二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用

..二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中應(yīng)用__數(shù)學(xué)1403__王琪學(xué)號(hào):14404337..二項(xiàng)式定理在數(shù)列求和中的應(yīng)用[摘要]本文利用二項(xiàng)式定理和楊輝三角的內(nèi)在聯(lián)系,結(jié)合組合不等式,推導(dǎo)出形如的前n項(xiàng)和的公式,并給出求更高次求和公式的一般方法。[關(guān)鍵詞]二項(xiàng)式定理組合數(shù)方程的根系數(shù)一、項(xiàng)式定理和楊輝三角介紹：1,二項(xiàng)式定理：其中叫做二項(xiàng)式系數(shù)。2,楊輝三角：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用非常廣泛,也很重要,主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一是它所揭示的方法富有啟發(fā)性;二是它與高等數(shù)學(xué)聯(lián)系緊密.學(xué)習(xí)與掌握它,既有利于培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想和抽象思維的能力,也有利于其今后進(jìn)一步的學(xué)習(xí).二項(xiàng)式定理在中國被稱為"賈憲三角"或"楊輝三角",一般認(rèn)為是北宋數(shù)學(xué)家賈憲所首創(chuàng).它記載于楊輝的《詳解九章算法》〔1261之中.在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西的著作《算數(shù)之鑰》〔1427中也給出了一個(gè)二項(xiàng)式定理系數(shù)表,他所用的計(jì)算方法與賈憲的完全相同.在歐洲,德國數(shù)學(xué)家阿皮安努斯在他1527年出版的算數(shù)書的封面上刻有此圖,但一般稱之為"帕斯卡三角形".因?yàn)榕了箍ㄔ?654年也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)結(jié)果.而在1664年和1665年間,也就是由于瘟疫流行而迫使牛頓從劍橋躲開的前夕,牛頓就開始了二項(xiàng)式定理的研究,值得注意的是,牛頓只處理了二項(xiàng)式的自乘冪是分?jǐn)?shù)或負(fù)數(shù)的情況.牛頓第一次提到二項(xiàng)式定理是在1676年6月13日他寫給奧爾登堡轉(zhuǎn)給萊布尼茲的一封信中,此后牛頓對(duì)于該定理進(jìn)行不斷的推理、猜想和證明,最終建立了二項(xiàng)式定理.牛頓在建立了二項(xiàng)式定理以后,馬上就拋棄了他以前用于求積的插值法,而把這個(gè)定理當(dāng)做確定曲線下方面積的一個(gè)最簡單最直接的方法來使用.隨著時(shí)間的推移,二項(xiàng)式定理被越來越多的人運(yùn)用,直到今天,二項(xiàng)式定理已經(jīng)是中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的重要部分,也是當(dāng)今高考的難點(diǎn)之一.二項(xiàng)式定理是在處理有關(guān)兩個(gè)元素和的方冪的問題時(shí)常常考慮到的一個(gè)重要公式,是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)基礎(chǔ)而重要的定理,在微積分、概率論、初等數(shù)論等許多數(shù)學(xué)分支中都可見其蹤影.二、二項(xiàng)式的性質(zhì)二項(xiàng)式定理：.理解二項(xiàng)式定理應(yīng)注意：〔1二項(xiàng)式中,是第一項(xiàng),是第二項(xiàng),順序不能變；〔2展開式中有項(xiàng)<比指數(shù)多1>；〔3是二項(xiàng)式系數(shù)；〔4的指數(shù)降冪,的指數(shù)是升冪,兩者的指數(shù)的和等于；〔5二項(xiàng)式展開時(shí)要注意各項(xiàng)的符號(hào)規(guī)律；〔6注意二項(xiàng)式定理的可逆性.二項(xiàng)式定理除了要注意以上幾點(diǎn)外還具有一些性質(zhì)：性質(zhì)一的二項(xiàng)展開式中,與首末兩端"等距離"的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等,即.性質(zhì)二二項(xiàng)式系數(shù)表中,除兩端以外其余位置的數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)之和,.性質(zhì)三的二項(xiàng)展開式中,所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于,即〔令即得,或用集合的子集個(gè)數(shù)的兩種計(jì)算方法結(jié)果相等來解釋.性質(zhì)四的二項(xiàng)展開式中,奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和,即〔令即得.三、重要組合恒等式:〔1,證明：=〔證畢〔2,證明〔數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)時(shí)上式左邊=1右邊是,所以是正確的。假設(shè)上式對(duì)正確即那么就有再有組合不等式〔1可得故綜上所述對(duì)于所有大于r的正整數(shù)n〔2式都是成立的。四、一元n次多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)于多項(xiàng)式若是它的n個(gè)根則有一下等式成立：〔所有i個(gè)不同的根的乘積的和五、應(yīng)用舉例為了方便應(yīng)用,〔2式也可以寫成當(dāng)r=1,2,3,4的時(shí)候上式也就是：六、歸納總結(jié)命題一：證明：兩式相減有：命題二：由乘法的定義可知：n個(gè)1相加的結(jié)果為n。命題三：證明：由二項(xiàng)式定理知：,從而：即：由此可得：即：命題四：證明：由二項(xiàng)式定理可知：,從而即：由此可得：即：命題五：證明：由二項(xiàng)式定理可知：,從而即：由此可得：即：命題六：證明：由二項(xiàng)式定理可知：,從而即：由此可得：下面我們討論一般情況下數(shù)列的和,即：由二項(xiàng)式定理可知：,從而有可得：即：至此,我們求出了連續(xù)自然數(shù)任意次方的和。推論若多項(xiàng)式他的根分別是,則他的展開式中的系數(shù)是同理展開式中的系數(shù)是：二項(xiàng)式定理有著廣泛的應(yīng)用,如果不能夠準(zhǔn)確把握其本質(zhì),則可能導(dǎo)致無法預(yù)測(cè)的結(jié)果.二項(xiàng)式定理多出現(xiàn)在高考題中,其中比較突出的就是利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式解決特定項(xiàng)問題,除此之外,二