光纖技術(shù)及應(yīng)用-第一章

2023/2/11光纖技術(shù)及應(yīng)用OpticalFiberTechnologyandItsApplication2023/2/12迎接光子時代的到來電子時代（半導(dǎo)體時代）：圍繞如何利用和控制電子的運(yùn)動來設(shè)計器件的時代；電子技術(shù)已經(jīng)發(fā)展相對成熟，各種技術(shù)瓶頸已經(jīng)出現(xiàn)：晶體管極限（由電子的特性和器件制作中的光刻等工藝所受到的物理上的限制所決定）光子作為信息的載體已經(jīng)取得了很大的成功:90%的現(xiàn)代信息需要以光子的形式在光纖上傳輸一根細(xì)若游絲的光纖里，可以容納上億門電話美公司聯(lián)手開發(fā)超級計算機(jī)光纖互連技術(shù)2023/2/13光子與電子的比較：速度快，獨(dú)立傳播（光子是光線中攜帶能量的粒子）光子與電子的本質(zhì)區(qū)別：（1）光子服從的是麥克斯韋方程，電子服從的是薛定諤方程；（2）光子波是矢量波，電子波是標(biāo)量波；（3）電子是自旋為1/2的費(fèi)米子，滿足泡利不相容原理，

光子是自旋為1的玻色子，其不受泡利不相容原理的限制，可在空間并行；（4）電子之間有很強(qiáng)的相互作用力，而光子沒有。2023/2/14“波導(dǎo)”:交通：公路，鐵路，高速公路 電：電線，平面電路 光：光纖，平面光波導(dǎo)公路、鐵路、高速公路給交通帶來了極大的推動；電通過電線的傳輸提供了強(qiáng)大的動力；電信號憑借平面集成電路產(chǎn)生了繁榮的電子工業(yè)；光纖和平面光波導(dǎo)的發(fā)展將帶來信息交流的巨大改變。波導(dǎo)（WAVEGUIDE），用來定向引導(dǎo)電磁波的結(jié)構(gòu)2023/2/15波導(dǎo)（WAVEGUIDE），用來定向引導(dǎo)電磁波的結(jié)構(gòu)。常見的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)主要有平行雙導(dǎo)線、同軸線、平行平板波導(dǎo)、矩形波導(dǎo)、圓波導(dǎo)、微帶線、平板介質(zhì)光波導(dǎo)和光纖。從引導(dǎo)電磁波的角度看，它們都可分為內(nèi)部區(qū)域和外部區(qū)域，電磁波被限制在內(nèi)部區(qū)域傳播。

波導(dǎo)，本意指一種在微波或可見光波段中傳輸電磁波的裝置，用于無線電通訊、雷達(dá)、導(dǎo)航等無線電領(lǐng)域。2023/2/16教材內(nèi)容：1、光波傳輸?shù)睦碚撝R2、平板光波導(dǎo)傳輸理論3、光纖傳輸原理

（光纖的模式特性、光纖的損耗、光纖的色散）4、光纖（無源、有源）器件5、光纖和光纜的制造技術(shù)6、光纖通信技術(shù)和光纖傳感技術(shù)2023/2/17課程51學(xué)時考試：閉卷（100分）試題類型：選擇、填空、問答題，小型計算題最終成績=平時成績30%+期末成績70%2023/2/18

第一章光傳輸?shù)睦碚摶A(chǔ)1

1.1麥克斯韋方程和波動方程21.2平面光波及其在介質(zhì)界面上的反射和折射31.3程函方程和光線方程2023/2/19

光是一種電磁波，與一般意義的微波的電磁特性相同，只是頻率或波長不同而已。將電磁波按其頻率或波長的次序排列成譜，則稱為電磁波譜。通常所說的光學(xué)區(qū)域或光學(xué)頻譜包括：紅外線、可見光和紫外線。由于光的頻率極高1012～1016Hz（1014～1015Hz），一般采用波長表征，光譜區(qū)域的波長范圍約從1mm到10nm。光的電磁波譜可分為

光的波長

遠(yuǎn)紅外 (1mm~20m)紅外線

(1mm~0.76m) 中紅外 (20m~1.5m)

近紅外 (1.5m~0.76m)

紅色 (760nm~630nm)

橙色 (630nm~600nm)

黃色 (600nm~570nm)可見光

(760~380nm) 綠色 (570nm~490nm)

青色 (500nm~450nm)

藍(lán)色 (450nm~430nm)

紫色 (430nm~380nm)

近紫外 (380nm~300nm)紫外光

(380~10nm) 中紫外 (300nm~200nm)

真空紫外(200nm~10nm)2023/2/110光學(xué)研究的是光的傳播以及光和物質(zhì)相互作用，使用方法有▲幾何光學(xué)（成像光學(xué)儀器）▲波動光學(xué)（研究光的電磁性質(zhì)和傳播規(guī)律，用在一般的導(dǎo)波光學(xué)）▲量子光學(xué)（以光的量子理論為基礎(chǔ)，研究光與物質(zhì)相互作用的規(guī)律，如用在量子光通信）光的分析手段2023/2/1111麥克斯韋方程組

根據(jù)光的電磁理論，光波具有電磁波的所有性質(zhì)，這些性質(zhì)都電磁波的基本方程－麥克斯韋方程組：

?D

＝

(1)—表明電荷產(chǎn)生電場；?B

＝0(2)—表明磁場是無源場，磁感線是閉合曲線；xE

＝－(B/t)(3)—表明變化的磁場產(chǎn)生電場；xH

＝J+(D/t)(4)---表明傳導(dǎo)電流和變化的電場都能產(chǎn)生磁場；其中D、E、B、H分別表示電感應(yīng)強(qiáng)度（電位移矢量）、電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度；是自由電荷密度、J是傳導(dǎo)電流密度。麥?zhǔn)戏匠探M將空間任一點(diǎn)的電、磁場聯(lián)系在一起，可以確定空間任一點(diǎn)的電、磁場。物質(zhì)方程

D

＝E

B

＝

H

J＝

E2023/2/112積分形式的麥克斯韋方程組為：---表明穿過任意閉合曲面的電位移通量等于該閉合曲面所包圍的自由電荷的代數(shù)和；----表明穿過任意閉合曲面的磁通量恒等于零；---表明電場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)流，等于穿過以該閉合曲線為周界的任一曲面的磁通量變化率的負(fù)值；---表明磁場強(qiáng)度沿任意閉合曲線的環(huán)流，等于穿過以該閉合曲線為周界的任意曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流之和；麥克斯韋方程組表明了電磁場和它們的源之間的全部關(guān)系。2023/2/1132電磁場的邊值關(guān)系當(dāng)研究某一區(qū)域的電磁場時，常遇到該區(qū)域被不同介質(zhì)分成幾個區(qū)域的情況。由于介質(zhì)性質(zhì)的突變，這些界面上將出現(xiàn)面電荷、面電流分布，使得物理量E、D、B、H發(fā)生躍變，微分形式的麥?zhǔn)戏匠探M不再適用。因此，在介質(zhì)分界面上，要用另一種形式描述界面兩側(cè)的場強(qiáng)以及界面上電荷、電流的關(guān)系。----稱為邊值關(guān)系（邊界條件）2023/2/114（1）法向分量在界面上的邊值關(guān)系設(shè)界面的單位法向矢量為n

