華科數值分析期末復習總結

1期末復習總結2第一章數值計算的誤差3絕對誤差：絕對誤差x—精確值

x*—近似值則稱*為絕對誤差限/誤差限

若存在一個正數*，使得工程上通常記為：x=x*

*|e*|=|x*-

x|*

絕對誤差可能取正，也可能取負

絕對誤差

越小越具有參考價值但絕對誤差

卻不能很好地表示近似值的精確程度4相對誤差相對誤差：

x*-

x

er*=

x

若存在正數r*，使得

|er*|r*，

則稱r*為相對誤差限由于真值難以求出，通常也使用下面的定義作為相對誤差

x*-

x

er*=

x*

近似值的精確程度取決于相對誤差的大小實際計算中我們所能得到的是誤差限或相對誤差限5有效數字有效數字：若近似值x*的誤差限是某一位的半個單位（即截取按四舍五入規(guī)則）

，且該位到x*的第一位非零數字共有n

位，則稱x*有n

位有效數字x*

=

a1.a2···an10m

(a10)且有|x

-

x*|0.510m-n+1則x*有n

位有效數字設x*為x

的近似值，若

x*

可表示為等價描述6有效數字例：=3.14159265···

，近似值

x1=3.1415，x2=3.1416問：x1,x2

分別有幾位有效數字？例：寫出下列各數的具有5位有效數字的近似值

187.9325，0.03785551，2.7182828

，8.000033187.93，0.037856，2.7183，8.0000注：0.2300有4位有效數字，而0.23只有2位有效數字12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數字。

數字末尾的0不可以隨意添加或省略！7有效數字定理：設近似值x*可表示為

x*

=

a1.a2···al10m(a10)，若x*具有n

位有效數字，則其相對誤差限滿足1r*

2a1

10-(n-1)反之，若x*的相對誤差限滿足

則x*至少有n

位有效數字。1r*

2(a1+1)10-(n-1)有效位數越多，相對誤差限越小8第二章

插值法9插值基本概念已知函數y=f(x)

在[a,b]

上有定義，且已經測得在點

a

x0

<x1

<···

<xn

b處的函數值為

y0

=f(x0)，…，yn

=f(xn)什么是插值如果存在一個簡單易算的函數P(x)，使得

P(xi)=f(xi)，i=1,2,...,n則稱P(x)為f(x)的插值函數插值區(qū)間插值節(jié)點求插值函數P(x)

的方法就稱為插值法插值節(jié)點無需遞增排列，但必須確?；ゲ幌嗤?！插值條件10基函數插值法基函數法通過基函數來構造插值多項式的方法就稱為基函數插值法Zn(x)

={次數不超過n

的多項式的全體}記n+1維線性空間設z0(x),z1(x),...,zn(x)

構成Zn(x)的一組基，則插值多項式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)

+···+anzn(x)尋找合適的基函數確定插值多項式在這組基下的表示系數基函數法基本步驟11Lagrange插值Lagrange插值基函數設lk(x)是n次多項式，在插值節(jié)點x0,x1,…,xn上滿足則稱lk(x)

為節(jié)點x0,x1,…,xn

上的拉格朗日插值基函數單項式基函數利用線性無關的單項式族：構造n

次多項式：12線性與拋物線插值兩種特殊情形n=1線性插值多項式（一次插值多項式）n=2拋物線插值多項式（二次插值多項式）13插值舉例例：已知函數y=lnx

的函數值如下解：x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試分別用線性插值和拋物線插值計算

ln0.54的近似值線性插值：取x0=0.5,x1=0.6得將x=0.54

代入可得：ln0.54L1(0.54)=-0.6202為了減小截斷誤差，通常選取插值點x

鄰接的插值節(jié)點14插值舉例拋物線插值：取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153在實際計算中，不需要給出插值多項式的表達式ex21.m

ln0.54

的精確值為：-0.616186···可見，拋物線插值的精度比線性插值要高Lagrange插值多項式簡單方便，只要取定節(jié)點就可寫出基函數，進而得到插值多項式，易于計算機實現(xiàn)。15Lagrange插值l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

構成Zn(x)的一組基性質注意l0(x)

,l1(x)

