第8章 假設(shè)檢驗(修改)

第8章假設(shè)檢驗了解假設(shè)檢驗的基本思想掌握假設(shè)檢驗的步驟對實際問題作假設(shè)檢驗學(xué)習(xí)目標：8.1假設(shè)檢驗的基本問題8.1.1假設(shè)檢驗問題的提出8.1.2假設(shè)的表達式8.1.3兩類錯誤8.1.4假設(shè)檢驗的流程假設(shè)檢驗問題的提出現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常作出的論斷：上海2006年畢業(yè)生首月平均工資2317元我們學(xué)校去年的cet-4合格率為98%上月參與購買彩票的彩民中，80%以上的中獎額在100元以下？上述內(nèi)容都是關(guān)于總體參數(shù)的一種陳述；如果根據(jù)樣本資料得到的樣本指標與它不符，是否能夠說明假設(shè)是錯誤的假設(shè)檢驗問題的提出假設(shè)假設(shè)檢驗的例子[例8.1]可口可樂公司生產(chǎn)的雪碧飲料標簽說明其容量為250ml，標準差4ml?，F(xiàn)在從市場上隨機抽取50瓶，發(fā)現(xiàn)飲料平均容量為248ml。能否據(jù)此判定可口可樂公司的產(chǎn)品有欺詐行為？問題8.1的分析產(chǎn)品的標簽意味著產(chǎn)品總體的平均數(shù)為μ=250ml，總體的標準差σ=4ml。調(diào)查的樣本平均數(shù)為=248ml2ml的差距原因可能源于抽樣誤差廠商不誠信那么，如何區(qū)別這兩種原因呢？統(tǒng)計上就可以對其進行假設(shè)檢驗假設(shè)檢驗—假定來源于第一種原因因為抽樣誤差是我們能夠計算和控制的，因此假設(shè)樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)的差距完全是由于抽樣誤差引起的；根據(jù)抽樣推斷的理論，給定概率保證度，可以確定z的大小，使得下面的式子可以接受：例如，當概率保證度為99%時，zα/2=2.58。小概率事件：在一次試驗中，幾乎不可能發(fā)生的事件。例題的檢驗與結(jié)論由已知，說明，經(jīng)過一次抽樣(試驗)，小概率事件發(fā)生了，這違背了小概率事件的原理。問題出現(xiàn)在哪里？假設(shè)不成立，即2ml的差距不僅僅是由于抽樣誤差引起的，很有可能(99%)是廠商的缺斤少兩。假設(shè)檢驗的基本思想事先對總體參數(shù)或分布形式作出某種假設(shè)，然后利用樣本信息來判斷原假設(shè)是否成立采用邏輯上的反證法，依據(jù)統(tǒng)計上的小概率原理小概率原理：如果對總體的某種假設(shè)是真實的，那么不利于或不能支持這一假設(shè)的事件A（小概率事件）在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生的；如果在一次試驗中A竟然發(fā)生了，就有理由懷疑該假設(shè)的真實性，拒絕這一假設(shè)。假設(shè)的表達形式原假設(shè)什么是原假設(shè)？(nullhypothesis)待檢驗的假設(shè)，又稱“0假設(shè)”研究者想收集證據(jù)予以反對的假設(shè)3. 總是有等號,或4. 表示為H0，如：H0：

某一數(shù)值例如,H0：

250ml什么是備擇假設(shè)？(alternativehypothesis)與原假設(shè)對立的假設(shè)，也稱“研究假設(shè)”研究者想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)總是有不等號:

,

或表示為H1H1：

<某一數(shù)值，或某一數(shù)值例如,H1：

<250ml，或250ml備擇假設(shè)假設(shè)檢驗的流程提出假設(shè)確定適當?shù)臋z驗統(tǒng)計量規(guī)定顯著性水平計算檢驗統(tǒng)計量的值；作出統(tǒng)計決策假設(shè)檢驗的流程11提出有關(guān)總體參數(shù)的假設(shè)：一般包含兩部分：原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1根據(jù)問題的不同，假設(shè)提出的形式有所不同：對前面的例題分別提出不同的假設(shè):目的不同