，在兩介質(zhì)界面上取一面元并以它為截面作一無限薄扁平小柱體，使柱體上下兩底面分別在兩介質(zhì)，且柱體高度是小量，故側(cè)面的積分趨于零，由表明：電位移矢量在界面法向上是不連續(xù)的，其躍變與自由電荷密度有關(guān)。2023/2/115------用同樣的方法可得到：表明：磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量在界面法向上是連續(xù)的。2023/2/116（2）切向分量在界面上的邊值關(guān)系在兩介質(zhì)界面上取一線元以它為中線垂直于界面作一無限窄小矩形，它的兩短邊可以看成宏觀小量，但其上下兩邊分別深入到界面兩側(cè)介質(zhì)中。薄矩形層的厚度趨于零，則通過電流的橫截面變?yōu)闄M截線。定義電流線密度----其大小等于垂直通過單位橫截線的電流由于存在面電流，在界面兩側(cè)的磁場強(qiáng)度發(fā)生躍變，在狹長形回路，長邊與面電流正交，2023/2/117由于回路所圍面積趨于零，而為有限量，所以：有：或：表明：磁場強(qiáng)度矢量在界面切向上是不連續(xù)的，其躍變與自由電流密度有關(guān)。2023/2/118同樣：------表明：電場強(qiáng)度矢量在界面切向上是連續(xù)的。邊值關(guān)系（邊界條件）2023/2/119邊值關(guān)系（邊界條件）邊值關(guān)系表示界面兩側(cè)的場以及界面上電荷、電流的制約關(guān)系，它們實(shí)質(zhì)上是邊界上的場方程。電磁理論已經(jīng)證明：在一定的邊界條件和初始條件下，麥克斯韋方程組有唯一解。2023/2/1203、波動方程下面從麥克斯韋方程出發(fā)，推導(dǎo)各向同性的均勻介質(zhì)中，遠(yuǎn)離輻射源、不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流區(qū)域內(nèi)的光波場矢量滿足的波動方程。大多數(shù)光波導(dǎo)材料為非磁性電介質(zhì)，所以：(1)(2)(3)(4)2023/2/121(1)討論真空情形在真空中，有對它兩邊取旋度，得到等號左邊利用：而：所以得到電場強(qiáng)度滿足的波動方程：同理：可得到磁場的偏微分方程：令：2023/2/122得到方程：形如上式的方程為波動方程。討論：a)當(dāng)與t無關(guān)時，為調(diào)和函數(shù)，調(diào)和函數(shù)的最大值在邊界上（如果邊界上場為0，則內(nèi)部也為0）b)當(dāng)與t有關(guān)時，雖邊界為0，但內(nèi)部不一定為0.c)波動方程，其解包括各種形式的電磁波，c是電磁波在真空中的傳播速度。在真空中，一切電磁波（包括各種頻率范圍的電磁波，如無線電波、光波、x射線）都以速度c傳播。2023/2/123(2)討論介質(zhì)情形研究介質(zhì)中的電磁波傳播問題時，必須給出關(guān)系，當(dāng)以一定角頻率作正弦振蕩的電磁波入射于介質(zhì)內(nèi)時，介質(zhì)內(nèi)的束縛電荷受到電場作用，也以相同角頻率正弦振動。在這頻率下，介質(zhì)的極化率，介電常數(shù)都是頻率的函數(shù)，即：不同頻率的電磁波，介質(zhì)的介電常數(shù)是不同的。把介電常數(shù)和磁導(dǎo)率隨頻率而改變的現(xiàn)象稱為介質(zhì)的色散。由于色散，對一般非正弦變化的電場關(guān)系式：不成立2023/2/1244、一定頻率的光波在介質(zhì)中的傳播—Helmholtz方程設(shè)均勻平面簡諧光波：代入麥克斯韋方程組：（1）（2）（3）（4）四個方程只有（1）（2）式獨(dú)立。?。?）式散度可得到（3）式，利用任意矢量的旋度的散度恒等于0.2023/2/125取（1）式旋度：等號左邊利用矢量恒等式，可得到：令：上式變?yōu)椋?----稱為Helmholtz方程它是一定頻率下電磁波的基本方程，E(r)表示電磁波場強(qiáng)在空間中的分布情況，每一種可能的形式代表一種模式（一種波形）2023/2/126所以對上述方程加上條件上式方程的解并不能保證滿足才代表電磁波的解。磁場可由：同理可得到磁場滿足的Helmholtz方程2023/2/1275、均勻平面光波設(shè)單色平面光波：為復(fù)振幅常矢量。平面波的波陣面為無窮大平面，在同一波陣面上電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度的大小為常數(shù)，且兩者同相。將上面兩式代入麥克斯韋方程：并利用：等號右邊第二項(xiàng)為零，因?yàn)闉槌Ｊ噶俊?023/2/128可得到：即：同理：表明：在各向同性的均勻介質(zhì)中，平面波為橫電磁波。光場的方向結(jié)構(gòu)圖如圖所示1.2-1(a)2023/2/129平面電磁波的特性：（1）電磁波是橫波，E和B都和傳播方向垂直；（2）E和B互相垂直，沿波矢方向；（3）E和B同相，振幅比為平面波的相速度（等相位面?zhèn)鞑サ乃俣龋浩掠⊥⑹噶浚芰髅芏龋?/p>

n為介質(zhì)的折射率說明：相速度并不表示光波能量傳播的速度，因此對于色散介質(zhì)的n<1的反常色散區(qū)，會出現(xiàn)相速度v大于真空中光速c的情況，這并不違背相對論的結(jié)論。群速度？（復(fù)色光波的相速度、群速度、能量傳播的速度2023/2/1301.2.2平面光波在介質(zhì)界面上的反射和折射我們知道，當(dāng)光波射到兩種介質(zhì)分界面上時，將發(fā)生反射和折射。光波是一定波長范圍內(nèi)的電磁波，其結(jié)果也適用于其他波長的電磁波，如無線電短波和微波等。任何波動在兩個不同界面上的反射和折射現(xiàn)象都屬于邊值問題。設(shè)一單色平面電磁波自介質(zhì)1以入射角射到分界面上，見圖所示。當(dāng)界面線度遠(yuǎn)大于波長時，可以看成無限大平面，將這個平面取為xy面，并使入射波波矢量在xz面內(nèi)，即：2023/2/131分別表示入射波、反射波、折射波的電場強(qiáng)度表示入射波、反射波、折射波的波矢量表示入射波、反射波、折射波的頻率表示入射角、反射角、折射角對于平面波入射，反射波、折射波也是平面波，故表達(dá)式：我們知道在z=0平面上，電磁場應(yīng)滿足邊值關(guān)系，即電場強(qiáng)度在切線方向上是連續(xù)的，2023/2/132在界面上確定的一點(diǎn)，上式可以化為：式中a,b,c都是與時間無關(guān)的量，上式要在任意時刻下成立，必須要求：表明：入射波、反射波、折射波都具有相同的頻率。從微觀的角度說，在入射波作用下，界面兩側(cè)介質(zhì)分子中的束縛電子將以入射波頻率作強(qiáng)迫振動，并輻射出相同頻率的電磁波。這些電磁波和入射波相疊加，在界面兩側(cè)構(gòu)成了反射波和折射波，以后將去掉上的腳標(biāo)。2023/2/133類似的方法可以證明：要求在界面上任意點(diǎn)都成立，則必須有：不失一般性，取入射波矢量在xz平面內(nèi)，則入射波矢量故有：表明：入射波、反射波、折射波的波矢量都在同一平面內(nèi)，稱次平面為入射面。2023/2/134前面：而由圖：且：又介質(zhì)1,2的折算率為：可得：這就是反射定律和折射定律。2023/2/1352、菲涅耳公式上面反射定律、折射定律確定了入射波、反射波、折射波之間的傳播方向關(guān)系，下面利用邊值關(guān)系給出三種波光場的振幅和相位關(guān)系，可由反射系數(shù)和透射系數(shù)表征。由于對每一波矢K有兩個獨(dú)立的偏振波，所以需要分別討論E垂直于入射面和E平行于入射面兩種情形。2023/2/136（1）電場振動方向垂直入射面----TE波由上面邊值關(guān)系得注意到：并且考慮到一般非鐵磁介質(zhì)有上面第二式可以寫為：----（1）----（2）----（3）2023/2/137（1）和（3）組成方程組得：反射系數(shù)：透射系數(shù)：2023/2/138（2）電場振動方向平行于入射面----TM波邊界關(guān)系可寫為：解得：2023/2/139而且：反射率透射率：顯而易見，這些系數(shù)隨著入射角的變化都發(fā)生變化。這些公式表明：垂直于入射面的偏振波與平行于入射面的偏振波其反射和折射行為不同。特別地：即：此時電場強(qiáng)度E平行于入射面的分量沒有反射波，這就是布儒斯特定律，此時的入射角稱為布儒斯特角，其大小為：當(dāng)以布儒斯特角入射時，其反射波只有垂直于入射面的線偏振波2023/2/140而且：不管TE、TM都滿足能量守恒這里指的是：光能流反射率和透射率滿足能量守恒定律；而光強(qiáng)度反射率和透射率之和不為1.因?yàn)椋汗鈴?qiáng)度的定義是平均能流密度，而不是光能量或能流。2023/2/141當(dāng)光從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)發(fā)生全反射時，入射光的能流并不是在介質(zhì)界面上只進(jìn)行了全反射，而是穿入光疏介質(zhì)一定深度后實(shí)現(xiàn)全反射的。

