2008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理試題（山東卷）（含解析）

PAGEPAGE192008年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學(xué)全解全析第I卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。（1）滿足且的集合的個(gè)數(shù)是2．設(shè)的共軛復(fù)數(shù)是，若，，則等于【標(biāo)準(zhǔn)答案】:D?！驹囶}分析】可設(shè)，由得【高考考點(diǎn)】:共軛復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算?！疽族e(cuò)提醒】:可能在以下兩個(gè)方面出錯(cuò)：一是不能依據(jù)共軛復(fù)數(shù)條件設(shè)簡(jiǎn)化運(yùn)算；二是由只求得【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:理解復(fù)數(shù)基本概念并進(jìn)行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算是復(fù)數(shù)內(nèi)容的基本要求，另外待定系數(shù)法、分母實(shí)數(shù)化等解題技巧也要引起足夠重視。3函數(shù)的圖象是5.已知，則的值是【標(biāo)準(zhǔn)答案】:C?！驹囶}分析】：，，【高考考點(diǎn)】:三角函數(shù)變換與求值。【易錯(cuò)提醒】:不能由得到是思考受阻的重要體現(xiàn)。【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:三角變換與求值主要考查誘導(dǎo)公式、和差公式的熟練應(yīng)用，其間會(huì)涉及一些計(jì)算技巧，如本題中的為需而變。6．如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是【標(biāo)準(zhǔn)答案】:D?！驹囶}分析】：從三視圖可以看出該幾何體是由一個(gè)球和一個(gè)圓柱組合而成的，其表面及為【高考考點(diǎn)】:三視圖與幾何體的表面積?！疽族e(cuò)提醒】:在計(jì)算圓柱的表面積時(shí)往往漏掉上底的面積誤選C?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:課標(biāo)在要求“會(huì)判斷簡(jiǎn)單物體的三視圖”的同時(shí)也提出“能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨飯D形”，當(dāng)然要注意這些基本的幾何體所包括的范圍，要圍繞直棱柱、圓柱、圓錐、球來(lái)組合。7．在某地的奧運(yùn)火炬手傳遞活動(dòng)中，有編號(hào)為的名火炬手。若從中任選3人，則選出的火炬手的編號(hào)能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為【標(biāo)準(zhǔn)答案】:B?！驹囶}分析】：屬于古典概型問(wèn)題，基本事件總數(shù)為。選出火炬手編號(hào)為，時(shí)，由可得4種選法；時(shí)，由可得4種選法；時(shí)，由可得4種選法?！靖呖伎键c(diǎn)】:古典概型【易錯(cuò)提醒】:尋求目標(biāo)事件時(shí)會(huì)出現(xiàn)分類標(biāo)準(zhǔn)不明確導(dǎo)致事件的重復(fù)計(jì)數(shù)，如令則所得編號(hào)就與時(shí)的情形部分重復(fù)。【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:概率的計(jì)算與排列組合知識(shí)有著密切的聯(lián)系，情景設(shè)置極易生活化，需要構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。對(duì)閱讀理解能力要求較高，具有理解新事物處理新信息的能力。8．如圖是根據(jù)《山東統(tǒng)計(jì)年鑒2007》中的資料作成的1997年到2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的莖葉圖，圖中左邊的數(shù)字從左到右分別表示鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的百位數(shù)字和十位數(shù)字，右邊的數(shù)字表示城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的個(gè)位數(shù)字，從圖中可以得到1997年到2006年我省城鎮(zhèn)居民百戶家庭人口數(shù)的平均數(shù)為【標(biāo)準(zhǔn)答案】:B。【試題分析】：【高考考點(diǎn)】:莖葉圖、用樣本數(shù)字特征估計(jì)總體特征?！疽族e(cuò)提醒】:也可以這樣處理數(shù)據(jù)：，由于數(shù)據(jù)過(guò)大可能結(jié)果算錯(cuò)，或?qū)ηo葉圖的特點(diǎn)不熟悉致錯(cuò)?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:會(huì)畫莖葉圖，能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)），并給出合理的解釋．9．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為【標(biāo)準(zhǔn)答案】:C?！驹囶}分析】：【高考考點(diǎn)】:二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用【易錯(cuò)提醒】:在求通項(xiàng)時(shí)對(duì)計(jì)算可能出現(xiàn)失誤?