第三講 環(huán)路定理

p1p2qo靜電場的環(huán)路定理電勢一、靜電場力作功

點電荷電場中試驗電荷q0從p1點經(jīng)任意路徑到達p2點。在路徑上任一點附近取元位移θdlErdrqr1r2點電荷電場力的功:q0由

p1到p2電場力做功做功與路徑無關(guān)點電荷系的電場中根據(jù)電場的疊加性，試探電荷受多個電場作用則

試驗電荷在任意給定的靜電場中移動時，電場力對q0做的功僅與試探電荷的電量及路徑的起點和終點位置有關(guān)，而與具體路徑無關(guān)。電場力對試驗電荷q0做功為總功也與路徑無關(guān)。結(jié)論：

靜電場是保守場，靜電場力是保守力。二、靜電場的環(huán)路定理

試驗電荷q0在靜電場中沿任意閉合路徑L運動一周時，電場力對q0做的功A=？安培

在閉合路徑L上任取兩點P1、P2，將L分成L1、L2兩段，P2P1L2L1(L2)(L1)(L1)(L2)即即靜電場力沿任一閉和路徑移動電荷所作的功為零。靜電場中電場強度的環(huán)流恒為零

靜電場的環(huán)路定理

在靜電場中，場強沿任意閉合路徑的線積分（稱為場強的環(huán)流）恒為零。該定理還可表達為：電場強度的環(huán)流等于零。任何力場，只要其場強的環(huán)流為零，該力場就叫保守力場或勢場。綜合靜電場高斯定律和環(huán)路定理，可知靜電場是有源的保守力場，又由于電場線是不閉合的，既形不成旋渦的，所以靜電場是無旋場。比較：高斯定理：——靜電場是有源場環(huán)路定理：——靜電場是保守力場三．電勢能：電荷在靜電場中的一定位置所具有的勢能重力（保守力）的功=重力勢能增量的負值所以靜電力的功=靜電勢能增量的負值b點電勢能ab則電場力的功取注意：系統(tǒng)屬于及試驗電荷處于a點電勢能

即：試驗電荷在電場中某點的電勢能，在數(shù)值上等于把此試驗電荷從該點移到勢能零點處電場力所作的功。注意：（1）電勢能零點的選取是任意的，常選無限遠處為勢能零點。（2）勢能是一個相對的量值。

（3）用上述定義求電勢能必須先明確空間的場強分布。（4）積分路徑可任取勢能零點位置四．電勢電勢差1．電勢

V單位正電荷在該點所具有的電勢能單位正電荷從該點到無窮遠點電場力所作的功2.電勢差電場中任意兩點的電勢之差（電壓）單位正電荷從ab電場力的功

定義電勢差電場中兩點電勢之差(電壓)

沿著電場線方向，電勢降低。AB上式表明，靜電場中兩點A、B的電勢差，等于單位正電荷在電場中從A經(jīng)任意路徑到達B點時電場力所做的功。電荷q0從A點經(jīng)任意路徑移動到B點電場力所作的功。是計算電場力作功和計算電勢能變化常用公式。說明：⑴電勢是一個標量，單位是“伏特(V)”⑵電勢是一個相對的量，其值取決于零電勢點的選取。理論計算中：A.若電荷空間有限，?。築.若電荷空間無限，視情況而定。（3）功、電勢差、電勢能之間的關(guān)系討論:１.則則2.則則根據(jù)電場疊加原理場中任一點的五．電勢疊加原理若場源為的點電荷系場強電勢各點電荷單獨存在時在該點電勢的代數(shù)和六、電勢的計算點電荷的電勢點電荷的電場Vr+積分得可見,點電荷周圍空間任一點的電勢與該點距離點電荷的距離r成反比.正點電荷周圍電勢分布特點。點電荷系的電勢連續(xù)分布帶電體的電勢q3q1r1r2q2q4r3r4P依據(jù)電荷分布特點將連續(xù)帶電體分成許多電荷元，再根據(jù)電勢疊加原理進行積分計算。例１．求電偶極子電場中任一點Ｐ的電勢由疊加原理其中課堂練習：已知正方形頂點有四個等量的電點荷r=5cm①求②將③求該過程中電勢能的改變從電場力所作的功電勢能++++++++例2

一半徑為R

的圓環(huán)，均勻帶有電荷量q

。計算圓環(huán)軸線上任一點P

處的電勢。+解：設(shè)環(huán)上電荷線密度為環(huán)上任取一長度為的電荷元，其所帶電荷該電荷元在p

點電勢為：oprxxR疊加法(微元法)整個圓環(huán)在p點的電勢為方法二

定義法由前面例題得到E

的分布由的定義例3.求均勻帶電球面電場中電勢的分布，已知R，q解:方法一疊加法(微元法)任一圓環(huán)由圖解：（1）取無窮遠處為電勢零點；（2）由高斯定律可知電場分布為；（3）確定電勢分布；++++++++++++++++qRo

方法二定義法(1)當r<R時(2)當r>R時rVR++++++++++++++++qRo電勢分布曲線場強分布曲線EVRRrrOO結(jié)論：均勻帶電球面，球內(nèi)的電勢等于球表面的電勢，球外的電勢等效于將電荷集中于球心的點電荷的電勢。課堂練習：1.求等量異號的同心帶電球面的電勢差已知解:由高斯定理由電勢差定義①求單位正電荷沿odc移至c，電場力所作的功②將單位負電荷由

O電場力所作的功2.如圖已知

解：令無限長直線如圖放置，其上電荷線密度為λ

。計算在x軸上距直線為r的任一點P處的電勢。yrOPP1xr1因為無限長帶電直線的電荷分布延伸到無限遠的，所以在這種情況下不能用連續(xù)分布電荷的電勢公式來計算電勢V，否則必得出無限大的結(jié)果，顯然是沒有意義的。同樣也不能直接用電勢公式來計算電勢，不然也將得出電場任一點的電勢值為無限大的結(jié)果。例4

計算無限長均勻帶電直線電場的電勢分布。

為了能求得P點的電勢，可先應(yīng)用電勢差和場強的關(guān)系式，求出在軸上P點和P1點的電勢差。無限長均勻帶電直線在x軸上的場強為

于是，過P點沿x軸積分可算得P點與參考點P1的電勢差

由于ln1=0，所以本題中若選離直線為r1=1m處作為電勢零點，則很方便地可得P點的電勢為點電荷的等勢面

七、等勢面在靜電場中，電勢相等的點所組成的面稱為等勢面。典型等勢面

由上式可知，在r>1m處,VP為負值；在r<1m處,VP為正值。這個例題的結(jié)果再次表明，在靜電場中只有兩點的電勢差有絕對的意義，而各點的電勢值卻只有相對的意義。電偶極子的等勢面+等勢面電平行板電容器電場的等勢面+++++++++

等勢面的性質(zhì)⑴等勢面與電