從幾何觀點(diǎn)來看，入射光束不是直接在入射點(diǎn)處全反射的，而是稍微進(jìn)入第二光疏介質(zhì)后再返回光密介質(zhì)，也就是說入射光在界面發(fā)生了一微小橫向位移才返回光密介質(zhì)。2023/2/1422023/2/1433、平面光波的全反射設(shè)光波從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)由折射定律：光從光密介質(zhì)到光疏介質(zhì)時，折射角達(dá)到時的入射角稱為臨界角：當(dāng)入射角大于臨界角時，入射光能量將全部反射。所以折射角的余弦應(yīng)為虛數(shù)2023/2/144折射光的電場可表示為：表明：當(dāng)光在界面上發(fā)生全反射時，介質(zhì)2（光疏介質(zhì)）中存在一個相位沿x方向傳輸，振幅沿z方向指數(shù)衰減的平面波，且因衰減導(dǎo)致光波場只存在于介質(zhì)2中靠近界面附近很薄的介質(zhì)層內(nèi)，故稱為迅衰波、衰逝波或倏逝波或表面波。其中：2023/2/145倏逝波的性質(zhì)和特征：（1）相速度：上式表明倏逝波是一個沿x方向傳播的行波，其相速度表示為：因：可見：倏逝波沿x方向傳播的相速度比一般情況下電磁波在介質(zhì)中傳播的相速度小，故稱之為慢波。2023/2/146（2）穿透深度指數(shù)因子的出現(xiàn)，表明倏逝波振幅沿z（界面法線）方向按指數(shù)急劇衰減。其深度為：

為光波在真空中的波長。故透入深度為波長量級，透射波好像是貼著界面?zhèn)鞑サ?，故又稱為表面波。2023/2/147說明：雖然全反射時，在光疏介質(zhì)2中存在迅衰波，橫向傳播的波經(jīng)過一段距離又回到光密介質(zhì)。但它并不向第二介質(zhì)內(nèi)部傳遞能量。即：由第一介質(zhì)流入第二介質(zhì)和由第二介質(zhì)返回第一介質(zhì)的能量相等。問題：既然發(fā)生全反射時，光波能量全部被反射回介質(zhì)中，那么倏逝波的能量來自何處？界面處的平均能量密度是否還成立？2023/2/148倏逝波的存在，似乎和全反射時反射波帶走了全部光能量的結(jié)論相矛盾，即違背能量守恒定律，其實(shí)不然。根據(jù)電磁理論全反射時，反射波和入射波的振幅相等，反射波與入射波的平均能流密度的數(shù)值相等，因此反射率為1，即電磁波能量全部被反射。但在一般情況下反射波和入射波之間有一定的位相關(guān)系，因此反射波與入射波能流密度的瞬時值是不同的，這表明能量并不是絕對不能透過界面而進(jìn)入光疏介質(zhì)。

其物理圖像是這樣的：在半個周期內(nèi)光波的能量進(jìn)入光疏介質(zhì)，在界面附近的薄層內(nèi)儲存起來，在另一半周期內(nèi)，這一能量釋放出來變?yōu)榉瓷洳ǖ哪芰?，但在同一周期?nèi)平均值為零，所以全反射時，在透射深度內(nèi)瞬時能流不為零，但平均能流為零。2023/2/149應(yīng)用：光子隧道效應(yīng)當(dāng)界面兩邊物質(zhì)的折射率滿足一定條件時，一束全內(nèi)反射光會導(dǎo)致界面的另一側(cè)產(chǎn)生一個迅衰場。其強(qiáng)度隨離界面的距離成指數(shù)關(guān)系。將一光學(xué)探針調(diào)節(jié)到樣品表面的迅衰場內(nèi)，入射光的一些光子會穿過界面和光學(xué)探針之間的勢壘，即產(chǎn)生光子隧道效應(yīng)。2023/2/150全反射時的相移因?yàn)槿瓷鋾r，折射角的余弦為虛數(shù)，即（1）而：（2）（3）將（1）式代入（2）、（3）式2023/2/151由上面兩式可看出：它們的分子、分母互為共軛復(fù)數(shù)，即它們的模為1，可表示為上式中：其中2023/2/152可得全反射時的相移：表明：（1）全反射時反射率為1，即光能沒有透射損失，全都反射回光密介質(zhì)；上兩式表明：在全反射下，反射光相對于入射光有相位躍變，即發(fā)生相移，可以設(shè)想平面波的入射點(diǎn)與反射點(diǎn)不在同一點(diǎn)上，反射點(diǎn)與入射點(diǎn)有一段距離。2023/2/153全反射時的古斯—哈恩斯位移古斯和哈恩斯于1947年做了一個全反射實(shí)驗(yàn)，證明實(shí)際光的反射點(diǎn)離入射點(diǎn)有一段距離，稱為古斯-哈恩斯位移。（相隔約半個波長）產(chǎn)生古斯-哈恩斯位移的原因：由于我們用無窮細(xì)的光線代表了光的傳播方向，即將光看成波陣面為無限大的平面波。實(shí)際上，光的傳播不能簡單地視為平面光波的行為，必須考慮光是以光束的形式傳播的，即使一條極細(xì)的光線也是由若干更加細(xì)的光線組成。進(jìn)入光疏介質(zhì)，波動為向各個方向無限擴(kuò)展平面的疊加。各個分量入射方向不同，相位不同，疊加后產(chǎn)生了橫向位移。2023/2/154設(shè)光在傳播過程中的位移為：其中：每一條光在傳播過程中的相移，為單位長度的相移以TE波為例：一光束發(fā)生全反射時的相移正切的平方為：對上式微分：可得P8公式2023/2/1551、3程函方程和光線方程處理光傳輸問題的理論方法：射線（幾何）光學(xué)理論當(dāng)光纖芯徑遠(yuǎn)大于光波波長時，可近似認(rèn)為波長趨于零，從而將光波看成光線，可采用幾何光線方法分析光線的入射、傳播（軌跡）、時延（色散）及光強(qiáng)分布等特性。優(yōu)點(diǎn)：簡單、直觀，適用于多模光纖；缺點(diǎn)：不能解釋模式分布，模式耦合等，對單模光纖分析誤差大程函方程是射線光學(xué)的基礎(chǔ)。1、局部平面波在無限大、均勻的各向同性介質(zhì)中，光波是以平面波的形式傳播的。實(shí)際上，并不存在無限大、均勻的各向同性介質(zhì)，對于一般情況下的非均勻介質(zhì)，光波束的波振面是任意曲面。但是，在局部范圍內(nèi)可近似地將波振面看成平面，將光波看成平面波，稱為局部平面波、本地平面波或準(zhǔn)平面波。2023/2/156局部平面波的電磁場可表示為：

