第二十三講 等腰三角形

第二十三講等腰三角形考綱要求1.①了解等腰三角形的有關(guān)概念；

②會用分類的思想解決等腰三角形的有關(guān)問題.2.探索并掌握等腰三角形的性質(zhì)和一個三角形是等腰三

角形的條件.3.①了解等邊三角形的概念；

②探索等邊三角形的性質(zhì)和一個三角形是等邊三角形

的條件.4.已知底邊及底邊上的高，能作出等腰三角形.5.掌握線段的垂直平分線的概念、性質(zhì)、判定.accacba網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建

等腰三角形1．定義：有兩條邊____的三角形叫做等腰三角形．2．性質(zhì)：(1)等腰三角形兩底角____，簡稱__________； (2)等腰三角形__________、底邊上的中線、__________互相重合，簡稱三線合一； (3)等腰三角形是軸對稱圖形，對稱軸是________________直線．3．判定：(1)有兩條邊____的三角形是等腰三角形； (2)有____相等的三角形是等腰三角形，簡稱為__________．相等相等等邊對等角頂角平分線底邊上的高底邊上的高所在的相等兩角等角對等邊【即時應(yīng)用1】一個等腰三角形的兩條邊分別為4cm和8cm，則這個三角形的周長為________cm.

答案

20【即時應(yīng)用2】如圖，AE∥BD，C是BD上的點，且AB＝BC，∠ACD＝110°，則∠EAB＝________度．

答案

40

等邊三角形1．定義：______都相等的三角形叫做等邊三角形．2．性質(zhì)：(1)等邊三角形三條邊______，三個角______，且每個角都等于____； (2)等邊三角形是__對稱圖形，它有____對稱軸．3．判定：(1)三條邊都____的三角形是等邊三角形； (2)三個角都____的三角形是等邊三角形； (3)有一個角等于____的__________是等邊三角形．三條邊都相等都相等60°相等三條60°軸相等等腰三角形【即時應(yīng)用3】如圖，一個等邊三角形紙片，剪去一個角后得到一個四邊形，則圖中∠α＋∠β的度數(shù)是

(

)A．180° B．220°C．240° D．300°答案

C助學(xué)微博1．在解有關(guān)等腰三角形的問題時，有一種習(xí)慣上的認識，總認為腰大于底，這是造成錯解的原因．實際上底也可以大于腰，此時也能構(gòu)成三角形．2．有關(guān)等腰三角形的問題，若條件中沒有明確底和腰時，一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個方面進行討論，還要特別注意構(gòu)成三角形的條件；同樣，在底角沒有被指定的等腰三角形中，應(yīng)就某角是頂角還是底角進行討論．注意運用分類討論的方法，將問題考慮全面，不能想當然.

對接點一：等腰三角形的性質(zhì)和判定?？冀嵌龋?.等腰三角形的性質(zhì)；2．等腰三角形的判定；3．等腰三角形底邊上的高、頂角的平分線、底邊上的中線三線合一．【例題1】(2013·紹興)如圖鋼架中，焊上等長的13根鋼條來加固鋼架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，則∠A的度數(shù)是__________．解析設(shè)∠A＝x，∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x，∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x，∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x，…∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x，∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x，在△AP7P8中，∠A＋∠AP7P8＋∠AP8P7＝180°，即x＋7x＋7x＝180°，解得x＝12°，即∠A＝12°.答案

12°1．遇等腰三角形時往往考查“三線合一”與等角對等邊；2．求角的度數(shù)常常利用三角形內(nèi)角和定理或解直角三角形來解決．【預(yù)測1】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，△AB′C和△ABC關(guān)于AC所在的直線對稱，AD和B′C相交于點O，連接BB′. (1)請直接寫出圖中所有的等腰三角形(不添加字母)； (2)求證：△AB′O≌△CDO.(1)解

△ABB′，△AOC和△BB′C；(2)證明在?ABCD中，AB＝DC，∠ABC＝∠D.由軸對稱知AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C，∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D.∴△AB′O≌△CDO(AAS)．

對接點二：等邊三角形的性質(zhì)與判定?？冀嵌龋?.等邊三角形的性質(zhì)；2．等邊三角形的判定；3．等邊三角形的軸對稱性．【例題2】(2012·杭州)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，分別以AB，CD為邊向外側(cè)作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE.

