2022-2023學(xué)年山西省古縣等三縣八校高三二診模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，則集合真子集的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．82．已知函數(shù),則函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．3．將函數(shù)f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，給出下列關(guān)于g(x)的結(jié)論：①它的圖象關(guān)于直線x=對(duì)稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)稱；④它在[]上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④4．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．55．若函數(shù)的定義域?yàn)镸＝{x|－2≤x≤2}，值域?yàn)镹＝{y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．6．已知向量，，且與的夾角為，則x=（）A．-2 B．2 C．1 D．-17．已知，則“m⊥n”是“m⊥l”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，又稱“趙爽弦圖”（以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的，如圖（1）），類比“趙爽弦圖”，可類似地構(gòu)造如圖（2）所示的圖形，它是由個(gè)全等的三角形與中間的一個(gè)小正六邊形組成的一個(gè)大正六邊形，設(shè)，若在大正六邊形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小正六邊形的概率為（）A． B．C． D．9．雙曲線的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．10．已知圓M:x2+y2-2ay=0a>0截直線x+y=0A．內(nèi)切 B．相交 C．外切 D．相離11．《周易》是我國(guó)古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬(wàn)象變化．如圖是一個(gè)八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個(gè)爻組成，其中“”表示一個(gè)陽(yáng)爻，“”表示一個(gè)陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個(gè)爻中恰有兩個(gè)陽(yáng)爻的概率為（）A． B． C． D．12．集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在和上均單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______．14．?dāng)?shù)列滿足，則，_____.若存在n∈N*使得成立，則實(shí)數(shù)λ的最小值為_(kāi)_____15．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，且，則公比的值為_(kāi)____.16．若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）據(jù)《人民網(wǎng)》報(bào)道，美國(guó)國(guó)家航空航天局（NASA）發(fā)文稱，相比20年前世界變得更綠色了，衛(wèi)星資料顯示中國(guó)和印度的行動(dòng)主導(dǎo)了地球變綠.據(jù)統(tǒng)計(jì)，中國(guó)新增綠化面積的來(lái)自于植樹(shù)造林，下表是中國(guó)十個(gè)地區(qū)在去年植樹(shù)造林的相關(guān)數(shù)據(jù).（造林總面積為人工造林、飛播造林、新封山育林、退化林修復(fù)、人工更新的面積之和）單位：公頃地區(qū)造林總面積造林方式人工造林飛播造林新封山育林退化林修復(fù)人工更新內(nèi)蒙61848431105274094136006903826950河北5833613456253333313507656533643河南14900297647134292241715376133重慶2263331006006240063333陜西297642184108336026386516067甘肅325580260144574387998新疆2639031181056264126647107962091青海178414160511597342629寧夏91531589602293882981335北京1906410012400039991053（1）請(qǐng)根據(jù)上述數(shù)據(jù)分別寫(xiě)出在這十個(gè)地區(qū)中人工造林面積與造林總面積的比值最大和最小的地區(qū)；（2）在這十個(gè)地區(qū)中，任選一個(gè)地區(qū)，求該地區(qū)新封山育林面積占造林總面積的比值超過(guò)的概率；（3）在這十個(gè)地區(qū)中，從退化林修復(fù)面積超過(guò)一萬(wàn)公頃的地區(qū)中，任選兩個(gè)地區(qū)，記X為這兩個(gè)地區(qū)中退化林修復(fù)面積超過(guò)六萬(wàn)公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.18．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點(diǎn).（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.19．（12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，的直線的距離為．（Ⅰ）求橢圓的離心率；（Ⅱ）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．20．（12分）已知矩陣的逆矩陣.若曲線：在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求曲線的方程.21．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和22．（10分）某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對(duì)價(jià)格y(千克/噸)和利潤(rùn)z的影響，對(duì)近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表：x12345y17.016.515.513.812.2（1）求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元，假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出，預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí)，年利潤(rùn)w取到最大值？參考公式：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

解出集合，再由含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)可得答案.【詳解】解：由，得所以集合的真子集個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C【點(diǎn)睛】此題考查利用集合子集個(gè)數(shù)判斷集合元素個(gè)數(shù)的應(yīng)用，含有個(gè)元素的集合，其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

用排除法，通過(guò)函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像.【詳解】設(shè)，由于，排除B選項(xiàng)；由于，所以，排除C選項(xiàng)；由于當(dāng)時(shí)，，排除D選項(xiàng).故A選項(xiàng)正確.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題.3、B【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求出函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)閒(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數(shù)g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對(duì)稱軸，故①錯(cuò)誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，1)對(duì)稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯(cuò)誤；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等性質(zhì)；考查運(yùn)算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性和最小正周期等相關(guān)性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、?？碱}型4、C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模5、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象，即可排除；對(duì)B滿足函數(shù)定義，故符合；對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況，不符合函數(shù)的定義，從而可以否定；對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒(méi)有原象，故可否定．故選B．6、B【解析】

由題意，代入解方程即可得解.【詳解】由題意，所以，且，解得.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