為復(fù)振幅，分別為相位和光程，都是位置矢量的函數(shù)，是隨地而異的。2、程函方程將上兩式代入：利用：光程：是波面走過的幾何路徑與折射率的乘積2023/2/157可得：同理：而均勻介質(zhì)中的平面波：相比較有：即：光程函數(shù)的梯度滿足：---稱為程函方程。在已知折射率分布情況下，可得到光程函數(shù)S或相位函數(shù).但不能直接解決光射線的路徑問題，需推導(dǎo)光射線的微分方程。即光線方程2023/2/158------是光在各向異性介質(zhì)中的程函方程（光纖色散方程）物理意義：空間中任何一點(diǎn)的光波的相位變化率與該點(diǎn)的折射率大小成正比；相位梯度方向與光波方向一致，其模等于介質(zhì)折射率。程函方程給出波面變化規(guī)律：（1）在均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向不變；（2）在非均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向隨折射率改變；（3）若已知折射率分布，則可求出程函方程，從而根據(jù)等相面確定光線軌跡。2023/2/1592023/2/1603、光線方程設(shè)空間有一條光線，r表示光線上某點(diǎn)P的位置矢量，若取光線上任一點(diǎn)P0為曲線坐標(biāo)的原點(diǎn)，點(diǎn)P到P0的距離為s，P點(diǎn)處光線的切向單位矢量為

與P點(diǎn)處電場E和磁場H正交，即與等相位面正交。所以與平行（1）（2）2023/2/161對上面光程函數(shù)兩端求梯度：利用：且：任何標(biāo)量場的梯度的旋度恒等于零。2023/2/162即：將代入上式得：而：所以：曲線（自然）坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系或：------光線方程。描述了光線上任一點(diǎn)P的位置矢量r與曲線坐標(biāo)之間的關(guān)系。在已知折算率分布及給定坐標(biāo)系后，求解光線方程可得到光線的軌跡。2023/2/163----射線方程（光線方程）是折射率分布為n的介質(zhì)中光線傳播的路徑方程物理意義：（1）將光線軌跡和空間折射率聯(lián)系起來；（2）是光線切向斜率

對于均勻波導(dǎo)，n為常數(shù)，光線以直線形式傳播；

對于漸變波導(dǎo)，n是r函數(shù)，則為一變量，這表明光線將發(fā)生彎曲，而且可以證明光線總是向折射率高的區(qū)域彎曲。2023/2/164作業(yè)：1-1,1-2，1-32023/2/1652023/2/166光的麥克斯韋方程組光一般只能在介質(zhì)中傳輸，介質(zhì)的是自由電荷密度＝0、r→1；電導(dǎo)率＝0；光的麥克斯韋方程組

?D

＝0?B

＝0xE

＝－(B/t)xH

＝(D/t)

物質(zhì)方程

D

＝0rE

B

＝

0

rH

n?(B1-B2)=0n?(D1-D2)=0n(E1-E2)

＝0n(H1-H2)

＝0

邊界條件n2023/2/167波動方程可以推導(dǎo)出與光傳輸相關(guān)的描述交變電磁場的波動方程：

2

E

－(1/2)(2E/t2)=02

H

－(1/2)(2

H/t2)=0上述方程組說明交變電磁場是以速度傳播的電磁波動。式中：＝()-1/2

光電磁波在真空中的傳播速度一般用字母c表示c

＝(00)-1/2

=3108米/秒。為表征光在介質(zhì)中傳播的快慢，引入光折射率：n=c/=(rr)1/2

除鐵磁性介質(zhì)外，大多數(shù)介質(zhì)的磁性都很弱，可以認(rèn)為r

1。因此，折射率可以表示為：n=(r)1/2

此式稱為麥克斯韋關(guān)系。對于一般介質(zhì)，r

或n

都是頻率的函數(shù)，具體的函數(shù)關(guān)系取決于介質(zhì)的結(jié)構(gòu)。2023/2/168波動方程考慮簡諧波，/t＝i,是光波的圓頻率，也可以寫成：

2

E+n2k02E=02

H+n2k02H=0k0是光波在真空中的波矢量－波空間變化快慢的程度，其大小等于2/,k=nk0是介質(zhì)中的波氏量。波動方程又可寫成2

E+k2E=02

H+k2H=0光的波動就是電場和磁場的波動EHzxyvE和H是矢量，光在介質(zhì)中的傳播速度v也是矢量，v的方向就是光傳播的方向，E、H和v相互垂直,表示電場和磁場在空間沿著z方向總是相互正交傳輸2023/2/169光波動描述E＝Ex＋EyEx=Ex0cos(t-k·z+x)Ey=Ey0cos(t-k·z+y)表示光波傳輸頻率，k是波矢量，幅度是傳播常數(shù)k=2/,x和y是初相位。相速度為v=/k

光場的能量密度也就是電磁場的能量密度因?yàn)橐虼穗妶瞿芰亢痛艌瞿芰肯嗟?，?023/2/170波印廷矢量波印廷矢量的大小表示能流密度光波動描述光強(qiáng)I是單位面積的功率通量，就是光場的能流密度，一般是能流密度的時間平均其中v是光在介質(zhì)中的速度＝()-1/2=c/n2023/2/171群速度單一頻率波的傳播速度稱為相速度不同頻率的疊加加形成合成波（波包）時，波包的波峰傳播速度稱為群速度。真空中的相速度和群速度是相等的。

vg=d/dk2023/2/172光的偏振Ex=Ex0cos(t-k·z+x)Ey=Ey0cos(t-k·z+y)EHzxyv光波的偏振（也稱極化）描述當(dāng)它通過介質(zhì)傳輸時其電場特性。2023/2/173一束光只含有單一方向的光振動,光只在一個固定平面內(nèi)沿單一方向振動的光叫線偏振光（也稱平面偏振光）完全偏振光：線偏振光的振動面固定不動。

線偏振光圖示法

線偏振光·面對光的傳播方向看2023/2/174圓偏振光/橢圓偏振光:可以看成兩個相互垂直的簡諧振動的合成，光矢量在垂直于光的傳播方向的平面內(nèi)按一定的頻率旋轉(zhuǎn)（左旋或右旋）。相位差如圖。Ex與Ey

幅度相等（園偏振），不相當(dāng)（橢圓偏振）。yxyExEy0yxyExEy0圓偏振光和橢圓偏振光=y

-x=/2右旋=y

-x=-/2左旋

2023/2/175部分偏振光：在垂直于光傳播方向的平面內(nèi)，各方向的光振動都有，但它們的振幅不等。(a)線面內(nèi)振動較強(qiáng)(b)線面內(nèi)振動較弱部分偏振光圖示法部分偏振光2023/2/176

=不同，橢圓形狀、旋向也不同。

=3/2

=5/4

=7/4

=/2

=/4

=0yx

=3/4各種偏振狀態(tài)2023/2/177小結(jié)波動方程（邊界條件）頻率、波矢量相速度、群速度能量密度能流密度光強(qiáng)光的偏振各種偏振狀態(tài)2023/2/1781.2光在介質(zhì)交界面的反射和折射2023/2/179

光在介質(zhì)交界面的反射和折射光線在兩種介質(zhì)界面上的反射及折射反射定律折射定律臨界角θCirtn1n22023/2/180在兩種介質(zhì)界面上光的反射及折射

光波從折射率大的介質(zhì)入射到折射率小的介質(zhì)的三種情況2023/2/181光的反射及折射電磁波電場－E磁場－H波矢：ki,kr,kt橫電場（TE）：Ei⊥，