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:二項(xiàng)式定理的考查主要集中于通項(xiàng)公式的應(yīng)用，熱點(diǎn)是常數(shù)項(xiàng)和某一項(xiàng)的系數(shù)，并且要把它與二項(xiàng)式系數(shù)區(qū)別開來(lái)。10．設(shè)橢圓的離心率為，焦點(diǎn)在軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26，若曲線上的點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值等于8，則曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【標(biāo)準(zhǔn)答案】:A。【試題分析】：對(duì)于橢圓，曲線為雙曲線，，標(biāo)準(zhǔn)方程為：【高考考點(diǎn)】:橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程【易錯(cuò)提醒】:混淆兩類曲線方程中的的關(guān)系?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:雙曲線內(nèi)容在新課標(biāo)中作了淡化處理，2008年山東考試說(shuō)明中明確提出了“了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道它的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”，要從原來(lái)的繁難中解脫出來(lái)：定義應(yīng)用為主，輔以簡(jiǎn)單性質(zhì)，結(jié)合圖形特點(diǎn)，適度強(qiáng)化運(yùn)算，解答題在試卷中已經(jīng)很難見到蹤影。11．已知圓的方程為，設(shè)該圓過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為，則四邊形的面積為【標(biāo)準(zhǔn)答案】:B?！驹囶}分析】：，過(guò)點(diǎn)的最長(zhǎng)弦為最短弦為【高考考點(diǎn)】:直線與圓的位置關(guān)系【易錯(cuò)提醒】:不能發(fā)現(xiàn)最長(zhǎng)弦最短弦與已知點(diǎn)和圓心的位置關(guān)系，對(duì)角線互相垂直的四邊形面積公式用錯(cuò)誤選D。【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:把圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程有時(shí)是解決圓問(wèn)題的必經(jīng)之路，當(dāng)確定了直線與圓的位置關(guān)系后，必須關(guān)注弦心距、半徑、半弦構(gòu)成的直角三角形。12設(shè)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)?，使函?shù)的圖象過(guò)區(qū)域的的取值范圍是【標(biāo)準(zhǔn)答案】:C?！驹囶}分析】如圖陰影部分為平面區(qū)域M，顯然，只需要研究過(guò)、兩種情形。且即【高考考點(diǎn)】:線性規(guī)劃與指數(shù)函數(shù)【易錯(cuò)提醒】:對(duì)可行域中的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)不能與指數(shù)函數(shù)的圖像的走向相聯(lián)系而在點(diǎn)上作過(guò)多“糾纏”。【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:本題考查不等式所表示平面區(qū)域的作圖、識(shí)圖與目標(biāo)函數(shù)的確定。以往研究的函數(shù)多為線性問(wèn)題，這里巧妙地與指數(shù)函數(shù)結(jié)合在一起，使問(wèn)題新穎別致。在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)要注意多方面聯(lián)系，多角度思考，使問(wèn)題更呈現(xiàn)交匯性。第II卷（共90分）二、填空題：本大題共4小題，共16分13．執(zhí)行程序框圖，若，則輸出的【標(biāo)準(zhǔn)答案】:4。【試題分析】：，因此輸出【高考考點(diǎn)】:程序框圖【易錯(cuò)提醒】:沒(méi)有注意到控制變量在之后誤填3?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:理解程序框圖的順序、條件、循環(huán)三種基本邏輯結(jié)構(gòu)，尤其要注意循環(huán)結(jié)構(gòu)中的循環(huán)體和控制變量的作用。14．設(shè)函數(shù)，若，，則的值為【試題分析】：，，，【高考考點(diǎn)】:解三角形【易錯(cuò)提醒】:的坐標(biāo)運(yùn)算與的坐標(biāo)表示混淆，利用正弦定理時(shí)右邊忘記轉(zhuǎn)化為，求出這一錯(cuò)誤結(jié)果使解題陷入困境?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:解三角形中經(jīng)常出現(xiàn)求角的三角函數(shù)值問(wèn)題，由于新課標(biāo)中淡化了三角和差化積、積化和差公式的應(yīng)用，且公式不要求記憶就很難及時(shí)想到利用它，自然形成了思維障礙.因此把三角函數(shù)的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從邊入手，能夠帶來(lái)意想不到的效果。當(dāng)然正、余弦定理“功不可沒(méi)”。可作如下轉(zhuǎn)化：，16．若不等式的解集中的整數(shù)有且僅有1，2，3，則的取值范圍是三、解答題：本大題共6小題，共74分。