雙側(cè)檢驗：H0：μ=μ0

，H1：μ≠μ0單側(cè)檢驗：H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0

H0：μ≤μ0

，H1：μ＞μ0雙側(cè)檢驗與單側(cè)檢驗

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問題雙側(cè)檢驗左側(cè)檢驗右側(cè)檢驗H0m=m0m

m0m

m0H1m≠m0m<m0m>m0雙側(cè)檢驗

(原假設(shè)與備擇假設(shè)的確定)概念：屬于決策中的假設(shè)檢驗，不論是拒絕H0還是不拒絕H0，都必需采取相應(yīng)的行動措施例如，某種零件的尺寸，要求其平均長度為10cm，大于或小于10cm均屬于不合格我們想要證明(檢驗)大于或小于這兩種可能性中的任何一種是否成立因此，建立的原假設(shè)與備擇假設(shè)應(yīng)為

H0:

=10H1:

10雙側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)抽樣分布H0值臨界值臨界值a/2a/2

樣本統(tǒng)計量拒絕域拒絕域1-置信水平單側(cè)檢驗：左側(cè)檢驗

(顯著性水平與拒絕域)H0值臨界值a樣本統(tǒng)計量拒絕域抽樣分布1-置信水平H0：μ≥μ0

，H1：μ＜μ0假設(shè)檢驗的流程22設(shè)計檢驗統(tǒng)計量設(shè)計要求：所設(shè)計的檢驗統(tǒng)計量應(yīng)該與總體參數(shù)有關(guān)當H0為真時，該統(tǒng)計量的真實分布已知假設(shè)檢驗的流程3，43給定顯著性水平和相應(yīng)的臨界值顯著性水平α的含義：

H0為真時，拒絕H0的概率α通常的取值α所確定的H0的接收域和拒絕域C

相同的α對于單尾檢驗和雙尾檢驗確定的區(qū)域不同4根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計算統(tǒng)計量，并做出決策假設(shè)檢驗中的兩類錯誤假設(shè)檢驗的兩類錯誤和檢驗規(guī)則檢驗決策H0為真H0非真

拒絕H0

第I類錯誤（α）正確 接受H0正確第II類錯誤（β） I類錯誤——棄真錯誤，發(fā)生的概率為αII類錯誤——取偽錯誤，發(fā)生的概率為β審判被告原假設(shè)：被告無罪，備擇假設(shè)：被告有罪。法庭可能犯的第Ⅰ類錯誤是：被告無罪但判他有罪，即冤枉了好人；法庭可能犯的第Ⅱ類錯誤是：被告有罪但判他無罪，即放過了壞人。為了減少冤枉好人的概率，應(yīng)盡可能接受原假設(shè)，判被告無罪，這可能增大了放過壞人的概率。US法庭采用無罪推定的審判準則真實情況:樣本來自μ=μ0的總體真實情況:樣本來自μ=μ1的總體接受H0:μ=μ0拒絕H0判斷正確判斷錯誤(II)判斷錯誤(I)判斷正確8.2一個總體參數(shù)的檢驗8.2.1檢驗統(tǒng)計量的確定8.2.2總體均值的檢驗8.2.3總體比例的檢驗8.2.4總體方差的檢驗檢驗統(tǒng)計量的確定假設(shè)檢驗最關(guān)鍵的步驟：設(shè)計合適的檢驗統(tǒng)計量，其一般形式：檢驗統(tǒng)計量的設(shè)計，主要考慮下面的因素：1樣本容量2總體標準差是否已知一個總體參數(shù)的檢驗Z檢驗（單尾和雙尾）t檢驗（單尾和雙尾）Z檢驗（單尾和雙尾）