,…,ln(x)

與插值節(jié)點有關，但與函數f(x)無關lk(x)

的表達式由構造法可得16誤差估計如何估計誤差插值余項定理設f(x)

Cn[a,b](

n

階連續(xù)可微)，且f(n+1)(x)在(a,b)

內存在，則對x[a,b]，有其中x(a,b)

且與x

有關,證明：（板書）17插值余項余項公式只有當f(x)

的高階導數存在時才能使用幾點說明

計算插值點x

上的近似值時，應選取與x

相近插值節(jié)點如果，則

x

與x

有關，通常無法確定,實際使用中通常是估計其上界18插值誤差舉例例：已知函數y=lnx

的函數值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試估計線性插值和拋物線插值計算

ln0.54的誤差解線性插值

x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)19Newton插值為什么Newton插值Lagrange

插值簡單易用，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數lk(x)

都需重新計算，不太方便。設計一個可以逐次生成插值多項式的算法，即n

次插值多項式可以通過n-1

次插值多項式生成——Newton插值法解決辦法20新的基函數

設插值節(jié)點為

x0,…,xn

，考慮插值基函數組當增加一個節(jié)點xn+1時，只需加上基函數21Newton插值

此時

f(x)

的n

次插值多項式為問題如何從pn-1(x)得到pn(x)?怎樣確定參數a0,…,an?

需要用到差商（均差）22差商什么是差商設函數f(x)，節(jié)點x0,…,xn

f(x)

關于點xi

,xj

的一階差商f(x)

關于點xi

,xj,xk的二階差商k

階差商差商的一般定義23差商的性質

k階差商與k階導數之間的關系：若f(x)在[a,b]上

具有k階導數，則至少存在一點(a,b)，使得24差商的計算如何巧妙地計算差商差商表xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]?[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……?[x0,x1,…,xn]25差商舉例例：已知y=(x)

的函數值表，試計算其各階差商i0123xi-2-112f(xi)531721解：差商表如下xi?(xi)一階差商二階差商三階差商-2-112531721-2743-1-1ex24.mex23.m26Newton插值公式Newton插值公式由差商的定義可得12……n11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n1Nn(x)Rn(x)27Newton插值公式f

(x)=Nn(x)+Rn(x)

Nn(x)

是n次多項式Nn(xi)=

f

(xi)，i=0,1,2,…,n重要性質Nn(x)

是f

(x)的n次插值多項式其中28Newton/LagrangeNewton插值多項式與Lagrange

插值多項式f

(x)

在x0,x1,…,xn

上的n次插值多項式是唯一的！Nn(x)Ln(x)余項也相同將x看作節(jié)點29插值舉例例：已知函數y=lnx

的函數值如下解：取節(jié)點0.5,0.6,0.4

作差商表試分別用牛頓線性插值和拋物線插值計算

ln0.54的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xi?(xi)一階差商二階差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)N1(0.54)=-0.6202N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-

2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54)=-0.6153ex25.m插值節(jié)點無需遞增排列，但必須確?；ゲ幌嗤?！30第三章

函數逼近31函數逼近三個問題問題一已知一個函數的數值表xx1x2……xnyy1y2……yn能否找到一個簡單易算的

p(x)，使得

p(xi)=yi。問題二

函數

f(x)的表達式非常復雜，能否找到一個簡單易算的

p(x)，使得p(x)是

f(x)的一個合理的逼近。問題三

問題一的表中的數值帶有誤差，能否找到一個簡單易算的

p(x)，可以近似地表示這些數據。插值數值逼近32賦范線性空間賦范線性空間C[a,b]線性空間C[a,b]

，f(x)C[a,b]

1-范數：2-范數：-范數：33逼近標準度量p(x)與f(x)的近似程度的常用兩種標準使

盡可能地小。使

盡可能地小。一致逼近平方逼近34函數逼近記Hn為所有次數不超過n

的多項式組成的集合，給定函數f(x)C[a,b]，若P*(x)Hn

使得則稱P*(x)為f(x)在C[a,b]上的最佳逼近多項式最佳逼近最佳一致逼近35函數逼近最小二乘擬合尋找P*(x)

