平面幾何的產(chǎn)生與數(shù)形結(jié)合的思想

平面解析幾何的產(chǎn)生與數(shù)形結(jié)合的思想平面解析幾何的產(chǎn)生

1、平面解析幾何產(chǎn)生的背景

2、平面解析幾何產(chǎn)生的歷史

3、平面解析幾何的基本思想

4、平面解析幾何的發(fā)展

5、數(shù)形結(jié)合的思想

6、平面解析幾何的產(chǎn)生與數(shù)形結(jié)合的思想的聯(lián)系與地位1、平面解析幾何產(chǎn)生的背景

十六世紀(jì)以后，由于生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，天文、力學(xué)、航海等方面都對(duì)幾何學(xué)提出了新的需要。

比如，德國(guó)天文學(xué)家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽(yáng)沿著橢圓軌道運(yùn)行的，太陽(yáng)處在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上；

意大利科學(xué)家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運(yùn)動(dòng)的。

這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復(fù)雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應(yīng)了，這就導(dǎo)致了解析幾何的出現(xiàn)。2、平面解析幾何產(chǎn)生的歷史笛卡爾1637年，法國(guó)的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學(xué)》，一篇叫《流星學(xué)》，一篇叫《幾何學(xué)》。笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學(xué)，把算術(shù)、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來(lái)。費(fèi)爾瑪雖是一位業(yè)余數(shù)學(xué)家，在牛頓、萊布尼茲大體完成微積分之前，他是為創(chuàng)立微積分作出貢獻(xiàn)最多的人．對(duì)數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要貢獻(xiàn)。3、平面解析幾何的基本思想笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點(diǎn)，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。

具體地說(shuō)，平面解析幾何的基本思想有兩個(gè)要點(diǎn)：第一，在平面建立坐標(biāo)系，一點(diǎn)的坐標(biāo)與一組有序的實(shí)數(shù)對(duì)相對(duì)應(yīng)；第二，在平面上建立了坐標(biāo)系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個(gè)變數(shù)的一個(gè)代數(shù)方程來(lái)表示了。4、平面解析幾何的發(fā)展

歐幾里得幾何

非歐幾何

坐標(biāo)幾何

群的概念

幾何局部化

幾何整體化歐幾里得幾何歐幾里得在公元前300年左右寫了《幾何原本》。它的主要結(jié)論有兩個(gè):

(1)畢達(dá)哥拉斯定理這條定理就是我們常說(shuō)的勾股定理:設(shè)有一直角三角形，則長(zhǎng)邊的平方等于其它兩邊的平方和。

(2)三角形三內(nèi)角之和等于180°如果以弧度為單位，也可以說(shuō)三角形三內(nèi)角之和等于π。非歐幾何從三角形三內(nèi)角之和等于180°這個(gè)結(jié)論，而有接下來(lái)的重要發(fā)展:(1)球面幾何我們所討論的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一個(gè)球面三角形，在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和必然大于180°，并且有一個(gè)非常重要的公式:

A+B+C-π=S/R2(2)雙曲型的非歐幾何在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和是小于180°的，即有如下的重要公式:

A+B+C-π=-S/R2

在空間或者“平面”的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負(fù)的，像雙曲幾何。而其相對(duì)應(yīng)的三角形三內(nèi)角和，也分別有大于或小于180°的情形，不再滿足歐幾里得的平行公理，因此它們也被稱作“非歐幾何”。坐標(biāo)幾何歐幾里得幾何之后，還有一個(gè)重要的發(fā)展是坐標(biāo)幾何。有了解析幾何，即可用解析的方法進(jìn)行幾何學(xué)的討論。這樣的發(fā)展不但使幾何問(wèn)題的處理容易些，而且更有其重大的意義:

(1)解析化之后，可擴(kuò)大所研究的圖形的范圍。

(2)研究的圖形不再局限在二維的平面上，而可推廣至高維空間。群的概念群的概念，這是數(shù)學(xué)上一個(gè)基本的結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)總是要運(yùn)算，加、減、乘、除。要把一個(gè)物體從甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的結(jié)果，可經(jīng)由一次運(yùn)動(dòng)來(lái)達(dá)成；具有這個(gè)特殊性質(zhì)的，便稱為一個(gè)群，幾何學(xué)研究的對(duì)象，應(yīng)是經(jīng)運(yùn)動(dòng)群變換后不變的幾何性質(zhì)。研究幾何性質(zhì)在投影群變換之下不變的是投影幾何。

在幾何學(xué)的發(fā)展之中，有許許多多不同的幾何學(xué)，像歐幾里得幾何學(xué)、投影幾何學(xué)……及其他種種幾何學(xué)，自然就要有一個(gè)人把它綜合集結(jié)起來(lái)，他就是德國(guó)的數(shù)學(xué)家克萊因?？巳R因把幾何學(xué)建立在群的觀念上:一個(gè)空間有一個(gè)變換群，允許把空間的圖形從這個(gè)位置移到另一個(gè)位置；因此有了一個(gè)群之后，便有一種幾何，研究經(jīng)過(guò)這個(gè)變換群變換之后保持不變的所有圖形的幾何性質(zhì)。幾何局部化黎曼所創(chuàng)立的幾何把幾何局部化，可以說(shuō)是幾何學(xué)的第四個(gè)發(fā)展，這是笛卡爾坐標(biāo)幾何的自然推廣。1854年，黎曼在為取得大學(xué)教授資格的公開演講上，發(fā)表了關(guān)于黎曼幾何的第一篇論文。真正使黎曼幾何受到重視的是愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論。幾何整體化黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠(yuǎn)只在一個(gè)小區(qū)域里面，所以局部化之后又要整體化，又要把它擴(kuò)充到全空間。幾何整體化可說(shuō)是幾何學(xué)的第五個(gè)發(fā)展。而在這個(gè)整體化的擴(kuò)充中，最要緊的就是拓?fù)鋵W(xué)，即俞大維先生說(shuō)的“橡皮幾何學(xué)”。