2檢驗（單尾和雙尾）均值一個總體比例方差總體均值檢驗總體均值的檢驗

(檢驗統(tǒng)計量)總體是否已知？用樣本標準差S代替t檢驗小樣本量n否是z檢驗

z檢驗大總體均值的檢驗

(2

已知或2未知大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布若不服從正態(tài)分布,可用正態(tài)分布來近似(n30)使用Z-統(tǒng)計量2

已知：2

未知：2

已知均值的檢驗

(例題分析)【例】某機床廠加工一種零件，根據(jù)經(jīng)驗知道，該廠加工零件的橢圓度近似服從正態(tài)分布，其總體均值為0=0.081mm，總體標準差為=0.025

。今換一種新機床進行加工，抽取n=200個零件進行檢驗，得到的橢圓度為0.076mm。試問新機床加工零件的橢圓度的均值與以前有無顯著差異？（＝0.05）2

已知均值的檢驗

(例題分析)H0:

=0.081H1:

0.081

=

0.05n

=

200臨界值:檢驗統(tǒng)計量:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025決策:結(jié)論:

在

=0.05的水平上拒絕H0有證據(jù)表明新機床加工的零件的橢圓度與以前有顯著差異2

已知均值的檢驗

(小樣本例題分析)【例】根據(jù)過去大量資料，某廠生產(chǎn)的燈泡的使用壽命服從正態(tài)分布N~(1020，1002)。現(xiàn)從最近生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中隨機抽取16只，測得樣本平均壽命為1080小時。試在0.05的顯著性水平下判斷這批產(chǎn)品的使用壽命是否有顯著提高？(＝0.05)2

已知均值的檢驗

(小樣本例題分析)H0:

1020H1:>1020

=

0.05n

=

16臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上拒絕H0有證據(jù)表明這批燈泡的使用壽命有顯著提高決策:結(jié)論:Z0拒絕域0.051.6452

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某電子元件批量生產(chǎn)的質(zhì)量標準為平均使用壽命1200小時。某廠宣稱他們采用一種新工藝生產(chǎn)的元件質(zhì)量大大超過規(guī)定標準。為了進行驗證，隨機抽取了100件作為樣本，測得平均使用壽命1245小時，標準差300小時。能否說該廠生產(chǎn)的電子元件質(zhì)量顯著地高于規(guī)定標準？(＝0.05)單側(cè)檢驗2

未知大樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:1200H1:>1200

=

0.05n=

100臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該廠生產(chǎn)的元件壽命顯著地高于1200小時決策:結(jié)論:Z0拒絕域0.051.645總體均值的檢驗

(2未知小樣本)1. 假定條件總體為正態(tài)分布2未知，且小樣本2. 使用t

統(tǒng)計量2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)【例】某機器制造出的肥皂厚度為5cm，今欲了解機器性能是否良好，隨機抽取10塊肥皂為樣本，測得平均厚度為5.3cm，標準差為0.3cm，試以0.05的顯著性水平檢驗機器性能良好的假設(shè)。2

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)H0:=5H1:

5

=0.05df=10-1=9臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上拒絕H0說明該機器的性能不好

決策：結(jié)論：t02.262-2.262.025拒絕H0拒絕H0.0252

未知小樣本均值的檢驗

(例題分析)

【例】一個汽車輪胎制造商聲稱，某一等級的輪胎的平均壽命在一定的汽車重量和正常行駛條件下大于40000公里，對一個由20個輪胎組成的隨機樣本作了試驗，測得平均值為41000公里，標準差為5000公里。已知輪胎壽命的公里數(shù)服從正態(tài)分布，我們能否根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出結(jié)論，該制造商的產(chǎn)品同他所說的標準相符？(

=0.05)均值的單尾t檢驗

(計算結(jié)果)H0:

40000H1:

<40000

=0.05df=20-1=19臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為制造商的產(chǎn)品同他所說的標準不相符決策:

結(jié)論:

-1.7291t0拒絕域.05總體比例的檢驗

(Z

檢驗)一個總體比例檢驗假定條件有兩類結(jié)果總體服從二項分布可用正態(tài)分布來近似比例檢驗的Z統(tǒng)計量0為假設(shè)的總體比例一個總體比例的檢驗

(例題分析)【例】一項統(tǒng)計結(jié)果聲稱，某市老年人口（年齡在65歲以上）的比重為14.7%，該市老年人口研究會為了檢驗該項統(tǒng)計是否可靠，隨機抽選了400名居民，發(fā)現(xiàn)其中有57人年齡在65歲以上。調(diào)查結(jié)果是否支持該市老年人口比重為14.7%的看法？(=0.05)一個總體比例的檢驗

(例題分析)H0:

=14.7%H1:

14.7%

=0.05n

=400臨界值(s):檢驗統(tǒng)計量:在

=0.05的水平上不拒絕H0該市老年人口比重為14.7%決策:結(jié)論:Z01.96-1.96.025拒絕H0拒絕H0.025總體方差的檢驗

(2檢驗)方差的卡方(2)

檢驗檢驗一個總體的方差或標準差假設(shè)總體近似服從正態(tài)分布檢驗統(tǒng)計量樣本方差假設(shè)的總體方差方差的卡方(2)

檢驗

(例題分析)【例】某廠商生產(chǎn)出一種新型的飲料裝瓶機器，按設(shè)計要求，該機器裝一瓶一升(1000cm3)的飲料誤差上下不超過1cm3。如果達到設(shè)計要求，表明機器的穩(wěn)定性非常好?，F(xiàn)從該機器裝完的產(chǎn)品中隨機抽取25瓶，分別進行測定(用樣本減1000cm3)，得到如下結(jié)果。檢驗該機器的性能是否達到設(shè)計要求

(=0.05)0.3-0.4-0.71.4-0.6-0.3-1.50.6-0.91.3-1.30.71-0.50-0.60.7-1.5-0.2-1.9-0.51-0.2-0.61.1綠色健康飲品綠色健康飲品方差的卡方(2)

檢驗

(例題分析)H0:

2=1H1:

2

1

=0.05df=

25-1=24臨界值(s):統(tǒng)計量:

在

=0.05的水平上不拒絕H0不能認為該機器的性能未達到設(shè)計要求

2039.3612.40/2=.05決策:結(jié)論:8.3兩個總體參數(shù)的檢驗8.3.1檢驗統(tǒng)計量的確定8.3.2兩個總體均值之差的檢驗兩個正態(tài)總體參數(shù)的檢驗兩個總體的檢驗Z

檢驗(大樣本)t

檢驗(小樣本)t

檢驗(小樣本)Z檢驗F

檢驗均值比例方差獨立樣本總體均值之差的檢驗兩個總體均值之差的檢驗

(12、22

已知)1. 假定條件兩個樣本是獨立的隨機樣本兩個總體都是正態(tài)分布若不是正態(tài)分布,可以用正態(tài)分布來近似(n130和n230)檢驗統(tǒng)計量為兩個總體均值之差的檢驗

(假設(shè)的形式)假設(shè)研究的問題沒有差異有差異均值1均值2均值1<均值2均值1均值2均值1>均值2H0

1–2=0

1–20

1–20H1

1–20

1–2<0

1–2>0兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)

雙側(cè)檢驗！【例】有兩種方法可用于制造某種以抗拉強度為重要特征的產(chǎn)品。根據(jù)以往的資料得知，第一種方法生產(chǎn)出的產(chǎn)品其抗拉強度的標準差為8公斤，第二種方法的標準差為10公斤。從兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品中各抽取一個隨機樣本，樣本量分別為n1=32，n2=40，測得x1=50公斤，x2=44公斤。問這兩種方法生產(chǎn)的產(chǎn)品平均抗拉強度是否有顯著差別？(=0.05)兩個總體均值之差的檢驗

(例題分析)H0:

1-2=0H1:1-2

0

=

0.05n1