，使得下面的離散2-范數最小給定

f(x)C[a,b]的數據表xx0x1…xnyy0y1…yn最佳平方逼近36正交多項式定義設n(x)

是首項系數不為0的n次多項式，若則稱為[a,b]

上帶權(x)

正交性質1設是正交多項式族，Hn為所有次數不超過n

的多項式組成的線性空間，則構成Hn的一組基稱n(x)

為n

次正交多項式37Legendre多項式

Pn(x)

的首項xn的系數為：Legendre多項式在[-1,1]

上帶權

(x)=1

的正交多項式稱為勒讓德多項式x

[-1,1]，n=1,2,…記號：P0,P1,P2,...

則

是首項系數為1

的勒讓德多項式

令38Legendre多項式ex31.m其中P0(x)=1,P1(x)=x，39Chebyshev多項式Chebyshev

多項式在[-1,1]

上帶權

(x)

的正交多項式稱為切比雪夫多項式x

[-1,1]，n=0,1,2,…切比雪夫多項式的表達式

令x

=

cos

，則Tn(x)=cos(n)

，展開后即得40Chebyshev多項式ex32.m41Chebyshev零點插值多項式Chebyshev

插值以Chebyshev多項式的零點作為插值節(jié)點進行插值好處：誤差最小定理設f(x)Cn+1[-1,1]，插值節(jié)點x0,x1,…,xn為Tn+1

(x)的n+1個零點，則且42最佳平方逼近設

f(x)

C[a,b]，0(x),1(x),,n(x)C[a,b]

線性無關，令求S*(x)，使得S*(x)稱為

f(x)在中的最佳平方逼近函數

其中43最佳平方逼近如何求

S*(x)？對任意S(x)

，可設

S(x)=a00+a11+

···+

ann(x)則求S*(x)等價于求下面的多元函數的最小值點k=0,1,…,n44最佳平方逼近即k=0,1,…,n法方程G45求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式舉例例：(教材68頁，例6)解：

S*(x)=0.934+0.426x46最佳平方逼近多項式f(x)

C[a,b]在Hn

中的最佳平方逼近，記為n

次最佳平方逼近多項式取Hn

的一組基：1,x,x2,,xn

，則法方程為HHilbert矩陣H

嚴重病態(tài)

只適合求低次最佳逼近47正交函數作逼近若0,1,,n正交，則法方程的解為所以k=0,1,…,n誤差Bessel不等式48曲線擬合能否找到一個簡單易算的p(x)

，使得f(x)

p(x)已知f(x)

在某些點的函數值：xx0x1…xm

f(x)y0y1…ym但是

m

通常很大

yi

本身是測量值，不準確，即yi

f(xi)

這時不要求p(xi)=yi,而只要

p(xi)yi總體上盡可能小

49

使最小

使最小曲線擬合

p(xi)yi總體上盡可能小

使最小

常見做法太復雜不可導，求解困難最小二乘法：目前最好的多項式曲線擬合算法50最小二乘曲線擬合的最小二乘問題這個問題實質上是最佳平方逼近問題的離散形式。

可以將求連續(xù)函數的最佳平方逼近函數的方法直接用于求解該問題。已知函數值表(

xi,yi

)，在函數空間

中求S*(x)

，使得其中i

是點xi處的權。51最小二乘求解對任意S(x)

=span{0,1,,n}，可設

S(x)=a00+a11+

···+

ann(x)則求S*(x)等價于求下面的多元函數的最小值點k=0,1,…,n最小值點52最小二乘求解(k=0,1,…,n)這里的內積是離散帶權內積，即，法方程G法方程53最小二乘求解設法方程的解為：a0*,a1*,,an*,則

S*(x)=a0*

0+a1*

1+

···+

an*

n(x)結論S*(x)是

f(x)在中的最小二乘解54舉例最小二乘問題中，如何選擇數學模型很重要，即如何選取函數空間=span{0,1,,n}，通常需要根據物理意義，或所給數據的分布情況來選取合適的數學模型。55多項式擬合＝Hn=span{1,x,...,xn},即i=xi,

