高中數學空間點、直線、平面之間的位置關系

平面． 空間中直線與直線之間的位置關系知識導圖學法指導圖形語言表示點、直線、平面之間的位置關系時，一定要注意實線與虛線的區(qū)別．．學會用自然語言、符號語言描述四個公理的條件及結論，明確四個公理各自的作用．．要理解異面直線的概念中“不同在任何一個平面內”的含義，即兩條異面直線永不具備確定平面的條件．．判斷異面直線時，要更多地使用排除法和反證法．．作異面直線所成的角時，注意先選好特殊點，再作平行線．高考導航平面及其基本性質是后面將要學習的內容的基礎和證明的依據，需要牢固掌握，但高考中很少單獨考查．．高考經?？疾閮蓷l直線位置關系的判定和公理

的應用，常以選擇題、填空題的形式出現，有時也以解答題某一問的形式出現，分值

～

分．．求異面直線所成的角，常與正、余弦定理必修

中學習綜合考查，對于理科考生還需要掌握用空間向量法選修

－

中學習求角的大?。?/p>

獨立考查該知識的試題不多，有時以選擇題、填空題的形式出現，有時以解答題的形式出現一般作為第一問，分值

～

分．第

課時 平面知識點一 平面概念

幾何里所說的“平面”是從生活中的一些物體中抽象出來的，是無限延展的畫法 ，且橫邊長等于鄰邊長的

倍，為了增強立體感，被遮擋部分用虛線畫出來一個希臘字母：如α，β，γ

等；表示 方法 個頂點；．平面和點、直線一樣，是只描述而不加定義的原始概念，不能進行度量；．平面無厚薄、無大小，是無限延展的．直線在平面內的概念如果直線

l

上的所有點都在平面α

內，就說直線l

在平面

α

內，或者說平面

α

經過直線

l一些文字語言、數學符號與圖形的對應關系數學符號表示

文字語言表達

圖形語言表達∈l 點

在直線

l

上?l∈α?α

點

在直線

l

外點

在平面

α

內點

在平面

α

外l?αl?αl∩m＝α∩β＝l

直線

l

在平面

α

內直線

l

在平面

α

外直線

l，m

相交于點β平面

α，

相交于直β線

l知識點二 平面的基本性質公理 內容 圖形 符號如果一條直線上的公理

兩點在一個平面內，

∈l，∈l

且

∈α，那么這條直線在此

∈α?l?α平面內過不在同一條直線 ，，

三點不共線公理

?存在唯一的平面α一個平面 使

，，∈α如果兩個不重合的平面有一個公共點，公理 那么它們有且只有一條過該點的公共

P∈α且P∈β?α∩β＝l

且

P∈l直線公理

的作用：①用直線檢驗平面常被應用于實踐，如泥瓦工用直的木條刮平地面上的水泥漿經常被用于立體幾何的說理中．．公理

的作用：①確定平面；②證明點、線共面．公理

中要注意條件“不在同一條直線上的三點”，事實上，共線的三點是不能確定一個平面的．同時要注意經過一點、兩點或在同一條直線上的三此，要充分重視“不在同一條直線上的三點”這一條件的重要性．．公理

的主要作用：①判定兩個平面是否相交；②證明共線問題；③證明線共點問題.公理

3

強調的是兩個不重合的平面，只要它們有公共點，其交集就是一條直線．以后若無特別說明，“兩個平面”是指不重合的兩個平面．小試身手．判斷下列命題是否正確.

正確的打“√”，錯誤的打“×”空間不同三點確定一個平面． 空間兩兩相交的三條直線確定一個平面． 和同一直線都相交的三條平行線在同一平面內． ☆答案☆：× × √．經過空間任意三點作的平面 A．只有一個 B．只有兩個．有無數個 ．只有一個或有無數個解析：當三點共線時，可作無數個平面；當三點不共線時，只能作一個平面．☆答案☆：．如果?α，b?α，l∩＝，l∩b＝，那么下列關系成立的是 A．l?α B．l?α．l∩α＝ ．l∩α＝解析：∵l∩＝

