一元函數(shù)微分

原式是否可按下述方法作:例.證明函數(shù)在x=0不可導(dǎo).證:不存在,例.

設(shè)存在,求極限解:

原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:

因?yàn)?.設(shè)存在,且求所以機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2012真題設(shè)函數(shù)A

BCD練習(xí)函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系定理1.證:設(shè)在點(diǎn)x

處可導(dǎo),存在,因此必有其中故所以函數(shù)在點(diǎn)x

連續(xù).注意:

函數(shù)在點(diǎn)x連續(xù)未必可導(dǎo).反例:在

x=0處連續(xù),

但不可導(dǎo).即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在處連續(xù),且存在，證明:在處可導(dǎo).證：因?yàn)榇嬖?，則有又在處連續(xù),所以即在處可導(dǎo).設(shè)故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,問(wèn)a

取何值時(shí),在都存在,并求出解:故時(shí)此時(shí)在都存在,顯然該函數(shù)在x=0連續(xù).機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、四則運(yùn)算求導(dǎo)法則

定理1.的和、差、積、商(除分母為0的點(diǎn)外)都在點(diǎn)x

可導(dǎo),且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理.y的某鄰域內(nèi)單調(diào)可導(dǎo),證:在

x

處給增量由反函數(shù)的單調(diào)性知且由反函數(shù)的連續(xù)性知因此機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束在點(diǎn)x

可導(dǎo),四、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則定理.在點(diǎn)可導(dǎo)復(fù)合函數(shù)且在點(diǎn)x

可導(dǎo),證:在點(diǎn)

u可導(dǎo),故（當(dāng)時(shí))故有機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例如,關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu),由外向內(nèi)逐層求導(dǎo).推廣：此法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求反三角函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解:1)設(shè)則類似可求得利用,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)設(shè)則特別當(dāng)時(shí),小結(jié):機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.

求下列導(dǎo)數(shù):解:(1)(2)(3)說(shuō)明:

類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.設(shè)求解:思考:

若存在,如何求的導(dǎo)數(shù)?這兩個(gè)記號(hào)含義不同練習(xí):

設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.設(shè)解:記則(反雙曲正弦)的反函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例6.求解:例8.設(shè)解:求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例8.求解:關(guān)鍵:

搞清復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例9.設(shè)求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是

x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù)

.則稱此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)(含導(dǎo)數(shù)的方程)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:

方程兩邊對(duì)

x

求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求的導(dǎo)數(shù).解:兩邊取對(duì)數(shù),化為隱式兩邊對(duì)x

求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束

1)對(duì)冪指函數(shù)可用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo):說(shuō)明:按指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式按冪函數(shù)求導(dǎo)公式注意:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)有些顯函數(shù)用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)很方便.例如,兩邊取對(duì)數(shù)兩邊對(duì)

x求導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又如,

對(duì)x

求導(dǎo)兩邊取對(duì)數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束六、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)

y

與

x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)看成x

是

y的函數(shù))關(guān)系,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.

設(shè)由方程確定函數(shù)求解:

方程組兩邊對(duì)t

求導(dǎo),得故機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n

階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)推導(dǎo)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.求解:

設(shè)則代入萊布尼茲公式,得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束設(shè)求解:依次類推,例1.思考:

設(shè)問(wèn)可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.

設(shè)求解:一般地,類似可證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例5.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)(1)逐階求導(dǎo)法(2)利用歸納法(3)間接法——利用已知的高階導(dǎo)數(shù)公式(4)利用萊布尼茲公式高階導(dǎo)數(shù)的求法如,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.

如何求下列函數(shù)的

n

階導(dǎo)數(shù)?解:解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束(3)提示:

令原式原式機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束微分運(yùn)算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.求解:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束方程兩邊求微分,得已知求解：2.習(xí)題課目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.已知求解：因?yàn)樗詸C(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束應(yīng)用切線，法線；單調(diào)性；凸凹性，拐點(diǎn)；極值，最值；漸近線；曲率一、函數(shù)單調(diào)性的判定法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).證:

無(wú)妨設(shè)任取由拉格朗日中值定理得故這說(shuō)明在I

內(nèi)單調(diào)遞增.在開區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢例1.問(wèn)曲線哪一點(diǎn)有垂直切線?哪一點(diǎn)處的切線與直線平行?寫出其切線方程.解:令得對(duì)應(yīng)則在點(diǎn)(1,1),(–1,–1)處與直線平行的切線方程分別為即故在原點(diǎn)(0,0)有垂直切線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:令得故的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定義.