則相應的法方程為此時

為

f(x)的n

次最小二乘擬合多項式多項式最小二乘曲線擬合56舉例例：求下面數據表的二次最小二乘擬合多項式得法方程xi00.250.500.751.00f(xi)1.00001.28401.64872.11702.7183解：設二次擬合多項式為解得所以此組數據的二次最小二乘擬合多項式為(1)

若題目中沒有給出各點的權值i，默認為i=1

(2)該方法不適合n

較大時的情形（病態(tài)問題）57第四章

數值積分與數值微分58數值積分微積分基本公式：(3)

f(x)

表達式未知，只有通過測量或實驗得來的數據表但是在許多實際計算問題中(2)

F(x)

難求！甚至有時不能用初等函數表示。如(1)

F(x)

表達式較復雜時，計算較困難。如59幾個簡單公式矩形公式梯形公式拋物線公式基本思想：60一般形式數值積分公式的一般形式求積節(jié)點求積系數機械求積方法將定積分計算轉化成被積函數的函數值的計算無需求原函數易于計算機實現(xiàn)一般地，用f(x)在[a,b]上的一些離散點

a

x0

<x1

<···

<xn

b

上的函數值的加權平均作為f()的近似值，可得61代數精度定義：如果對于所有次數不超過m的多項式f(x)，公式精確成立，但對某個次數為m+1

的多項式不精確成立，則稱該求積公式具有

m次代數精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入，公式精確成立;但對f(x)=xm+1不精確成立。即：(k=0,1,…,m)代數精度的驗證方法62舉例例：試確定系數Ai，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數精度，并求出此求積公式的代數精度。解：將f(x)＝1,x,x2代入求積公式，使其精確成立，可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求積公式為易驗證該公式對f(x)＝x3也精確成立，但對f(x)＝x4不精確成立，所以此求積公式具有3次代數精度。63插值型求積公式設求積節(jié)點為：a

x0

<x1

<···

<xn

b

若f(xi)

已知，則可做n

次多項式插值：其中插值型求積公式誤差：其中64Newton-Cotes公式基于等分點的插值型求積公式積分區(qū)間：[a,b]求積節(jié)點：

xi=a

+

ih

求積公式：Cotes系數Newton-Cotes求積公式65Newton-Cotes公式n=1:代數精度=1梯形公式n=2:代數精度=3拋物線公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代數精度=566N-C公式余項梯形公式(n=1)

的余項

Simpson公式(n=2)

的余項

Cotes公式(n=4)

的余項67復合求積公式提高積分計算精度的常用兩種方法用復合公式

用非等距節(jié)點將積分區(qū)間分割成多個小區(qū)間在每個小區(qū)間上使用低次牛頓－科特斯求積公式復合求積公式68復合梯形公式將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]

，其中(i=0,1,…,n)復合梯形公式余項69復合Simpson公式復合Simpson公式余項性質：復合梯形公式和復合Simpson公式都是收斂的，也都是穩(wěn)定的。70舉例解：例：設，利用下表中的數據分別用復合梯形公式和復合simpson公式計算定積分，并估計誤差。

xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.84171舉例誤差估計72第五章

解線性方程組的直接方法73Gauss消去法例：直接法解線性方程組解：74Gauss消去法高斯消去法的主要思路：將系數矩陣A化為上三角矩陣，然后回代求解?？紤]n階線性方程組：矩陣形式=75計算LU分解利用矩陣乘法直接計算LU分解LU=A比較等式兩邊的第一行得：u1j=a1j比較等式兩邊的第一列得：比較等式兩邊的第二行得：比較等式兩邊的第二列得：(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U

的第一行L

的第一列U

的第二行L

的第二列76計算LU分解第k

步：此時U

的前k-1行和

L

的前k-1列已經求出比較等式兩邊的第k行得：比較等式兩邊的第k列得：直到第n

步，便可求出矩陣L

和U

的所有元素。(j=k,…,n

)(i=k+1,…,n

)77LU分解算法算法：(LU分解

)fork=1tonendj=k,…,ni=k+1,…,nMatlab程序參見：ex51.m運算量：(n3-n)/3為了節(jié)省存儲空間，通常用A

的絕對下三角部分來存放L(對角線元素無需存儲)，用

A

的上三角部分來存放U

78例求下列矩陣的LU分解解:設LU分解算法79LU分解算法80LU分解算法81Ax=b(i=n,…,1

)(i=1,…,n)兩次回代過程求出方程組的解：運算量:

n2加LU分解總運算量：

LU分解求解線性方程組82對稱正定矩陣的三角分解－－Cholesky

分解定理：設A

是對稱矩陣，若A

的所有順序主子式都不為0，則A

可唯一分解為其中L

為單位下三角陣，D

為對角矩陣A=LDLT定理：（Cholesky分解）若A

對稱正定，則A

可唯一分解為其中L

為下三角實矩陣，且對角元素都大于0A=LLT對稱正定矩陣的Cholesky分解83計算Cholesky分解

Cholesky

分解的計算直接比較等式兩邊的元素

計算公式84Cholesky分解算法for

j=1tonendi=j+1,…,n算法：(Cholesky分解

)運算量:n3/6

+n2/2+n/3

85Cholesky分解算法例對矩陣作Cholesky分解解86Cholesky分解算法87向量范數常見的向量范數③無窮范數（最大范數）②2-范數①1-范數88范數性質范數的性質(1)連續(xù)性設f是Rn上的任意一個范數，則f關于x

的每個分量是連續(xù)的(2)等價性設||·||s

和||·||t

是Rn上的任意兩個范數，則存在常數c1和

c2，使得對任意的xRn有證明：板書89范數性質(3)Cauchy-Schwarz不等式(4)向量序列的收斂性矩陣的譜：(A)={

A

的所有特征值

}矩陣的譜半徑：90矩陣范數常見的矩陣范數(1)F-范數(Frobenious范數)(2)算子范數(從屬范數、誘導范數)其中||·||是Rn上的任意一個范數91算子范數常見的算子范數③無窮范數（行范數）②2-范數（譜范數）①1-范數（列范數）證明：③②板書，①為練習例：設計算92矩陣范數性質矩陣范數的性質(1)連續(xù)性：設f是Rnn上的任一矩陣范數，則f關于A

