第七次無(wú)理數(shù)的近似計(jì)算

本學(xué)期數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)安排周次理論課時(shí)間上機(jī)時(shí)間第3周周五1、2節(jié)周日下午2:00-6:00第5周周五1、2節(jié)周日下午2:00-6：00第7周周五1、2節(jié)周日下午2:00-6:00第9周周五1、2節(jié)周日下午2:00-6:00第11周周五1、2節(jié)周日晚上6:00-10:00第13周周五1、2節(jié)周日晚上6:00-10:002:00-4:00上機(jī)：電氣21,22,234:00-6:00上機(jī)：電氣24，材料碩交三次作業(yè)：一次小作業(yè)：一人一組，獨(dú)立完成兩次大作業(yè)：三人一組上機(jī)考勤：事假請(qǐng)輔導(dǎo)員簽字，病假有醫(yī)生證明上機(jī)考勤：一次0.5分實(shí)驗(yàn)報(bào)告占7分，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)總成績(jī)占期末成績(jī)的10%怎樣計(jì)算和的值？的計(jì)算歷史1.1609年，德國(guó)LudolphVanCeulen,35位.2.1761年，Lambert,證明了圓周率是無(wú)理數(shù).1.1609年，德國(guó)LudolphVanCeulen,35位3.1874年，WilliamShanks,707位.4.1999年，日本人,利用高速計(jì)算機(jī)，206158430000位.無(wú)論用什么樣的軟件得到的圓周率的近似值，后臺(tái)程序都對(duì)應(yīng)了一個(gè)較為有效的計(jì)算圓周率的算法，我們的目的不是為了獲得小數(shù)點(diǎn)后面更多的精確位數(shù)，而是了解一些相關(guān)的近似計(jì)算的方法.圓周率用matlab容易求出到幾百位.>>digits(100)>>vpa(pi)ans=3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117068但你會(huì)計(jì)算π的值嗎？你又能用幾種方法計(jì)算？控制精度運(yùn)算的兩個(gè)函數(shù)digits和vpadigits是控制精度的，vpa是顯示精度的>>vpa(pi,100)方法一：劉徽割圓法從正六邊形開(kāi)始，逐步求邊長(zhǎng)與面積遞推法設(shè)邊數(shù)為的正多邊形邊長(zhǎng)為劉徽小數(shù)點(diǎn)后面3位祖沖之小數(shù)點(diǎn)后面7位a=1;fori=1:10a=sqrt(2-sqrt(4-a^2));endpai=3*2^10*vpa(a,19)symsa;fori=1:10a=sqrt(2-sqrt(4-a^2));enda=subs(a,1);pai=3*2^10*vpa(a,19)SUBS(S,NEW)replacesthefreesymbolicvariableinSwithNEW.pai=

3.14159251658815488

pai=

3.14159251658815488

方法二：利用冪級(jí)數(shù)計(jì)算1.Taylor展開(kāi)taylor(f,n)%求函數(shù)f的n-1階Maclaurin展開(kāi)式taylor(f,n,a)%求函數(shù)f在x=a處的n-1階Maclaurin展開(kāi)式例1求函數(shù)在x=1處的7階taylor展開(kāi)式.ans=-1/4+3/4*x+1/8*(x-1)^2-1/16*(x-1)^3+1/32*(x-1)^4-1/64*(x-1)^5+1/128*(x-1)^6-1/256*(x-1)^7symsxy=x^2/(1+x)taylor(y,8,1)symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)subs(y1,1)symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)subs(y1,[-1:1])ans=0.5000ans=2.0000-0.00390.5000symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)x=-1:0.1:1y2=subs(y1,x)plot(y2,x)symsxy=x^2/(1+x)y1=taylor(y,8,1)y2=[];forx=-1:0.1:1y=[y2,eval(y1)]endx=-1:0.1:1plot(x,y)symsxy1=sin(x);y2=taylor(y1,3);y3=taylor(y1,5);y4=taylor(y1,7);y5=taylor(y1,9);x=-pi:0.1:pi;y1=subs(y1,x)y2=subs(y2,x)y3=subs(y3,x)y4=subs(y4,x)y5=subs(y5,x)plot(x,y1,'bo',x,y2,'g+',x,y3,'r:',x,y4,'c-',x,y5,'m+')例2求函數(shù)y=sinx的Maclaurin展開(kāi)式，畫(huà)圖觀察分別用不同次數(shù)的泰勒多項(xiàng)式近似代替函數(shù)y=sinx的近似程度，并計(jì)算的近似值.P83例3完成下面的實(shí)驗(yàn)任務(wù)：（1）用matlab軟件計(jì)算函數(shù)arctanx的Maclaurin展開(kāi)式，計(jì)算的近似值；（2）利用下面的等式計(jì)算的近似值，并與（1）比較.方法三：利用數(shù)值積分計(jì)算1.矩形公式2.梯形公式3.拋物線形公式例4利用定積分計(jì)算圓周率的近似值.formatlongn=1000;s=0;fork=1:ns=s+(1/n)*(1/(1+((k-1)/n)^2)+1/(1+(k/n)^2))/2;end4*sans=3.14159248692313方法四：利用繁分?jǐn)?shù)計(jì)算方法五：利用蒙特卡羅模擬方法1/4圓的面積是考慮：在單位正方形區(qū)域內(nèi)等概率地隨意各處取點(diǎn)，所取點(diǎn)落入1/4單位圓的概率應(yīng)該是1/4單位圓的面積與正方形的面積之比，即在正方形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，對(duì)滿足的點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù)，則落在1/4圓內(nèi)的點(diǎn)數(shù)m與落在正方形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)數(shù)n的比值就是從而有formatshortcs=0;n=500;fori=1:na=rand(1,2);ifa(1)^2+a(2)^2<=1cs=cs+1;endend4*cs/n