Er⊥，

Et⊥橫磁場（TM）：

Hi‖,

Hr‖,

Ht‖

電磁波（光波）從折射率大的介質(zhì)入射到折射率小的介質(zhì)（橫電場）2023/2/182入射波，反射波和折射波把上述方程代入光的波動方程，就可以得到反射波與入射波的關(guān)系以及折射波與入射波的關(guān)系2023/2/183光波在介質(zhì)界面的反射和透射－垂直入射（電場）反射系數(shù)的定義透射系數(shù)的定義《物理光學(xué)》，梁銓廷，機(jī)械工業(yè)出版社2023/2/184電磁波（光波）從折射率大的介質(zhì)入射到折射率小的介質(zhì)（橫磁場）光波在介質(zhì)界面的反射和透射－平行入射（電場）2023/2/185反射率R隨i的入射角變化

0B

C900

i

1R(0)0RR//

0B900

i

1R(0)0RR//n1>n2的情況反射率R的定義n1<n2的情況布魯斯特角臨界角存在一個入射角B使R=0，即全透射。此角稱布魯斯特（Brewster）角只有偏振方向平行入射面的光，且是線偏振光2023/2/186全反射的相位變化i>C

橫電場

橫磁場2023/2/187消逝波(Evanescentwave)Y0i1Y1i2>i1Y2>Y1

Ex(y)是沿z方向的波矢

是電場進(jìn)入介質(zhì)2的衰減系數(shù)

在介質(zhì)邊界的消逝波2023/2/188古斯－漢欣位移（Goos-Hanchen）全反射時古斯－漢欣位移當(dāng)i>C時,發(fā)生全反射,同時發(fā)生相位的變化,相位的變化表示在介質(zhì)的表面發(fā)生了反射光沿z方向移動一個距離穿透深度！1/2023/2/189光學(xué)隧道效應(yīng)(OpticalTunneling)當(dāng)l<穿透深度,在A和B之間發(fā)生全反射情況下,光仍然可以穿透B進(jìn)入介質(zhì)C,稱為光學(xué)隧道效應(yīng)用光學(xué)隧道效應(yīng)制作的分光鏡2023/2/190小結(jié)光的反射和折射定律橫電波和橫磁波的反射率和透射率表達(dá)式全反射和布魯斯特（Brewster）角各種入射條件下的反射和透射全反射情況下的穿透深度古斯－漢欣位移光學(xué)隧道效應(yīng)2023/2/191

第2章平板介質(zhì)光波導(dǎo)2023/2/192

平板介質(zhì)波導(dǎo)也稱為

平面介質(zhì)波導(dǎo)、平板波導(dǎo)，是各種集成光學(xué)元器件的基礎(chǔ)。對于它的研究，不但有助于理解光纖傳輸基本原理，而且對于合理設(shè)計半導(dǎo)體激光器、耦合器、調(diào)制器等光傳輸器件也是必不可少的。2023/2/193平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)示意圖：一般由三層構(gòu)成：中間波導(dǎo)芯層，下層介質(zhì)為襯底，上層為覆蓋層；折射率：芯區(qū)、襯底、覆蓋層分別為：n1、n2、n3，

且n1>n2,

n1>n3。且一般情況下有n1>n2>

n32023/2/194薄膜波導(dǎo)：----結(jié)構(gòu)：芯層可以做成各種形式；----工藝：薄膜成型法（離子擴(kuò)散、晶體生長）----襯底材料：玻璃、電光晶體、半導(dǎo)體材料----應(yīng)用：集成光路、光波導(dǎo)器件圓柱波導(dǎo)----光纖-----結(jié)構(gòu)：芯層、包層、緩沖層（有彈性、耐腐蝕的塑料護(hù)套）-----材料和工藝：玻璃、拉絲-----應(yīng)用：光通信-----分類：根據(jù)纖芯折射率分為階躍折射率和梯度折射率光纖；據(jù)傳輸信號分為單模和多模光纖2023/2/195對稱波導(dǎo): n2=n3

；非對稱波導(dǎo): n2

n3，分類:(1)按照覆蓋層和襯底的折射率是否相同，分為（2）按照芯層折射率分布的不同，可將平板波導(dǎo)分為：階躍波導(dǎo)（折射率分區(qū)均勻分布）

漸變波導(dǎo)（折射率n1是橫向坐標(biāo)x的函數(shù)）

本章主要討論階躍波導(dǎo)的傳輸特性2023/2/1962.1理想平板波導(dǎo)的射線光學(xué)理論理想平板波導(dǎo)：指波導(dǎo)的各層介質(zhì)為各向同性、均勻、無損耗，且不同介質(zhì)的界面為無限大平面，且嚴(yán)格平行。1、均勻平面光波在平板波導(dǎo)中的傳輸均勻平面波：均勻平面光波在波導(dǎo)中傳輸，遇到兩種介質(zhì)的界面時，將產(chǎn)生反射和折射，因此光在芯層內(nèi)呈“鋸齒型”軌跡向z方向傳播，如圖所示。根據(jù)入射角與上、下界面的全反射臨界角之間的關(guān)系，可分三種情況討論：2023/2/197(a)(b)(c)光線在上、下界面的入射角不同，對應(yīng)波導(dǎo)中不同的傳輸模式：(a)當(dāng)平面波在上、下兩界面都發(fā)生全反射，此時光波被限制在波導(dǎo)芯層內(nèi)，好像被引導(dǎo)者沿z方向傳播，故通常稱這種傳輸?shù)墓鉃椤皩?dǎo)?！薄ⅰ皞鲗?dǎo)?！被颉皩?dǎo)波”。平板波導(dǎo)中的電場可以表示為：2023/2/198其中下標(biāo)l=1,2,3分別代表芯層、襯底和覆蓋層，分別代表各層的橫向傳播常數(shù)和縱向傳播常數(shù)，根據(jù)光電磁波在界面處的連續(xù)性要求，其縱向傳播常數(shù)在三層介質(zhì)中相同，可表示為：是平面波在真空中的波數(shù)。因?yàn)椋核裕杭矗簩?dǎo)模的縱向傳播常數(shù)比襯底、覆蓋層里的傳播常數(shù)大，相應(yīng)的傳播速度就慢，是慢波。2023/2/199在三層介質(zhì)中的橫向傳播常數(shù)滿足如下關(guān)系：其中：為實(shí)數(shù)，表示光波場在芯層內(nèi)沿橫向?yàn)轳v波分布；為虛數(shù)，表示光波場在襯底和覆蓋層內(nèi)沿橫向向外指數(shù)衰減。表明：導(dǎo)模的光能量被限制在芯層及其界面附近，并沿z軸方向傳播，因而導(dǎo)模也是表面波。是否滿足全反射條件即可產(chǎn)生一個導(dǎo)模呢？2023/2/1100(b)當(dāng)光線在上界面發(fā)生全反射，而在下界面只有部分反射，如圖所示，這時光在波導(dǎo)中將有一部分能量輻射到襯底中去，因此稱之為襯底輻射模。這時，傳播常數(shù)滿足：----是實(shí)數(shù)----是虛數(shù)說明：光波場在覆蓋層內(nèi)向外指數(shù)衰減，而在襯底內(nèi)沿x軸方向傳播。2023/2/1101當(dāng)如圖所示，光線在上、下界面處均不發(fā)生全反射，只有部分反射。這時必然有部分能量同時輻射到覆蓋層和襯底中去，通常稱之為波導(dǎo)輻射模。此時傳播常數(shù)滿足：----是實(shí)數(shù)----是實(shí)數(shù)說明：光場在覆蓋層和襯底內(nèi)均沿x方向有傳輸。2023/2/11022、導(dǎo)模的傳輸和截止（1）導(dǎo)模的傳輸條件組成導(dǎo)模的光線除滿足入射角條件（全反射）外，還必須滿足一定的相位條件。導(dǎo)模在平板波導(dǎo)中的傳輸，可看做無數(shù)根光線在波導(dǎo)芯層的上、下表面來回全反射疊加而成的，其主要特征是在橫截面內(nèi)必須形成駐波。如圖2.1-2所示:從波陣面AB出發(fā)的光線經(jīng)直線傳輸和經(jīng)全反射后傳輸形成另一個波陣面CD，要求所有光線從面AB到達(dá)面CD后，相位差必須是的整數(shù)倍。2023/2/1103光線產(chǎn)生相位變化來自兩個因素：一是傳輸路徑上的相位變化（波程差）；二是界面全反射時引起的相位變化。

