2009江西）在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2．以AC的中點(diǎn)O為球心、AC為直徑的球面交PD于點(diǎn)M，交PC于點(diǎn)N．⑴求證：平面ABM平面PCD；⑵求直線CD與平面ACM所成的角的大?。虎乔簏c(diǎn)N到平面ACM的距離．PMNA DOB C【例29】（08北京卷16）如圖，在三棱錐PABC中，ACBC2，ACB90，APBPAB，PCAC．⑴求證：PCAB；⑵求二面角BAPC的大?。虎乔簏c(diǎn)C到平面APB的距離．PDA BC【例30】如圖，四棱錐 P ABCD的底面是 AB 2，BC 2的矩形，側(cè)面 PAB是等邊三角形，且側(cè)面 PAB 底面ABCD．⑴證明： BC 側(cè)面PAB；⑵證明：側(cè)面 PAD⊥側(cè)面PAB；⑶求側(cè)棱 PC與底面ABCD所成角的大小．PB AC D11【例31】如圖，是正四棱錐，ABCDA1B1C1D1是正方體，其中AB2，PA6．PABCD⑴求證：PAB1D1；⑵求平面PAD與平面BDD1B1所成的銳二面角的大??；⑶求B1到平面PAD的距離．PD CA BD1C1A1 B1【例32】如圖所示，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為22，側(cè)棱長(zhǎng)為4．E，F(xiàn)分別為棱AB，BC的中點(diǎn)，EFBDG．⑴求證：平面B1EF平面BDD1B1；⑵求點(diǎn)D1到平面B1EF的距離d；⑶求三棱錐B1EFD1的體積V．D1C1A1B1D CG FA E B【例33】（07福建理18）如圖，正三棱柱ABCA1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1中點(diǎn)．⑴求證：AB1面A1BD；⑵求二面角AA1DB的大??；⑶求點(diǎn)C到平面A1BD的距離；12AA1CD C1B B1【例34】（05-江西-20）如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，點(diǎn)E在棱AD上移動(dòng)．⑴證明：D1E⊥A1D；⑵當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；⑶AE等于何值時(shí)，二面角D1ECD的大小為π．4D1A1B1C1DABCE【例35】已知ABCA1B1C1為正三棱柱，D是AC的中點(diǎn)．⑴證明：AB1∥平面DBC1；⑵若AB1BC1，BC2．①求二面角DBC1C的大?。虎谌鬍為AB1的中點(diǎn)，求三棱錐EBDC1的體積．B1C1A1EOBHCA13【例36】四棱錐P ABCD的底面是邊長(zhǎng)為 a的正方形， PB 平面ABCD．⑴若面PAD與面ABCD所成的二面角為 60，求這個(gè)四棱錐的體積；⑵證明無(wú)論四棱錐的高怎樣變化，二面角 C PD A恒大于90PADC B【例37】（1999全國(guó)-文22）如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，點(diǎn)E在棱DD1上，截面EAC∥D1B，且面EAC與底面ABCD所成的角為45，ABa．⑴求截面EAC的面積；⑵求三棱錐B1EAC的體積．D1C1A1B1EDCOAB【例38】（08遼寧卷19）如圖1，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDABCD中，APBQb0b