又

?α，∴∈l

且

∈α.同理

∈l

且

∈α.∴l(xiāng)?α.☆答案☆：A

、、

、

A．、、、

四點中必有三點共線B．、、、

四點中不存在三點共線．直線

與

相交．直線

與

平行解析：、、、

四點中若有三點共線，則必與另一點共面；直線

與

既不平行也不相交，否則

、、、

共面．☆答案☆：B類型一 平面,例

面圖形都可以表示平面；③平面

的面積為

；④空間圖形中，后引的輔助線都是虛線．其中正確的說法的序號為________．【解析】

面是無限延展的，不計大小，不計面積，而平行四邊形是平面的一部分，它是不能無限延展的．另外，在空間圖形中，我們一般把能看得見的線畫成實線，把被面遮住看不見的線畫成虛線，目的是增強立體感，同幾何體的三視圖的畫法類似，后引的輔助線也是如此，這與平面幾何是有區(qū)別的．有時，根據具體的情況，可以用其他的平面圖形，①③④錯誤，②正確．故填②.【☆答案☆】 ②平面是從現實中抽象出來的，它具有無限延展性，無比平整性、無大小、無輕重、無厚薄，平面和平面圖形是完全不同的兩個概念．方法歸納平面畫法的四個關注點①通常畫的平行四邊形表示的是整個平面．需要時，可以把它延展開來，如同在平面幾何中畫直線一樣，直線是可以無限延伸的，但在畫直線時卻只畫一條線段無端點來表示．②加“通?！倍值囊馑际且驗橛袝r根據需要也可用其他平面圖形表示，如用三角形、矩形、圓等平面圖形來表示平面．③成鄰邊的兩倍．④畫表示豎直平面的平行四邊形時，通常把它的一組對邊畫成鉛垂線．跟蹤訓練

如圖所示的兩個相交平面，其中畫法正確的是 解析：對于①，圖中沒有畫出平面

α

與平面

β

的交線，另外圖中的實線、虛線也沒有按照畫法原則去畫，因此①的畫法不正確．同樣的道理，可知②③的畫法不正確，④中畫法正確．☆答案☆：④利用平面的概念及平面的畫法進行判斷．類型二 文字語言、圖形語言、符號語言的轉化例

根據下列符號表示的語句，說明點、線、面之間的位置關系，并畫出相應的圖形：①∈α，?α；②∈α，m∩α＝，?l，l?α；③P∈l，P?α，∈l，∈α；用符號語言表示下列語句，并畫出圖形：①三個平面

α，β，γ

相交于一點

P，且平面α

與平面

β

相交于

，平面

α

與平面

γ

相交于

，平面

β

與平面

γ

相交于

PC；②平面

與平面

相交于

，平面

與平面

相交于

.【解析】 ①點

在平面

α

內，點

不在平面

α

內；②直線

l

在平面

α

內，直線

m

與平面

α

相交于點

，且點

不在直線

l

上；③直線

l

經過平面

α

外一點

P

和平面

α

內一點

.圖形分別如圖①②③所示．①符號語言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝PC.圖形表示如圖④所示．②符號語言表示：平面

∩平面

＝，平面

∩平面＝.圖形表示如圖⑤所示.lA∈α，

?α”中

A

視為平面

α(集合內的l點元素，l(集合視為平面

α(集合內的直線子集．方法歸納用文字語言、符號語言表示一個圖形時，首先仔細觀察圖形有幾個平面、幾條直線且相互之間的位置關系如何，試著先用文字語言表示，再用符號語言表示．要注意符號語言的意義，如點與直線的位置關系只能用“∈”或“?”表示；直線與平面的位置關系只能用“?”或“?”表示．根據已知符號語言或文字語言畫相應的圖形時，要注意實線和虛線的區(qū)別．跟蹤訓練

根據如圖所示，在橫線上填入相應的符號或字母：________平面，________平面，________平面，平面

∩平面

＝________.☆答案☆：∈ ? ? 根據符號的含義進行判斷或轉化

.類型三 平面性質的應用例

如圖，

在平面

α

外，∩α＝P，∩α＝，∩α＝.求證：P，，

三點共線．【證明】 方法一 ∵∩α＝P，∴P∈，P∈α.又

?平面

，∴P∈平面

.由公理

可知點

P

在平面

與平面

α

的交線上，同理可證

，

也在平面

與平面

α

的交線上，∴P，，

三點共線．方法二 ∵∩＝，∴直線

與直線

確定平面

.又

∩α＝P，∩α＝，∴平面

∩α＝. ∴∵∈平面

，∈平面

，

?平面

.∵∈，∴ ∴平面

，又

∈α，∴∈，∴P，，

三點共線.證明三點共線，可以證明三點都在兩平面的交線上或第三點在兩點所確定的直線上．方法歸納證明三線共點常用的方法是先說明兩條直線共面且相交于一點，然后說明這個點在以另一條直線為交線的兩個平面內，即該點在另一條直線上，則可得三線共點．證明點、線共面問題的理論依據是公理

和公理

，常用方法有：①先由部分點、線確定一個面，再證其余的點、線都在這個平面內，即用“納入平面法”；②

α平面

β，再證平面

α

與

β

重合，即用“輔助平面法”；③假設不共面，結合題設推出矛盾，用“反證法”．跟蹤訓練

如圖，三個平面

α、β、γ

兩兩相交，α∩β＝，β∩γ＝，γ∩α＝b，若直線

和

b

不平行，求證：，b，

三條直線必過同一點．證明：∵α∩γ＝b，β∩γ＝，∴?γ，b?γ，∵

與

b

不平行，∴與

b

必相交，設

∩b＝P，則

P∈，P∈b，∵?β，b?α，∴P∈β，P∈α.又

α∩β＝，∴P∈，即交線

經過點

P.∴、b、

三條直線相交于同一點．,證明三線共點的基本方法是先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點，再證明第三條直線也過該點.

