第三章白底平面任意力系

第三章平面任意力系第三章平面任意力系

§3-1平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化§3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程

結(jié)論與討論

§3-3物體系的平衡·靜定和超靜定問題

§3-4平面簡單桁架的內(nèi)力計算

物體系平衡習(xí)題課認識平面任意力系平面任意力系：各力的作用線在同一平面內(nèi),既不匯交為一點又不相互平行的力系。研究方法：未知力系已知力系力系向一點簡化（平面任意力系）（平面匯交力系和平面力偶系）§3-1平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化1.力線平移定理AFBdF′F′′AF′BM=F.

d=MB(F)定理：可以把作用于剛體上點A的力F平行移到任一點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力F對新作用點B的矩。MAFBdM′FF為什么釘子有時會折彎？F(a)F(b)兩圓盤運動形式是否一樣？′FM力線平移的討論：單手攻絲F3F1F2O2.平面任意力系向作用面內(nèi)一點的簡化·主矢和主矩OOFR′MOF1′M1F1=F1′M1=MO(F1)F2′M2F3′M3F2=F2′M2=MO(F2)F3=F3′M3=MO(F3)簡化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3

MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)′′′′平面匯交力系平面力偶系OxyMOFR′結(jié)論：平面任意力系向作用面內(nèi)任一點O簡化，可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用線通過簡化中心。這個力偶的矩等于力系對于點O的主矩。原力系的主矢力系對于簡化中心O的主矩與簡化中心選擇無關(guān)與簡化中心有關(guān)3.平面任意力系的簡化結(jié)果分析（1）平面任意力系簡化為一個力偶的情形★剛體等效于只有一個力偶的作用，因為力偶對于平面內(nèi)任意一點的矩都相同，因此當(dāng)力系合成為一個力偶時，主矩與簡化中心的選擇無關(guān)?！瘛瘛瘛瘛瘛銸′FRO（2）平面任意力系簡化為一個合力的情形·合力矩定理FROO

′dFRFR′′dFR′OMoO′●就是原力系的合力，合力的作用線通過簡化中心，與簡化中心有關(guān)?！馞R為原力系的合力原力系平衡定理的應(yīng)用：（1）當(dāng)力臂不好確定時，將該力分解后求力矩；（2）求分布力的合力作用線位置。（3）平面任意力系平衡的情形MO(FR)=FRd

=MO=∑MO(Fi)合力矩定理：平面任意力系的合力對作用面內(nèi)任一點的矩等于力系中各力對同一點矩的代數(shù)和。●′O′FROFROO

′dFRFR′′dFR′OMoO′（1）固定端支座既不能移動，又不能轉(zhuǎn)動的約束—固定端（插入端）約束固定端約束簡圖固定端約束反力固定端鉸支座反力≠≠固定端支座約束實例集中力或集中荷載：力或荷載的作用面積很小或與整個構(gòu)件的尺寸相比很小，可以認為集中作用在一點上。幾種分布載荷：體分布載荷：載荷（力）分布在整個構(gòu)件內(nèi)部各點上。例如構(gòu)件的自重等。面分布載荷：分布在構(gòu)件表面上的載荷（力）。例如風(fēng)壓力、水壓力等。線分布載荷：載荷分布在狹長范圍內(nèi)，如沿構(gòu)件的軸線分布。（2）分布載荷的合力及作用位置PdPdP=q(x)dxq(x)合力大?。河珊狭囟ɡ恚汉狭ψ饔镁€位置：hABlxxdxq(x)載荷集度P合力★兩個特例(a)

均布載荷(b)三角形分布載荷PhqlxPhlq0x§3-2平面任意力系的平衡條件和平衡方程1、平面任意力系平衡的充分必要條件是：力系的主矢和對任意一點的主矩都為零。即故平面任意力系平衡的解析條件為：平面任意力系平衡的解析條件：所有各力在兩個任選的坐標(biāo)軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點矩的代數(shù)和也等于零?！駧c說明：（1）三個方程只能求解三個未知量；（2）二個投影坐標(biāo)軸不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐標(biāo)軸盡可能與多個未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心盡可能選多個未知力的交點。解析條件可簡寫為：平面任意力系平衡方程的基本式例題1