構(gòu)造長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，然后再在這兩個(gè)面中根據(jù)題意恰當(dāng)?shù)倪x取直線為m，n即可進(jìn)行判斷．【詳解】如圖，取長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α為面ADD1A1，底面ABCD為β，直線=直線。若令A(yù)D1＝m，AB＝n，則m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直線m垂直于平面β，所以m垂直于平面β內(nèi)的任意一條直線∴m⊥n是m⊥的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)有兩個(gè)：①考查了充分必要條件的判斷，在確定好大前提的條件下，從m⊥n?m⊥？和m⊥?m⊥n？?jī)煞矫孢M(jìn)行判斷；②是空間的垂直關(guān)系，一般利用長(zhǎng)方體為載體進(jìn)行分析．8、D【解析】

設(shè)，則，小正六邊形的邊長(zhǎng)為，利用余弦定理可得大正六邊形的邊長(zhǎng)為，再利用面積之比可得結(jié)論.【詳解】由題意，設(shè)，則，即小正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以，，，在中，由余弦定理得，即，解得，所以，大正六邊形的邊長(zhǎng)為，所以，小正六邊形的面積為，大正六邊形的面積為，所以，此點(diǎn)取自小正六邊形的概率.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查余弦定理、幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)，再利用，求出點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因?yàn)?，即可得到，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問(wèn)題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．10、B【解析】化簡(jiǎn)圓M:x2+(y-a)2=a又N(1,1),r11、C【解析】

分類討論，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦中取一個(gè)，再取沒(méi)有陽(yáng)爻的坤卦，計(jì)算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個(gè)陽(yáng)爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個(gè)陽(yáng)爻的有巽、離、兌三卦，沒(méi)有陽(yáng)爻的是坤卦，此時(shí)取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，計(jì)算可得；【詳解】解：集合含有個(gè)元素，則集合的真子集有（個(gè)），故選：C【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義，集合元素的概念，以及真子集的概念，對(duì)于含有個(gè)元素的集合，有個(gè)子集，有個(gè)真子集，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

化簡(jiǎn)函數(shù)，求出在上的單調(diào)遞增區(qū)間，然后根據(jù)在和上均單調(diào)遞增，列出不等式求解即可．【詳解】由知，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞增，在和上均單調(diào)遞增，，

，

的取值范圍為：．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性列出關(guān)于m的方程組，屬中檔題．14、【解析】

利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，將不等式分離常數(shù)，利用商比較法求得的最小值，由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)兩式相減得所以當(dāng)時(shí)，滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得，設(shè)，所以，即，所以單調(diào)遞增，的最小項(xiàng)，即有的最小值為.故答案為：(1).(2).【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，考查不等式成立的存在性問(wèn)題的求解策略，屬于中檔題.15、【解析】

將已知由前n項(xiàng)和定義整理為，再由等比數(shù)列性質(zhì)求得公比，最后由數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，舍根得解.【詳解】因?yàn)榧从值缺葦?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，故故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查在等比數(shù)列中由前n項(xiàng)和關(guān)系求公比，屬于基礎(chǔ)題.16、-1【解析】

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】由約束條件作出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，由得即，則有最大值，故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省；（2）；（3）分布列見(jiàn)詳解，數(shù)學(xué)期望為【解析】

（1）通過(guò)數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算人工造林面積與造林總面積比值，可得結(jié)果.（2）通過(guò)數(shù)據(jù)的觀察以及計(jì)算新封山育林面積與造林總面積比值，得出比值超過(guò)的地區(qū)個(gè)數(shù)，然后可得結(jié)果.（3）計(jì)算退化林修復(fù)面積超過(guò)一萬(wàn)公頃的地區(qū)中選兩個(gè)地區(qū)總數(shù)，退化林修復(fù)面積超過(guò)六萬(wàn)公頃的地區(qū)的個(gè)數(shù)為，列出所有取值并計(jì)算相應(yīng)概率，然后可得結(jié)果.【詳解】（1）人工造林面積與總面積比最大的地區(qū)為甘肅省，人工造林面積與總面積比最小的地區(qū)為青海省.（2）記事件A：在這十個(gè)地區(qū)中，任選一個(gè)地區(qū)，該地區(qū)新封山育林面積占總面積的比值超過(guò)根據(jù)數(shù)據(jù)可知：青海地區(qū)人工造林面積占總面積比超過(guò)，則（3）退化林修復(fù)面積超過(guò)一萬(wàn)公頃有6個(gè)地區(qū)：內(nèi)蒙、河北、河南、重慶、陜西、新疆，其中退化林修復(fù)面積超過(guò)六萬(wàn)公頃有3個(gè)地區(qū)：內(nèi)蒙、河北、重慶，所以X的取值為0，1，2所以，，隨機(jī)變量X的分布列如下：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)據(jù)的處理以及離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，審清題意，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.18、（1）（2）（3）直線平面，證明見(jiàn)解析【解析】

取中點(diǎn)，連接，則，再由已知證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量．（1）求出的坐標(biāo)，由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的一個(gè)法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）求出的坐標(biāo)，由，結(jié)合平面，可得直線平面．【詳解】底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為等邊三角形．取中點(diǎn)，連接，則，為等邊三角形，，又平面平面，且平面平面，平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，，，．，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為．由，取，得．（1）證明：設(shè)直線與平面所成角為，，則，即直線與平面所成角的正弦值為；（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得二面角的余弦值為；（3），，又平面，直線平面．【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）依題意，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，又有，聯(lián)立可求離心率；（2）由（1）設(shè)橢圓方程，再設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得，令，可得，即得橢圓方程.試題解析：（Ⅰ）過(guò)點(diǎn)的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.（Ⅱ）由（1）知，橢圓的方程為.依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直