分析：(1)根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可．(2)如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長．(1)證明在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴∠BAD＝∠CDA.而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，AB＝AE，DC＝DF，且∠BAE＝∠CDF＝60°，∴AE＝DF，∠EAD＝∠FDA，AD＝DA，(1)求證：AF＝DE；(2)若∠BAD＝45°，AB＝a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．∴△AED≌△DFA(SAS)，∴AF＝DE；(2)解如圖作BH⊥AD于H，CK⊥AD于K，則有BC＝HK，∵∠BAD＝45°，∴∠HAB＝∠KDC＝45°，等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此它不僅具有等腰三角形的一切性質(zhì)，而且還具有一般等腰三角形所不具備的特性；等邊三角形三邊上的中線、高及三個內(nèi)角平分線重合且交于同一點，這一點到三邊的距離相等，到三頂點的距離相等，且到頂點的距離是到對邊中點距離的2倍．【預(yù)測2】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B，C，D，E在同一直線上，且CG＝CD，DF＝DE，則∠E＝________度．解析

∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝60°，∠ACD＝120°.∵CG＝CD，∴∠CDG＝30°，∠FDE＝150°.∵DF＝DE，∴∠E＝15°.答案

15

對接點三：分類討論思想?？冀嵌龋?.對等腰三角形的角分頂角和底角討論；2．對等腰三角形的邊分腰和底邊討論．【例題3】(2013·雅安)若(a－1)2＋|b－2|＝0，則以a、b為邊長的等腰三角形的周長為________．解析根據(jù)題意得，a－1＝0，b－2＝0，解得a＝1，b＝2.①若a＝1是腰長，則底邊為2，三角形的三邊分別為1，1，2.∵1＋1＝2，∴不能組成三角形．②若a＝2是腰長，則底邊為1，三角形的三邊分別為2，2，1，能組成三角形，周長＝2＋2＋1＝5.答案

51．平方、絕對值、算術(shù)平方根都具有非負性；2．遇等腰三角形時應(yīng)注意哪條邊為腰，哪條邊為底，當不能確定腰和底時，應(yīng)進行討論，同時還應(yīng)注意三邊之間應(yīng)滿足三邊關(guān)系．【預(yù)測3】已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，則這個等腰三角形的頂角是 (

)

A．30° B．60° C．150° D．30°或150°

解析

①當為銳角三角形時可以畫圖，高與左邊腰成60°夾角，由三角形內(nèi)角和為180°可得，頂角為30°；②當為鈍角三角形時可畫圖，此時垂足落到三角形外面，因為三角形內(nèi)角和為180°，由圖可以看出等腰三角形的頂角的補角為30°，所以三角形的頂角為150°.答案

D易錯點1：對等腰三角形的角忘記討論，造成漏解辨識：當已知等腰三角形的一角時，對已知的角要分底角和頂角兩種情況討論．【例題1】(2010·楚雄州)已知等腰三角形的一個內(nèi)角為70°，則另兩個內(nèi)角的度數(shù)是 (

) A．55°，55° B．70°，40° C．55°，55°或70°，40° D．以上都不對 [錯解]

A或B[錯因分析]

70°沒有指明是等腰三角形的頂角還是等腰三角形的底角，當70°為頂角時，另外兩角為55°，55°；當70°為底角時，另外兩角為70°，40°.[正解]當70°為頂角時，另外兩個角是底角，它們的度數(shù)是相等的，為(180°－70°)÷2＝55°；當70°為底角時，另外一個底角也是70°，頂角是180°－140°＝40°.答案

C易錯點2：對等腰三角形的邊忘記討論，造成漏解辨識：當已知等腰三角形的一邊時，對已知的邊要分底邊和腰兩種情況討論．【例題2】(2012·襄陽)在等腰△ABC中，∠A＝30°