設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上連續(xù),(1)若恒有則稱圖形是凹的;(2)若恒有則稱連續(xù)曲線上有切線的凹凸分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn)

.圖形是凸的.二、曲線的凹凸與拐點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求曲線的拐點(diǎn).解:不存在因此點(diǎn)(0,0)

為曲線的拐點(diǎn).凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、函數(shù)的極值及其求法定義:在其中當(dāng)時(shí),(1)則稱為的極大點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極大值

;(2)則稱為的極小點(diǎn)

,稱為函數(shù)的極小值

.極大點(diǎn)與極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)

.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束注意:為極大點(diǎn)為極小點(diǎn)不是極值點(diǎn)2)對(duì)常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或

不存在的點(diǎn).1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如為極大點(diǎn),是極大值是極小值為極小點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理1

(極值第一判別法)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,(自證)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束點(diǎn)擊圖中任意處動(dòng)畫播放\暫停例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點(diǎn)令得令得3)列表判別是極大點(diǎn)，其極大值為是極小點(diǎn)，其極小值為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束四、最大值與最小值問(wèn)題則其最值只能在極值點(diǎn)或端點(diǎn)處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(diǎn)(2)

最大值最小值機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個(gè)極值可疑點(diǎn)時(shí),

當(dāng)在上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到.若在此點(diǎn)取極大值,則也是最大值.(小)

對(duì)應(yīng)用問(wèn)題,有時(shí)可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的可疑點(diǎn)是否為最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn).(小)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:

顯然且故函數(shù)在取最小值0;在及取最大值5.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)1.設(shè)則在點(diǎn)a

處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點(diǎn)處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D提示:

利用極限的保號(hào)性.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.

設(shè)是方程的一個(gè)解,若且則在(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)在某鄰域內(nèi)單調(diào)增加;(D)在某鄰域內(nèi)單調(diào)減少.提示:A機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束試問(wèn)為何值時(shí),在時(shí)取得極值,還是極小.解:

由題意應(yīng)有又取得極大值為備用題1.求出該極值,并指出它是極大機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束試求解:2.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束故所求最大值為1.水平與鉛直漸近線若則曲線有水平漸近線若則曲線有垂直漸近線例1.

求曲線的漸近線.解:為水平漸近線;為垂直漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.斜漸近線斜漸近線若機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.

求曲線的漸近線.解:所以有鉛直漸近線及又因?yàn)榍€的斜漸近線.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束五、函數(shù)圖形的描繪步驟:1.確定函數(shù)的定義域,期性;2.求并求出及3.列表判別增減及凹凸區(qū)間,求出極值和拐點(diǎn);4.求漸近線;5.確定某些特殊點(diǎn),描繪函數(shù)圖形.為0和不存在的點(diǎn);并考察其對(duì)稱性及周機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例.描繪方程的圖形.解:1)定義域?yàn)?)求關(guān)鍵點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3)判別曲線形態(tài)(極大)(極小)4)求漸近線為鉛直漸近線無(wú)定義機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束又因即5)求特殊點(diǎn)為斜漸近線機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束6）繪圖(極大)(極小)斜漸近線鉛直漸近線特殊點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束無(wú)定義思考與練習(xí)

1.曲線(A)沒有漸近線；(B)僅有水平漸近線；(C)僅有鉛直漸近線；(D)既有水平漸近線又有鉛直漸近線.提示:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束公式①稱為的n

階泰勒公式

.公式②稱為n

階泰勒公式的拉格朗日余項(xiàng)

.泰勒中值定理:階的導(dǎo)數(shù),時(shí),有①其中②則當(dāng)泰勒目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束公式③稱為n

階泰勒公式的佩亞諾(Peano)余項(xiàng)

.在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí),泰勒公式可寫為注意到③④*可以證明:④式成立機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束稱為麥克勞林（Maclaurin

）公式.則有在泰勒公式中若取則有誤差估計(jì)式若在公式成立的區(qū)間上麥克勞林目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由此得近似公式二、幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束類似可得其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束其中機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束已知其中類似可得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2.利用泰勒公式求極限例3.

求解:由于用洛必塔法則不方便

!用泰勒公式將分子展到項(xiàng),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束思考與練習(xí)

計(jì)算解:原式第四節(jié)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束3.利用泰勒公式證明不等式例4.

證明證:機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束由題設(shè)對(duì)證:備用題

1.有且機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下式減上式,得令機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束羅爾（Rolle

）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若M>

m,則M和m

中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使注意:1)定理?xiàng)l件條件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如,則由費(fèi)馬引理得機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束使2)定理?xiàng)l件只是充分的.本定理可推廣為在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明提示:

設(shè)證

F(x)在[a,b]上滿足羅爾定理.

機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.

證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由介值定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使思路:利用逆向思維找出一個(gè)滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立.拉氏目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束證畢例2.

證明等式證:

設(shè)由推論可知

(常數(shù))令x=0,得又故所證等式在定義域上成立.自證:經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在

I

上機(jī)動(dòng)目錄