伸臂式起重機如圖所示，勻質(zhì)伸臂AB重G=2200N，吊車D，E連同吊起重物各重F1=F2=4000N。有關(guān)尺寸為：l

=4.3m，a=1.5m，b=0.9m，c=0.15m，α=25°。試求鉸鏈A對臂AB的水平和鉛直約束力，以及拉索BF的拉力。aαcbBFACF1F2lyxBA解：1.取伸臂AB為研究對象。αFBGCF2EF1DFAyFAx2.受力分析如圖。3.選如圖坐標(biāo)系，列平衡方程。FAyyxBAFBGF2F1ECDFAxαabl4.聯(lián)立求解。

FB=12456N，

FAx

=11290N，F(xiàn)Ay

=4936N例題2外伸梁的尺寸及載荷如圖所示，F(xiàn)1=2kN，F(xiàn)2=1.5kN，M=1.2kN·m，l1=1.5m，l2=2.5m，試求鉸支座A及支座B的約束力。F1ABl2l1llF2MFAxABxyFAyF1FBF2M1.取梁為研究對象，受力分析如圖。解：2.列平衡方程。3.解方程。例題3如圖所示水平橫梁AB，A端為固定鉸鏈支座，B端為一活動鉸鏈支座。梁的長為4a，梁重G，作用在梁的中點C。在梁的AC段上受均布載荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M=Ga。試求A和B處的支座約束力。xyABqC2a4aGMABC4a2aqGMFBFAyFAx3.列寫平衡方程。4.聯(lián)立求解。2.受力分析如圖所示。

1.以水平橫梁AB為研究對象。解：例題4已知：M=Pa，求：A、B處約束反力。2a

PaMABCDFAxFAyFBxy解：（1）取剛架為研究對象解上述方程，得（2）畫受力圖（3）建立坐標(biāo)系，列方程求解

其他解法？解上述方程，得解法2：2a

PaMABCDFAxFAyFB解法3：解上述方程，得（A、B、C

三點不得共線）（x軸不得垂直于A、B

兩點的連線）2、平面任意力系平衡方程的形式（1）基本形式（2）二力矩式（3）三力矩式FRBAx解上述方程，得FDECBAaaaMPFAFB例題5求：三桿對三角平板ABC的約束反力。FCPACaaaMB解：取三角平板為研究對象，受力如圖3、平面平行力系的平衡方程yxo（A、B兩點的連線不得與各力平行）F3F2F1Fn二個方程只能求解二個未知量（1）基本形式（2）二力矩式解：取梁ABCD為研究對象解得：D1m2m1mABCFFNAFNBP例題6已知：F=2N，q=1N/m，求：A、B支座反力。其中解：取起重機為研究對象。（1）滿載時，其限制條件是：FNA≥0（2）空載時，其限制條件是：FNB≥0P2P1ABPbealFNBFNA因此，P2必須滿足：例題7求：欲使起重機滿載和空載時均不翻倒，平衡錘的重量。解得：解得：§3-3物體系的平衡·靜定和靜不定問題1、物體系的平衡問題（1）物體系統(tǒng)（物系）：由若干個物體通過約束所組成的系統(tǒng)。（2）物系平衡的特點：①僅僅考慮系統(tǒng)整體不能求解全部約束反力；②物系平衡,則系統(tǒng)中每個單體或局部系統(tǒng)也是平衡的。整體局部局部整體（3）解物系問題的一般方法（一題多解）局部整體局部●靜定問題：未知量數(shù)目等于獨立平衡方程數(shù)目●靜不定（超靜定問題）：未知量數(shù)目多于獨立平衡方程數(shù)目PABCFAFBFCPABFBFA2、靜定與靜不定問題的概念超靜定次數(shù)=未知量數(shù)-獨立平衡方程數(shù)(a)(b)解得:

例題8已知：P=0.4kN,Q=1.5kN,sin=4/5,求：支座A、C的反力。AQCBPPABFAxFAyFCxFCyFBxFByFAxFAy解：(1)取整體為研究對象解上述方程，得(2)取AB為研究對象代入（3）式得PPABCD分析：考慮翻倒的臨界情況，Gmin此時G=Gmin

。圓桶除了與光滑面的接觸點外，都不受力。例題9無底圓柱形空桶放在光滑水平面上，內(nèi)放兩個重球，每個球重P、半徑r，圓桶半徑R

。不計摩擦和桶壁厚，求圓桶不至翻倒的最小重量G

min

。PP解法1：分別以兩個球和圓桶為研究對象。設(shè)BE=a

，AE=b=2(R-r)DO=BE=a（1）以兩球為對象，∑MO(

F)=0，

FD′a

－

Gmin

R=0→FD=Pb／a∑MA

(F

)=0,FD

a－Pb=0ABPPCDCDaRbOEOOGmin（2）以桶為對象，Gmin

=FD′a

／R=Pb

／R

Gmin=2P(1－r／R)NR解法2：（1）以兩個球為研究對象（2）以整體為研究對象→N=2P∑Y=0，N－P－P=0∑MO(F)=0，(N

－P)(2R－

r)－

Gmin

R

－Pr=0CDPPABOGminNRABPPCDNPPCDPPABO解法3：臨界狀態(tài)時，顯然作用在桶上的Gmin

和R

組成一力偶，以整體為研究對象可以知道作用在球上的P

和P、N組成另一個力偶。GminNRPP§3-4平面簡單桁架的內(nèi)力計算1、桁架的由來—大跨度梁的發(fā)展2、桁架的應(yīng)用—橋梁、屋架、塔架3、桁架的概念桁架是一種由桿件彼此在兩端用鉸鏈連接而成的結(jié)構(gòu)，它在受力后幾何形狀不變。桁架中桿件的鉸鏈接頭稱為節(jié)點?！耔旒艿臈U件都是直桿；●桿件用兩端用光滑的鉸鏈連接；●載荷及支座反力均作用在節(jié)點上；●桿件重量不計或平均分配在桿件兩端的節(jié)點上。理想桁架的幾點假設(shè)：二力桿----組成桁架的基本構(gòu)件。平面桁架——所有桿件都在同一平面內(nèi)的桁架。節(jié)點構(gòu)造有榫接（圖a）焊接（圖b）鉚接（圖c）整澆（圖d）均可抽象簡化為光滑鉸鏈4、桁架桿件內(nèi)力的計算方法（1）節(jié)點法—應(yīng)用匯交力系平衡條件，逐一研究桁架上每個節(jié)點的平衡，每個節(jié)點可列2個獨立平衡方程。適于求解全部桿件的內(nèi)力；（2）截面法—應(yīng)用平面任意力系的平衡條件，研究桁架由截面切出的某部分的平衡。適于求解部分桿件的內(nèi)力。FAxFAyFBy解：(1)取整體為研究對象FAyFAxA20kNF1F2C10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNC(2)取節(jié)點C為研究對象(3)取節(jié)點A為研究對象依此類推，可求得其余各桿內(nèi)力。例題10求：圖示桁架各桿的力。F3F4mn解：(1)取整體為研究對象計算支座反力。(2)根據(jù)解題的需要，假想用一截面截斷體系。(3)取某一部分為研究對象，計算所求桿件內(nèi)力。10kNA1234520kNCF6F7F8FAxFAyD例題11求：桁架6、7、8各桿的力。FAxFAyFBy10kN10kN10kN10kNAB12345678910111412131516171819212020kNCPEF2F3F4F5FAxFAyF1AF6解：(1)取整體為研究對象(2)取內(nèi)部三角形為研究對象aaaaaaP1ABECD(3)取節(jié)點A為研究對象FAxFAyFNB例題12求：桁架1、2桿的力。2F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021222324思考題：圖示桁架中受力為零的桿件。解：由節(jié)點法可知（a）圖中受力為零的桿件有：3、12、9。（b）圖中受力為零的桿件有：1、3、4、13、14、12、11、21。零力桿適當(dāng)?shù)剡x擇方程可使問題的求解簡便；組合靜定梁往往可以先求輔助結(jié)構(gòu)，再求基本結(jié)構(gòu)；注意鉸點作用集中載荷的情況；對于拆分結(jié)構(gòu)中沒有基本結(jié)構(gòu)的情況往往先分析整體結(jié)構(gòu)再按受力情況（簡單優(yōu)先）分析拆分結(jié)構(gòu)。物體系平衡習(xí)題課EqaaaaaABCDFAyFAxFECDqFDxFDy解：(1)取整體為研究對象解得：(2)取曲桿CD為研究對象解得：FC例題13求：A、E的約束反力和BC桿內(nèi)力。BCqMCAq1m1mAC1m1mMqBFAxFAyMAFCxFCy