的每個分量是連續(xù)的(2)等價性：設||·||s

和||·||t

是Rnn上的任意兩個矩陣范數，則存在常數c1和

c2，使得對任意的ARnn有(3)若A

是對稱矩陣，則93定理：設||·||

是Rn上的任一向量范數，其對應的算子范數也記為||·||

，則有算子范數性質算子范數的性質定理：設||·||

是任一算子范數，則定理：對任意>0,總存在一算子范數||·||

，使得

||·||(A)+94穩(wěn)定性理論分析

理論分析：設又(1)由于右端項的擾動而引起的解的變化(2)由于系數矩陣的擾動而引起的解的變化設Ax=b

的條件數矩陣A

的條件數95穩(wěn)定性理論分析定理：考慮線性方程組Ax=b，設b

是精確的，A

有微小的變化A，此時的解為x+

x

，則證明：當A充分小時，不等式右端約為設結論96矩陣條件數條件數與范數有關，常用的有無窮范數和2-范數

Cond(A)2

稱為譜條件數，當A

對稱時有97舉例例：

計算Cond(A)和Cond(A)2解：Cond(A)=||A-1||||A||4104Cond(A)2=max/min

4104A

對稱，且98第六章

線性方程組的迭代解法99矩陣分裂迭代法矩陣分裂迭代法基本思想Ax=bk=0,1,2,…給定一個初始向量x(0)，可得迭代格式其中

B=M-1N

稱為迭代矩陣

A=M-NMx=Nx

+

bM非奇異A

的一個矩陣分裂100收斂性分析定理：對任意初始向量x(0)，上述迭代格式收斂的充要條件是證明：板書定理：若存在算子范數||·

||，使得||B||<1，對任意的初始向量x(0)，上述迭代格式收斂。例：考慮迭代法x(k+1)=Bx(k)+f

的收斂性，其中基本收斂定理充分條件101Jacobi迭代考慮線性方程組Ax=b其中A=(aij)nn

非奇異，且對角線元素全不為0。將A

分裂成A=D-L-

U，

其中102Jacobi迭代k=0,1,2,…令M=D，N

=L

+U，可得雅可比(Jacobi)迭代方法Jacobi迭代迭代矩陣記為：分量形式：i=1,2,…,

n，k=0,1,2,…103Gauss-Seidel迭代在計算時，如果用代替，則可能會得到更好的收斂效果。104Gauss-Seidel迭代寫成矩陣形式:此迭代方法稱為高斯-塞德爾(Gauss-Seidel)迭代法k=0,1,2,…可得迭代矩陣記為：105SOR迭代為了得到更好的收斂效果，可在修正項前乘以一個松弛因子，于是可得迭代格式在G-S迭代中106SOR迭代寫成矩陣形式:可得——SOR(SuccessiveOver-Relaxation)迭代方法迭代矩陣記為：

SOR的優(yōu)點：通過選取合適的，可獲得更快的收斂速度

SOR的缺點：最優(yōu)參數的選取比較困難107Jacobi迭代收斂的充要條件(J)<1

G-S迭代收斂的充要條件(G)<1

SOR迭代收斂的充要條件(L)<1收斂性收斂性定理Jacobi迭代收斂的充分條件||J||<1

G-S迭代收斂的充分條件||G||<1

SOR迭代收斂的充分條件||L||<1108Jacobi、G-S收斂性定理：若A嚴格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu)，則A非奇異定理：若A嚴格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu)，則Jacobi迭代和G-S迭代均收斂定理：若A對稱，且對角線元素均大于0，則Jacobi迭代收斂的充要條件是A與2D-A均正定；G-S迭代收斂的充要條件是A正定。109SOR收斂性定理：若SOR迭代收斂，則0<<2。SOR收斂的必要條件定理：若A

對稱正定，且0<<2，則SOR迭代收斂。SOR收斂的充分條件定理：若A

嚴格對角占優(yōu)或不可弱約對角占優(yōu)，且0<1，則SOR迭代收斂。110舉例例：設，給出Jacobi和G-S收斂的充要條件解：A對稱，且對角線元素均大于0，故(1)Jacobi收斂的充要條件是A和2D-A均正定(2)G-S收斂的充要條件是A正定A

正定2D-A

正定Jacobi收斂的充要條件是：-0.5<a<0.5G-S收斂的充要條件是：-0.5<a<1111舉例解法二：Jacobi的迭代矩陣為設是J

的特征值，則由det(I-

J)=0可得(-

a)2(

+2a)=0Jacobi收斂的充要條件是(J)<1||<1，即

-0.5<a<0.5112收斂速度定義：迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f

的平均收斂速度為漸進收斂速度為

(B)

越小，收斂越快113第七章

非線性方程(組)的數值解法114不動點迭代基本思想構造

f(x)=0

的一個等價方程：

(x)

的不動點f(x)=0x=(x)等價變換f(x)

的零點115不動點迭代具體過程任取一個迭代初始值x0，計算得到一個迭代序列：x0，x1，x2，...，xn，...

k=0,1,2,......幾何含義：求曲線y=(x)與直線y=x

的交點116連續(xù)性分析設(x)

連續(xù)，若收斂，即，則即收斂性分析性質：若，則不動點迭代收斂，且x*是f(x)=0的解；否則迭代法發(fā)散。117解的存在唯一性定理：設(x)C[a,b]且滿足證明：板書對任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常數0<L<1，使得任意的x,y[a,b]有則(x)

在[a,b]上存在唯一的不動點

x*解的存在唯一性118收斂性分析定理：設(x)C[a,b]且滿足證明：板書對任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常數0<L<1，使得任意的x,y[a,b]有則對任意初始值x0[a,b]，不動點迭代xk+1=(xk)收斂，且不動點迭代的收斂性119收斂性分析不動點迭代的收斂性若(x)C1[a,b]且對任意x[a,b]有

|’(x)|L<1則上述定理中的結論成立。收斂性結論表明：收斂性與初始值的選取無關全局收斂120舉例例：求f(x)=x3–x–1=0

在區(qū)間[1,2]

中的根(1)(2)ex71.m121局部收斂定義：設x*是(x)的不動點，若存在x*的某個-鄰域U(x*)

=[x*-,x*+]，對任意

x0