17（本題滿分12分）已知為偶函數(shù)，且函數(shù)圖象的兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為（I）求的值；（II）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間?！緲?biāo)準(zhǔn)答案】:（I）。因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以對(duì)恒成立，因此，即。由題意得，（II）將的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，當(dāng)即單調(diào)遞減。因此的單調(diào)遞減區(qū)間為【試題分析】：通過(guò)三角變換將含有正、余弦差的函數(shù)化為正弦型函數(shù)，然后借助函數(shù)的奇偶性定義確定參數(shù)得到具體函數(shù)，代入求得函數(shù)值；第二問(wèn)可依下面的順序作變換：【高考考點(diǎn)】:的圖像、性質(zhì)及變換?！疽族e(cuò)提醒】:由奇函數(shù)定義得到這個(gè)等式后不能有效轉(zhuǎn)化成，“逼出”的取值。對(duì)于求單調(diào)遞減區(qū)間時(shí)出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤或?qū)忣}不細(xì)求了單調(diào)遞增區(qū)間、漏寫等情形。【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:設(shè)置三角函數(shù)單調(diào)性奇偶性對(duì)稱性問(wèn)題來(lái)考查三角恒等變換能力和三角函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用是高考的?？键c(diǎn)，求解時(shí)應(yīng)先化為正弦形函數(shù)，在處理函數(shù)圖象變換時(shí)還要注意兩種不同的變換途徑：1）先周期變換再相位變換；2）先相位變換再周期變換。18（本小題滿分12分）甲、乙兩隊(duì)參加奧運(yùn)知識(shí)競(jìng)賽，每隊(duì)3人，每人回答一個(gè)問(wèn)題，答對(duì)者為本隊(duì)贏得一分，答錯(cuò)得零分。假設(shè)甲隊(duì)中每人答對(duì)的概率均為乙隊(duì)中3人答對(duì)的概率分別為且個(gè)人回答正確與否相互之間沒(méi)有影響。用表示甲隊(duì)的總得分。（I）求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（II）用表示“甲、乙兩個(gè)隊(duì)總得分之和等于3”這一事件，用表示“甲隊(duì)總得分大于乙隊(duì)總得分”這一事件，求【標(biāo)準(zhǔn)答案】（I）由題意知，的可能取值為且所以的分布列為的數(shù)學(xué)期望為（II）用表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用表示“甲得3分乙得0分”這一事件，互斥?！驹囶}分析】：本題考查概率統(tǒng)計(jì)的主干知識(shí)：分布列、數(shù)學(xué)期望和分布類型的識(shí)別。除上述方法外還可以通過(guò)簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程?！靖呖伎键c(diǎn)】:概率、分布例與數(shù)學(xué)期望【易錯(cuò)提醒】:在求時(shí)不能對(duì)目標(biāo)事件分成兩個(gè)互斥事件的和，容易出現(xiàn)交叉?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:處理復(fù)雜的概率問(wèn)題的基本思想是先分清事件的構(gòu)成及概率的轉(zhuǎn)化，利用事件的內(nèi)在聯(lián)系，促成復(fù)雜事件的概率問(wèn)題向簡(jiǎn)單概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化，期間要涉及到分類討論、正難則反、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想。19．（本小題滿分12分）將數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成下表：……記表中的第一列數(shù)、、、……構(gòu)成的數(shù)列為，，為數(shù)列的前項(xiàng)和，且滿足（I）證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列，且公比為同一個(gè)正數(shù)，當(dāng)時(shí)，求上表中第行所有項(xiàng)的和?！緲?biāo)準(zhǔn)答案】:（I）證明：當(dāng)時(shí)，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列。所以時(shí)因此（II）設(shè)上表中從第三行起，每行的公比都為，且表中到12行尾共含數(shù)列的前78項(xiàng)，是表中第13行第三列，，記表中第行所有項(xiàng)的和為，則【試題分析】：由于證明是等差數(shù)列，必為常數(shù)，通過(guò)變形實(shí)現(xiàn)。確定的準(zhǔn)確位置是關(guān)鍵利用該項(xiàng)可以求出等比數(shù)列的公比，也為求第行所有項(xiàng)的和提供了依據(jù)?！靖呖伎键c(diǎn)】:等差數(shù)列的證明、等比數(shù)列的前項(xiàng)和。【易錯(cuò)提醒】:忽視的前提條件，在求時(shí)對(duì)的情形不討論?！緦W(xué)科網(wǎng)備考提示】:陌生的問(wèn)題情景、大量的信息可能使思路擁塞，要能夠從所給的大量信息中分揀提煉最先需要的關(guān)鍵信息，使解決數(shù)列問(wèn)題更有層次感。