FBFAxFAyMA

FB解：(1)取BC為研究對象解得:(2)取AC為研究對象解得:例題14已知：M=10kN·m,q=2kN/m求：A、B、C的反力。若不求C處的力則可選整體為研究對象500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB例題15求：D、E的約束反力。解：(1)取CDE為研究對象解得:(2)取整體為研究對象解得:GEBFGxFGyFB(3)取BEG為研究對象解得:代入（3）式得:500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFBBDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解:(1)取整體為研究對象(2)取DEF桿為研究對象解得：(3)取ADB桿為研究對象解得：aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEFNEB例題16求：A、D、B的約束反力。aBCDAFEPaaaaBCDAFEaaaMAaBCDFEPaaaAaBCDFEaaaMPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxAB解：(1)取BC桿為研究對象解得：(2)取AB桿為研究對象解得：代入（3）式解得：例題17求：A、D的約束反力。PPABCDaaaa2a2aCD(3)取CD桿為研究對象解得：FDxFDyMDPFBxFByFCyFCxBCFAyPFAxABPPABCDaaaa2a2aBCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyMAFCxFCyFNBFDxFDyFNEH解：(1)取DE桿為研究對象(2)取BDC桿為研究對象(3)取整體為研究對象解得：例題18已知：q=50kN/m,M=80kN·m,求:A、B的約束反力。例題19圖示結(jié)構(gòu)為鋼結(jié)構(gòu)拱架，拱架由兩個相同的剛架AC和BC用鉸鏈C連接，拱腳A，B用鉸鏈固結(jié)于地基，吊車梁支承在剛架的突出部分D，E上。設(shè)兩剛架各重為G=60kN，吊車梁重為G1=20kN，其作用線通過點C；載荷為G2=10N；風(fēng)力F=10kN。尺寸如圖所示。D，E兩點在力G的作用線上。求固定鉸支座A和B的約束力。xy2m2m8m2m10mABCDEFG2G1G5mGFAxFAyFByFBx解：

1.選整個拱架為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程

2.選右邊剛架為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程BCE2m10mGFByFBx4mFEFCxFCy3.選吊車梁為研究對象，受力分析如圖所示。列平衡方程解方程可得DEG1例題20如圖所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑輪半徑為R，動滑輪半徑為r，且R=2r=l,θ=45°。試求：A，E支座的約束力及BD桿所受的力。DⅡKCABEⅠGFAFExFEy解：1.選取整體研究對象，受力分析如圖所示。解得：

2.選取DEC研究對象，受力分析如圖所示。ECKD解得：FKFEyFExDⅡKCABEⅠG例題21重為G=980N的重物懸掛在滑輪支架系統(tǒng)上，如圖所示。設(shè)滑輪的中心B與支架A