相位條件：其中：為BC和AED的幾何長度；分別為上、下界面全反射引入的相移；而：（這里a

為波導(dǎo)芯層的厚度）2023/2/1104全反射相移的大小與入射角和入射光的偏振方向有關(guān)：對TE波：對TM波：---定義為襯底的橫向衰減系數(shù)---定義為覆蓋層的橫向衰減系數(shù)2023/2/1105----表征了組成導(dǎo)模的光線在平板波導(dǎo)中的傳輸條件，通常稱為平面波導(dǎo)的本證方程。（也稱為色散方程）當(dāng)給定波導(dǎo)參數(shù)（）以及工作波長（）時，對于不同的m值，由本證方程可以求得不同的橫向傳播常數(shù)，由波矢量的投影關(guān)系進(jìn)一步可得到相應(yīng)的這一組參數(shù)反反映了一種導(dǎo)模在芯層、襯底及覆蓋層中的傳輸特性。另：m取整數(shù)說明本證方程只能有若干個離散解，每一個解對應(yīng)一鐘導(dǎo)?；虼_定的場分布，m稱為模階數(shù)。因而，入射角也只能取離散值，說明并非滿足全反射條件的光線都能構(gòu)成導(dǎo)模，只有那些滿足本證方程的特定角度入射的光線才能在橫向形成穩(wěn)定的駐波，才能形成穩(wěn)定的導(dǎo)模傳輸。2023/2/1106----由方程還可以看出：當(dāng)給定波導(dǎo)參數(shù)和工作波長時模階數(shù)m越大，則越大，越小，越??；在所有導(dǎo)模（TEm、TMm）中，基模TE0、TM0的值最大；對于給定的模式，工作波長越長，越小，越小，也越小，所以本征方程實(shí)際上給出了與（或）的關(guān)系，從這個意義上講，本征方程又稱為色散方程。2023/2/1107（2）導(dǎo)模的截止如果入射角則下界面的反射處于全反射的臨界狀態(tài)，此時導(dǎo)模截止，且有界面反射相移為：式中：為波導(dǎo)的非對稱參數(shù)，且因此：導(dǎo)模截止時的色散方程為：2023/2/1108導(dǎo)模截止時的色散方程為：-----（TE模）-----（TM模）由此可見：某一導(dǎo)模的截止是由兩方面的因素決定的：一是傳輸光波的波長（或頻率）；二是波導(dǎo)參數(shù)給定模階數(shù)和波導(dǎo)參數(shù)后，可求出某一導(dǎo)模的截止波長：----表明：不同模式有不同的截止波長2023/2/1109上式表明:不同的模式有不同的截止波長，模階數(shù)越高，截止波長越短；模階數(shù)相同時，TE模的截止波長比TM模的長；

所以，相同波導(dǎo)，相同階數(shù)的TE、TM模中，TM模先截止。TE0模的截止波長是所有導(dǎo)模中最長的，故稱TE0模為基模。工作波長>C，導(dǎo)模截止。C越小，相應(yīng)的導(dǎo)模越易截止。2023/2/1110同時：可求得某一導(dǎo)模所對應(yīng)的波導(dǎo)芯層截止厚度；對TEm模----即如果芯層厚度Tem模將被截止。TE0模的截止厚度為基模傳輸基模m=0

TE模中TE0具有最長的截止波長（最不易截止）。

TM模中TM0具有最長的截止波長（最不易截止）?；鬏敚罕ＷC只有TE0或TM0，其它模截止。

TE基模傳輸

TM基模傳輸2023/2/1113給定光波波長和波導(dǎo)參數(shù)后，可以求出波導(dǎo)中能夠傳輸?shù)腡E模（或TM模）的數(shù)目：說明：下標(biāo)“Int”表示只取整數(shù)部分；如果同時存在m個TE模和n個TM模，則能夠傳輸?shù)哪Ｊ娇倲?shù)為(m+n);可以看出，a越大，波長越短，芯層和包層的折射率差越大，波導(dǎo)中傳輸?shù)哪Ｊ綌?shù)就越多。模數(shù)目：2023/2/1114在實(shí)際應(yīng)用中，往往希望波導(dǎo)單模工作，這就要求合理地設(shè)計波導(dǎo)尺寸并選擇合適的波長，，以保證波導(dǎo)中只傳輸基模TE0,而其他模式截止。單模傳輸?shù)臈l件是：或而由于平板波導(dǎo)的非對稱參數(shù)和差別很小，所以與、與的差別也很小，因而把TE0模和TM0模同時存在的情況仍然稱為單模傳輸。這時傳輸條件可表達(dá)為：或單模傳輸因?yàn)?，所?/p>

一般，,所以，、相差不大。單模傳輸條件：單模傳輸：保證只有TE0，其它模截止2023/2/1116對于對稱波導(dǎo)，在截止條件下有：上式簡化成：表明：（1）對稱波導(dǎo)的TE模和TM模的模數(shù)相同，即TE模和TM模簡并，因此對稱波導(dǎo)中能夠傳輸?shù)哪Ｊ娇倲?shù)為2m。（2）對稱波導(dǎo)中基模（TE0模和TM0模）的截止波長，截止厚度為，即對稱波導(dǎo)中的基模在任何波長下都可以傳輸。（m=0)2023/2/11172.1.2非均勻平面光波在平板波導(dǎo)中的傳輸當(dāng)入射到平板波導(dǎo)中的光波為非均勻平面光波時，在波導(dǎo)中將出現(xiàn)兩種與前面的導(dǎo)模和輻射模不同的模式：泄露模和消失模。1、非均勻平面光波用矢量A代表光波的電場或磁場，則平面光波場可表示為：在平板波導(dǎo)中有：所以：令：K是實(shí)數(shù)，則介質(zhì)為無損耗2023/2/1118則光波場可表示為：第一個指數(shù)項(xiàng)表示振幅因子，第二個指數(shù)項(xiàng)表示相位因子，二者都與坐標(biāo)x,z有關(guān)。等振幅面和等相位面的空間位置分別由下列方程確定：為常數(shù)由此三式可繪出平面波的等振幅面（實(shí)線）和等相位面（虛線），如圖2.1-3所示平面光波的等振幅面和等相位面相互正交；其等相位面上各點(diǎn)的振幅值不相等，也就是波前上的振幅不均勻，所以稱為非均勻平面波。2023/2/11192、泄露模非均勻平面波入射到兩介質(zhì)界面處，也將產(chǎn)生反射和折射，也滿足菲涅耳公式：（以TE模為例,討論在波導(dǎo)芯層—襯底界面的反射系數(shù)）由邊值關(guān)系：所以：令：再代入反射系數(shù)中得：2023/2/1120發(fā)現(xiàn)：無論在什么條件下，都不會等于1，即使入射角滿足，總小于1，不發(fā)生全反射。即：非均勻平面光波入射到兩介質(zhì)界面時總要產(chǎn)生部分反射和部分透射，總要產(chǎn)生泄露，因此稱為泄露模。泄露模的特點(diǎn)：（1）在襯底中場振幅沿-x方向指數(shù)遞增；