20（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，平面，，分別是的中點(diǎn)。（I）證明：；（II）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值?！緲?biāo)準(zhǔn)答案】:（I）證明：為菱形且，可知為正三角形，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面（II）設(shè)連結(jié)平面為與平面所成的角，當(dāng)時(shí)，最大，由（I）知兩兩垂直，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，，可取平面，為平面的一個(gè)法向量，且因?yàn)闉殇J角，所以所求二面角的余弦值為【試題分析】：確定點(diǎn)的位置是關(guān)鍵，當(dāng)時(shí)，最大。求二面角時(shí)可以利用二面角的概念正確作出平面角進(jìn)行論證求解，也可以利用向量方法將“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”。為了便于計(jì)算可設(shè)菱形邊長(zhǎng)為2?！靖呖伎键c(diǎn)】:垂直關(guān)系的證明與二面角的求解?！疽族e(cuò)提醒】:點(diǎn)的位置判斷錯(cuò)誤，誤選為坐標(biāo)軸，不能準(zhǔn)確表述二面角是兩個(gè)法向量所成的角或其補(bǔ)角。【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:底面是菱形提供了垂直關(guān)系的相關(guān)信息，這一點(diǎn)還是比較明顯的，但也有一些幾何體的底面在發(fā)掘有用信息方面就很困難，尤其建立空間坐標(biāo)系時(shí)找不到“落腳”的地方，底面上一些點(diǎn)的坐標(biāo)難以迅速求得。另外從探索解題思路的策略上來(lái)看,垂直往往是關(guān)鍵的“題眼”,需要我們將其放在優(yōu)先考慮的地位.1)面對(duì)多個(gè)條件,不妨優(yōu)先選擇使用垂直的條件;2)構(gòu)造輔助線,不妨優(yōu)先作出垂直的輔助線(或面);3)對(duì)于位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化,不妨優(yōu)先使用垂直關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化.21（本題滿分12分）已知函數(shù)其中為常數(shù)。（I）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（II）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有【標(biāo)準(zhǔn)答案】:（I）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)1）當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增。2）當(dāng)時(shí)恒成立，無(wú)極值?？v上可知時(shí)，當(dāng)時(shí)在處取得極小值為當(dāng)時(shí)無(wú)極值。（II）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒有，故只需證。令，，故在上單調(diào)遞增，即在上恒成立，而恒成立，因此，當(dāng)時(shí)，恒有【試題分析】：第一問(wèn)對(duì)討論時(shí)要注意一些顯而易見的結(jié)果，當(dāng)時(shí)恒成立，無(wú)極值。第二問(wèn)需要對(duì)構(gòu)造的新函數(shù)進(jìn)行“常規(guī)處理”，即先證單調(diào)性，然后求最值，最后作出判斷。【高考考點(diǎn)】:導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、構(gòu)造函數(shù)證明不等式【易錯(cuò)提醒】:沒(méi)有注意該函數(shù)定義域?qū)?wèn)題的影響，分類討論無(wú)目標(biāo)，判斷的正負(fù)漏掉符號(hào)。【學(xué)科網(wǎng)備考提示】:函數(shù)類問(wèn)題的解題方法要內(nèi)悟、歸納、整理，使之成為一個(gè)系統(tǒng)，在具體運(yùn)用時(shí)自如流暢，既要具有一定的思維定向，也要謹(jǐn)防盲目套用。此類問(wèn)題對(duì)轉(zhuǎn)化能力要求很高，不能有效轉(zhuǎn)化是解題難以突破的主要原因，要善于構(gòu)造函數(shù)證明不等式，從而體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)的工具性。22（本小題滿分14分）如圖，設(shè)拋物線方程為為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為（I）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（II）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求此時(shí)拋物線的方程；（III）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。【標(biāo)準(zhǔn)答案】:（I）證明：由題意設(shè)，，，所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。（II）解：由（I）知，所以是方程的兩根，或因此所求拋物線方程為或（III）解：設(shè)由題意得，則中點(diǎn)坐標(biāo)為（2）對(duì)于，，則與軸平行，而直線不垂直矛盾。綜上可知，僅存在一點(diǎn)適合題意。【試題分析】：（I）設(shè)要“千方百計(jì)”求得；（II）利用弦長(zhǎng)公式求的關(guān)于的關(guān)系式，