第一講 無簡并定態(tài)微擾論

第一講、無簡并定態(tài)微擾論實際的物理系統(tǒng)大多屬于無法嚴(yán)格求解的問題。為了研究這些數(shù)學(xué)上無法嚴(yán)格求解的問題，我們可以使用各種近似方法、計算機模擬或數(shù)值計算等進(jìn)行處理簡介對于量子力學(xué)來說，絕大多數(shù)的問題，并不能求得E和ψ的精確解。因為哈密頓算符中，不僅應(yīng)包括所研究微觀體系內(nèi)所有粒子（比如氦原子中的兩個電子，硅原子中的14個電子等等）的動能，還應(yīng)包括體系內(nèi)粒子間各種性質(zhì)的一切相互作用的勢能之和U（r），這就使得哈密頓算符非常復(fù)雜。量子力學(xué)發(fā)展了很多求近似解的方法，如微擾論、變分法、平均場方法、重整化群方法、格林函數(shù)方法等；。本課程只介紹用的最多的微擾論。定態(tài)微擾論的含義定態(tài)微擾論是不顯含時間t的情況下的微擾論（顯含時間t的情況屬于含時微擾論，將在第八章介紹）。用定態(tài)微擾論近似求解的本征方程時，對算符有兩點要求：(1)可以分解成兩部分：因此，哈密頓算符的本征方程變?yōu)椋旱谋菊鞣匠虨椋何_論的要求條件的本征方程必須能夠精確求解，或者的本征值和本征函數(shù)為已知。稱為微擾算符。（2）很小的具體條件是：其中：這個條件以后還會介紹。通常我們也可以用作粗略的判斷。如果成立，則可以把微小能量看成對能量的微擾。一、無簡并定態(tài)微擾論無簡并是指的本征值譜中，所要研究的那個本征值無簡并，即無微擾時，體系的對應(yīng)的只有一個波函數(shù)滿足定態(tài)本征方程：定態(tài)微擾論相當(dāng)于：狀態(tài)本征算符本征態(tài)本征能量系統(tǒng)無微擾：系統(tǒng)受到微擾：具體的求解步驟1，建立級數(shù)修正項方程：對E、ψ實際解作級數(shù)展開如下：零級近似一級修正（一級小量）二級修正（二級小量）把上兩式代入的本征方程，再把同級小量分別加在一起，得到方程（見下頁）要恒等式成立，等式兩邊同級小量之和必須對應(yīng)相等，于是得到一系列求各級修正項的方程：可精確求解把已知的帶入到方程：可得，再帶入到級數(shù)表達(dá)式，可以得到的一級近似解：把已得到的帶入方程：得到二級近似解：還可以類似的求得更高一級的三級小量等等。直到修正后的結(jié)果達(dá)到滿意的精確度為止（是指能夠說明實際問題所要求的精確度）。由此可見，微擾法實際是一種逐步逼近法。2，一級修正的表達(dá)式首先根據(jù)本征函數(shù)的完全性，可以表示為：將其帶入方程：得到：利用：改寫方程為：用左乘上式兩邊，再對整個空間積分，利用本征函數(shù)的正交歸一性簡化，得到：其中稱之為微擾矩陣元當(dāng)即取，則于是可以得到E的一級修正：由此可見，體系能量的一級修正等于在體系未受微擾時所處狀態(tài)中的平均值。這樣從已知的求得。當(dāng)，則，可以得到疊加系數(shù)還有沒有求出，這可由歸一化條件求得：如果只是求到一級近似，則于是的歸一化條件為：因為已歸一化，所以第三項很小可以略去，于是必須：再將帶入上式，得到結(jié)果：上式當(dāng)或為純虛數(shù)時成立。如果為純虛數(shù)，只是令波函數(shù)增加一個相因子（為實數(shù)），不改變，所以得到：至此我們已經(jīng)求出了的全部疊加系數(shù)。將這些系數(shù)全部帶入到一級修正的表達(dá)式中，得到：其中：

的撇號表示求和不包括n=k這一項，因為這一項的系數(shù)我們已經(jīng)求得為零。這樣，就在已知無微擾本征值譜和本征函數(shù)系的基礎(chǔ)上，求得有微擾時波函數(shù)的一級修正。下面，我們再來看看二級修正的表達(dá)式。3，的表達(dá)式如果一級近似還不能滿足精確度要求，還可以進(jìn)一步求E的二級修正。二級修正的方程為：同樣用零級的完全本征函數(shù)系展開二級修正波函數(shù)帶入上式，然后在方程的兩邊左乘再對整個空間積分，并利用正交歸一化條件簡化，得到：如果m=k，即取得到：已知由上式可以得到二級修正：上式中利用了的厄米性：因為：能量E的二級近似為：說明：通常，用微擾法對E最多計算到二級近似，對波函數(shù)則只計算到一級近似。如果還不夠精確，則說明微擾法對該問題不大適用，說明能量和波函數(shù)的級數(shù)展開收斂太慢，如果還要結(jié)果精確，還需要計算很多級修正，那就太復(fù)雜了。4，關(guān)于微擾法的適用條件我們前面提到，微擾法成立的條件是：這是因為這個條件可以保證很小，也很小。那么在這兩項分解的級數(shù)以后的項都會比這兩項小很多。這樣，我們就可以認(rèn)為所求的足夠精確，這就是“”很小的確切含義。二、氦原子的基態(tài)能量這一節(jié)的內(nèi)容是作為一個例子來說明如何利用無簡并定態(tài)微擾論來計算氦原子基態(tài)能量。氦原子有兩個電子，把坐標(biāo)原點取在氦原子核上（見書中P128圖5－1），相當(dāng)于氦核不動。具體求解步驟如下：1，寫出表達(dá)式氦原子體系的能量算符為：式中第一項、二項分別為電子1，2的動能算符，第三、四項分別是電子1，2與氦核電庫侖相互作用勢能，第五項是兩個電子之間的庫侖相互作用勢能。2，選擇解的本征方程：才能得到的能級和波函數(shù)。但是由于交叉項1/r12的存在，使得方程不可能有精確解。因此，采用無簡并定態(tài)微擾法近似求解。先把哈密頓算符分成兩項：第五項作為微擾項，因為（1）的本征方程可以精確求解，（2）相對于前四項之和，第五項較小。3，解的本征方程的本征方程可用分離變量法求得精確解。因為我們要計算的只是氦原子的基態(tài)能量。即求的基態(tài)能量，以及受到微擾之后的的基態(tài)能量。設(shè)的基態(tài)本征函數(shù)為，則有：這相當(dāng)于氫原子的電子獨自在氫核電庫侖場中運動，因此可以把分成兩項（見下頁）。從上頁的方程中，我們可以看出，這屬于類氫離子的情況。而為已知。對于類氫離子基態(tài)有n＝1，l＝0，m＝0，因此有：上頁式中為氫原子基態(tài)能量的數(shù)值。所以，的基態(tài)本征能量和本征函數(shù)分別為：以上為的本征方程度精確解，滿足微擾法適用的第一個條件。的基態(tài)能量無簡并，因此都分別只有一個。下面，我們用無簡并微擾法，由的已知本征值和屬于的本征態(tài)，求得。4，用微擾法求近似解按無簡并微擾論，有微擾時，能量的一級修正等于微擾