在覆蓋層中場振幅沿x方向指數(shù)遞增；即：泄露模以一定的角度向芯層外側(cè)泄露能量。（2）泄露模不是正常波型，因場振幅沿芯層表面外法線方向指數(shù)遞增，不滿足無窮遠(yuǎn)處的邊界條件。（3）具有離散譜（后面由波導(dǎo)光學(xué)理論討論）2023/2/11213、消失模振幅沿z方向指數(shù)衰減，不能沿z軸方向傳輸。若，非均勻平面光波的（為純虛數(shù)）：則：總是實(shí)數(shù)，此時，非均勻平面光波的表達(dá)式式變?yōu)椋赫穹貁方向指數(shù)衰減。2023/2/11222.2理想平板波導(dǎo)的波動光學(xué)分析波動光學(xué)理論：利用求解本征值問題的方法，求解平板波導(dǎo)邊界條件下的波動方程，確定平板波導(dǎo)中能夠獨(dú)立、穩(wěn)定傳輸?shù)暮喺９鈭龅目臻g分布和傳輸常數(shù)。1、平板波導(dǎo)中的模式平板波導(dǎo)中的模式都應(yīng)該滿足波動方程及其邊界條件，以階躍平板波導(dǎo)為例討論：設(shè)平板波導(dǎo)中的簡諧光波被引導(dǎo)著向z方向傳輸，傳輸常數(shù)為光波電磁場的表示為：2023/2/1123平板波導(dǎo)的二維近似：折射率階躍分布，電場和磁場滿足的Helmholtz方程：不同的傳輸常數(shù)對應(yīng)于不同的模式，如圖2.2-1所示。當(dāng)----即在平板波導(dǎo)的三層中，光電場沿x方向都是指數(shù)形式變化，并且由于在兩個界面上場分量及其導(dǎo)數(shù)必須匹配，得到的場分布如圖所示，無限增大，在物理上不能實(shí)現(xiàn)。如圖(a)2023/2/1124當(dāng)----場沿橫向?yàn)檎倚问?，而在覆蓋層和襯底內(nèi)為指數(shù)衰減形式，這些模式攜帶的能量被限制在波導(dǎo)芯層及其表明附近，此為導(dǎo)模。如圖(b)(c)當(dāng)----在芯層和襯底內(nèi)場沿橫向?yàn)檎倚问?，而在覆蓋層內(nèi)為指數(shù)衰減形式。此為襯底輻射模。如圖(d)當(dāng)-----在所有三個區(qū)域內(nèi)光場沿橫向方向都是正弦形式，此為波導(dǎo)輻射模，如圖(e)n1n2n3bk0n1k0n2k0n32023/2/11272、導(dǎo)模在平板波導(dǎo)中存在兩種基本導(dǎo)模，即TE導(dǎo)模和TM導(dǎo)模，TE導(dǎo)模的電場強(qiáng)度平行于波導(dǎo)橫截面，TM導(dǎo)模的磁場強(qiáng)度平行于介質(zhì)波導(dǎo)橫截面，平板中的其他光場均可視為這兩種模式的線性疊加。（1）TE導(dǎo)模TE導(dǎo)模的場分量有其他分量都為零而：由-----所以只討論在直角坐標(biāo)系中所滿足的方程為：2023/2/1128平板波導(dǎo)的二維近似：方程標(biāo)量式：因?qū)Ｔ诓▽?dǎo)芯層呈駐波分布，在覆蓋層和襯底內(nèi)呈指數(shù)衰減，方程的解有如下形式：-----將解的形式代入方程2023/2/1129可得：另：場解必須在x=0和x=-a處滿足電場切向分量連續(xù)的邊界條件，即：而由磁場分量連續(xù)（一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)）可得：2023/2/1130消去可得本征方程與射線光學(xué)理論得到的方程完全相同。在覆蓋層和襯底中沿著x方向?yàn)橹笖?shù)衰減，衰減系數(shù)為p,q2023/2/1131平板波導(dǎo)的有效厚度：上述導(dǎo)模光場的分布特性表明：（1）導(dǎo)模光場被限制在波導(dǎo)芯層及其附近，沿著z方向傳播，故導(dǎo)模是表面波；（2）高階模的穿透深度大于低階模；（3）包層和芯層的折射率相差越大，場在包層中的衰減越快，電磁場集中得越好。（4）模階數(shù)m=節(jié)點(diǎn)數(shù)（場量為0的點(diǎn)）2023/2/1132對于給定的導(dǎo)模，其時間平均功率流為：式中：Re[]表示取實(shí)部，*表示取復(fù)共軛，下標(biāo)z表示沿z方向的分量，積分遍及波導(dǎo)的無限大橫截面。2023/2/1133m＝0，1，2模式的波沿波導(dǎo)y方向的電場分布2023/2/1134（2）TM導(dǎo)模TM導(dǎo)模的場分量有:其他場分量：采用與TE導(dǎo)模相似的方法求得TM導(dǎo)模的場分量2023/2/1135相應(yīng)的場分量由：另：場解必須在x=0和x=-a界面處滿足連續(xù)的邊界條件，可得：本征方程為：如果場分布中的p值變?yōu)樘摂?shù)，則表示場在襯底中沿x方向不再衰減，即出現(xiàn)了襯底輻射模。為導(dǎo)模的截止條件。2023/2/11363、輻射模（1）TE輻射模即：導(dǎo)模截止，出現(xiàn)襯底輻射模。對于TE襯底輻射模，光場在芯層和襯底沿橫向均為駐波形式，在覆蓋層為衰減形式，場分量表達(dá)式為：利用邊界條件：簡化運(yùn)算后得到輻射模的本征方程（色散方程）：2023/2/1137與導(dǎo)模不同的是，色散方程得到的是連續(xù)譜。波導(dǎo)輻射模，光場在波導(dǎo)芯層、襯底及覆蓋層均為駐波形式。利用邊界條件可得出波導(dǎo)輻射模也是連續(xù)譜。（1）TM輻射模與TE輻射模的討論方法相同，結(jié)果書上P222023/2/11384、泄露模、消失模（1）泄露模---離散譜由前面射線光學(xué)理論知道，泄露模場在芯層內(nèi)沿z方向傳輸并衰減（傳播常數(shù)為復(fù)數(shù)），沿x方向具有部分駐波性質(zhì)，在襯底和覆蓋層內(nèi)沿z方向傳輸并衰減，具有導(dǎo)模場的表示式，但與導(dǎo)模不同的是，-----都是復(fù)數(shù)泄露模場振幅沿芯層表明外法線方向指數(shù)遞增，不滿足無窮遠(yuǎn)的邊界條件，泄露模不是正常模式。所以簡正模式展開時，可以略去泄露模。色散方程書上P222023/2/1139（2）消失模------連續(xù)譜消失模的入射角為零，場在芯層的上、下界面均有反射和透射，與輻射模相似，但與輻射模不同的是：--------為純虛數(shù)消失模不能沿z方向傳輸。2023/2/11402.3模式的正交性和完備性平板波導(dǎo)的波動光學(xué)理論：

通常采用求解本征值問題的方法，求解平板波導(dǎo)滿足邊界條件的波動方程，得到平板波導(dǎo)中能夠獨(dú)立傳輸?shù)暮喺９鈭?，而一般光場則可以看成是這些簡正波的線性疊加（完備性）。