常結合公理

，證明該點在不重第三條直線共點.基礎鞏固

分鐘，

分一、選擇題每小題

分，共

分．若點

M

在直線

上，

在平面

α

內，則

M，，α

間的關系可記為 A．M∈，∈α B．M∈，?α．M?，?α ．M?，∈α解析：根據點與直線、直線與平面之間位置關系的符號表示，可知

B

正確．☆答案☆：B．給出下面四個命題：①三個不同的點確定一個平面；②一條直線和一個點確定一個平面；③空間兩兩相交的三條直線確定一個平面；④兩條平行直線確定一個平面．其中正確的命題是 A．① B．②．③ ．④解析：對于①，三個不共線的點確定一個平面，故錯；對于②，一條直線和直線外一個點確定一個平面，故錯；對于③，空間兩兩相交的三條直線，且不能交于同一點，確定一個平面，故錯；對于

④，兩條平行直線確定一個平面，正確．☆答案☆：．下面空間圖形畫法錯誤的是 解析：畫立體圖時，被平面遮住的部分畫成虛線或不畫．☆答案☆：．給出以下四個命題：①不共面的四點中，其中任意三點不共線；②若點

，，，

共面，點，，，E

共面，則點，，，，E

共面；③若直線

，b

共面，直線

，

共面，則直線

b，

共面；④依次首尾相接的四條線段必共面．其中正確命題的個數是 A． B．． ．解析：①假設其中有三點共線，則該直線和直線外的另一點確定一個平面，這與四點不共面矛盾，故其中任意三點不共線，所以

①正確；②如圖，兩個相交平面有三個公共點，，，但，，，，E

不共面；③顯然不正確；④可以不在一個平面上，如空間四邊形．☆答案☆：B

，，，

上分別取

E，F，，

四點，如果

，EF

交于一點

P，則 A．P

一定在直線

上B．P

一定在直線

上．P

在直線

或

上．P

既不在直線

上，也不在

上解析：由題意知

?平面

.因為

，EF

交于一點

P，所以P∈平面

.同理，P∈平面

.因為平面

∩平面

＝公理

可知點

P

一定在直線

上．☆答案☆：B二、填空題每小題

分，共

分．設平面α

與平面

β

相交于直線

l，直線?α，直線b?β，∩b＝M，則點

M

與

l

的位置關系為________．解析：因為

∩b＝M，?α，b?β，所以

M∈α，M∈β.又平面

α與平面

β

相交于直線

l，所以點

M

在直線

l

上，即

M∈l.☆答案☆：M∈l②三條兩兩相交的直線在同一平面內；③有三個不同公共點的兩個平面重合；④兩兩平行的三條直線確定三個平面．其中正確命題的個數是________．解析：空間中和一條直線都相交的兩條直線不一定在同一平面內，故①錯；若三條直線相交于一點時，不一定在同一平面內，如長方體一角的三條線，故②錯；若兩平面相交時，也可有三個不同的公共點，故③錯；若三條直線兩兩平行且在同一平面內，則只有一個平面，故④錯．☆答案☆：．把下列符號敘述所對應的圖形的序號填在題后的橫線上：?α，?α：________.α∩β＝，P?α，且

P?β：________.?α，∩α＝：________.α∩β＝，α∩γ＝，β∩γ＝b，∩b∩＝：________.☆答案☆：③ ④ ① ②三、解答題每小題

分，共

分．完成下列各題：將下列文字語言轉換為符號語言．①點

在平面

α

內，但不在平面

β

內；②直線

經過平面

α

外一點

M；③直線

l

在平面

α

內，又在平面

β

內即平面

α

和平面

β

相交于直線

l．將下列符號語言轉換為圖形語言．①?α，b∩α＝，?；②α∩β＝，?α，b?β，∥，b∩＝P.解析：①∈α，?β.②M∈，M?α.③α∩β＝l.①同理，EF?同理，EF?平面

，∴∈平面

，又∵平面

∩平面

＝，

－

M、N、E、F

分別是棱

、、、上的點，若MN

與

EF

交于點

，求證：、、

三點共線．證明：∵MN∩EF＝，∴∈直線

MN，∈直線

EF，N∵M∈直線

，

∈直線

，?平面

，?平面

，N∴M、N∈平面

，∴MN?平面

，∴∈平面

. ∴∈直線

，即

，，

三點