所以簡正模理論指出：平板波導(dǎo)中的簡正模式具有穩(wěn)定性、有序性、疊加性和正交性。（1）模式的正交性導(dǎo)模（離散）的正交性：正交性表明：無損介質(zhì)波導(dǎo)中每一個模式都獨(dú)立地傳播功率，不同模式之間不能發(fā)生能量交換，或者說它們之間是正交的，而波導(dǎo)中的傳播的光波場總功率是每一個獨(dú)立攜帶的光功率之和。2023/2/1141輻射模（連續(xù)譜）的正交性：----為狄拉克函數(shù)一維狄拉克函數(shù)定義：不在區(qū)域V中，在區(qū)域V中，2023/2/1142（1）模式的完備性前面知道：導(dǎo)模、輻射模、泄露模和消失模都是平板波導(dǎo)中波動方程的解，都滿足平板波導(dǎo)的邊界條件。但泄露模不滿足無限遠(yuǎn)處的邊界條件，消失模不能沿z方向傳輸，所以泄露模和消失模不是正常模。在平板波導(dǎo)中，導(dǎo)模和輻射模構(gòu)成了一個正交、完備的簡正模系，平板波導(dǎo)中的任意光場分布都可以看成這組正交模的線性組合。換句話說，在平板波導(dǎo)中傳輸?shù)娜魏喂獠ǚ植?，都可以看成這些簡正模的光電磁場以一定的振幅、相位分布疊加而成。2023/2/11432023/2/11442.4非理想波導(dǎo)中的模式耦合前面討論光在理想、無耗平板波導(dǎo)中的傳輸特性。如果平板波導(dǎo)中存在缺陷或某種擾動，則可以根據(jù)波動光學(xué)的耦合模理論處理：理想波導(dǎo)的不同簡正模式之間可能發(fā)生能量轉(zhuǎn)換或耦合，各個模式在傳播過程中將發(fā)生變化；如果若干個有缺陷的波導(dǎo)彼此之間的距離很近，則一個波導(dǎo)中的部分光能量有可能傳到另一個波導(dǎo)中，導(dǎo)致不同波導(dǎo)之間的模式耦合。模式的耦合一方面會引起波導(dǎo)中光傳輸功率的衰減和傳輸信號的畸變，而另一方面對于波導(dǎo)中光傳輸?shù)淖儞Q與控制又有非常重要的意義。2023/2/11451、耦合模理論在理想平板波導(dǎo)中，介質(zhì)的介電常數(shù)：當(dāng)波導(dǎo)存在彎曲、表面皺紋等不完善時，介電常數(shù)將隨z變化。與z無關(guān)可用耦合模理論討論光在平板波導(dǎo)中的傳輸特性。耦合模理論的基本思想是：把介電常數(shù)的這種變化，看成對理想波導(dǎo)的擾動：-----導(dǎo)致理想平板波導(dǎo)簡正模的傳輸發(fā)生變化設(shè)：未受微擾波導(dǎo)（理想波導(dǎo)）中傳輸?shù)暮喺椋合聵?biāo)m為模式的階數(shù)其滿足波動方程：代入化簡得：-------（1）2023/2/1146波動方程：且滿足正交性，波導(dǎo)中傳輸?shù)娜我夤鈭隹梢杂煤喺５木€性組合表示：展開系數(shù)為常數(shù)。當(dāng)波導(dǎo)存在微擾時：光波中的電場仍可以表示成理想波導(dǎo)簡正模的疊加：其中展開系數(shù)：隨z變化。代入得到2023/2/1147利用：可得：假定波導(dǎo)擾動很弱，因此模式振幅變化緩慢，上式簡化成：2023/2/1148上式兩邊點(diǎn)乘并對所有的x,y積分，利用簡正模的正交性關(guān)系，可得：------此為耦合模理論的基本方程；描述了光波沿平板波導(dǎo)傳輸時各個模式振幅的演變2023/2/1149可見:（1）平板波導(dǎo)中任意第k個模式振幅的演變起因于介質(zhì)微擾（2）介質(zhì)微擾的存在，使得第k個模式和第m個模式相關(guān)，因此導(dǎo)致平板波導(dǎo)傳輸?shù)哪Ｊ街g產(chǎn)生了耦合。（3）只要給出耦合問題中微擾的具體表達(dá)式，就可求出平板波導(dǎo)中傳輸模式的振幅，進(jìn)而求得具體解。2023/2/11502、周期性平板波導(dǎo)由一個界面的周期性結(jié)構(gòu)造成的周期性平板波導(dǎo)，如圖所示。這種周期性平板波導(dǎo)可用于光學(xué)濾波器、分布反饋激光器，也是許多集成光學(xué)元件的基礎(chǔ)。方形波周期性結(jié)構(gòu)：電介質(zhì)微擾：2023/2/1151其中：利用傅里葉變換，可將電介質(zhì)微擾表示為：其中：為第l級傅里葉分量，其表達(dá)式為：2023/2/1152對于“方形波”平板波導(dǎo)：是標(biāo)量，周期性結(jié)構(gòu)只能使得TE模與TE模耦合，或者TM模與TM模耦合，必須滿足匹配條件：某一第m階模的傳播常數(shù)與第k階模的傳播常數(shù)滿足下列條件：是某一整數(shù)。-------此時，第m階模將與第K階模經(jīng)由周期性擾動的第

級傅里葉分量發(fā)生共振耦合，不滿足這個條件的模式與第k階模不發(fā)生耦合。2023/2/1153（1）、周期性平板波導(dǎo)中的同向耦合在多模波導(dǎo)中，對于沿相同方向傳輸?shù)哪硟蓚€模式：以及某個整數(shù),如果表面結(jié)構(gòu)的周期足夠大，可以使：只要耦合系數(shù)不為零，這兩個模式將發(fā)生強(qiáng)烈耦合。則這兩個耦合模的模式振幅隨z的變化可表示為：耦合系數(shù)：是電介質(zhì)微擾的第l級傅里葉分量2023/2/1154相位失配因子：兩個模式所攜帶的總功率應(yīng)當(dāng)守恒：即當(dāng)滿足：兩模式之間可以發(fā)生完全的功率交換，稱為相位匹配，此時：從模式1耦合到模式2的功率分?jǐn)?shù)為：2023/2/1155同向模式耦合的功率交換如圖所示。P27同向模式耦合還與頻率有關(guān)，設(shè)：是與耦合模相關(guān)的模折射率，即：是時的頻率，則，頻帶寬度為：為模折射率之差，通常比n小得多，因此同向耦合的帶寬較大。2023/2/1156（2）、周期性平板波導(dǎo)中的逆向耦合若微擾的周期使得s階模的傳播常數(shù)和某整數(shù)有關(guān)系：則s階模式（）與其反射模()滿足相位匹配條件：它們之間發(fā)生強(qiáng)烈耦合。逆向耦合方程為：式中：2023/2/1157在微擾區(qū)，入射模和反射模所攜帶的總功率守恒，即：根據(jù)逆向耦合波導(dǎo)的邊界條件，寫出方程的通解，再利用電介質(zhì)微擾的傅里葉分量，可得到耦合系數(shù)。實(shí)際上：總是選擇周期，使得對某一特定的有當(dāng)：有：其中：為s階模的波導(dǎo)波長。周期性波導(dǎo)中入射模與反射模之間的功率交換在微擾區(qū)內(nèi)：入射模的功率沿z方向指數(shù)衰減；而反射模的功率則指數(shù)上升，這種反射也稱為布拉格反射2023/2/1159與同向耦合相同，布拉格反射也與頻率有關(guān)。其中n為導(dǎo)模的模折射率（即：）帶寬：與同向耦合的帶寬相比較：因?yàn)椋核裕阂詫?dǎo)模的布拉格反射為基礎(chǔ)的濾波器帶寬很窄。2023/2/11603、波導(dǎo)間的模式耦合波導(dǎo)定向耦合器、波導(dǎo)衰減器等許多無源器件，都是基于這種波導(dǎo)間的模式