n=500,ans=3.1200n=5000ans=3.1760n=10000ans=3.1492n=500000ans=3.1435蒙特卡羅模擬方法收斂速度很慢，實(shí)驗(yàn)次數(shù)較少時(shí)，誤差很大；但該方法簡(jiǎn)單易行，在精度要求不高的情況下，具有一定的實(shí)用價(jià)值.無(wú)理數(shù)e的發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)e和歐拉常數(shù)的發(fā)現(xiàn)者——?dú)W拉歐拉（1707-1783），瑞士自然科學(xué)家，是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，不但為數(shù)學(xué)界做出重大貢獻(xiàn)，而且把數(shù)學(xué)推至整個(gè)物理領(lǐng)域.無(wú)理數(shù)e的有趣事例假設(shè)人在銀行存款1000元，銀行的利率是一年100%.期間可以按實(shí)存時(shí)間計(jì)算，仍然保持年利率不變.請(qǐng)你幫忙替儲(chǔ)戶計(jì)算，分別按年存取、按月存取、按天存取按小時(shí)存取、按分鐘存取，一年后，儲(chǔ)戶應(yīng)得本息是多少？若按年存取若按月存取若按天存取若按小時(shí)存取若按分鐘存取digits(28)accout_y=vpa(1000*(1+1),20)accout_hy=vpa(1000*(1+1/2)^2,20)accout_m=vpa(1000*(1+1/12)^12,20)accout_d=vpa(1000*(1+1/(12*365))^(12*365),20)accout_h=vpa(1000*(1+1/(12*365*24))^(12*365*24),20)accout_min=vpa(1000*(1+1/(12*365*24*60))^(12*365*24*60),20)>>accout_y=2000.accout_hy=2250.accout_m=2613.0352902246759186accout_d=2717.9715872424990266accout_h=2718.2688991729828558accout_min=2718.2816136905216808假設(shè)本金為x,一年內(nèi)存取時(shí)間段數(shù)為n,則一年后本金和為一年后，儲(chǔ)戶存款不會(huì)超過(guò)3000元。無(wú)理數(shù)e和歐拉常數(shù)的近似計(jì)算無(wú)理數(shù)e和歐拉常數(shù)c的發(fā)現(xiàn)有界，且單調(diào)增，故收斂.歐拉常數(shù)c無(wú)理數(shù)e1.無(wú)理數(shù)e的冪級(jí)數(shù)計(jì)算方法哪種收斂快呢？2.無(wú)理數(shù)e的繁分?jǐn)?shù)計(jì)算方法a=[];b=[];n=4;fork=1:3*n;%每三次運(yùn)算出現(xiàn)重復(fù)a=[a,2*k]%2,4,6,8…..a=[a,1];a=[a,1];%和1拼成[2,1,1,4,1,1,6,1,1….]endi=length(a);b=a(i-2:-1:1);%倒序排成[…,6,1,1,4,1,1,2]b=[b,1];b=[b,1];%拼接成[…,6,1,1,4,1,1,2,1,1]length(b)x=2*3*n;%估計(jì)初始值fori=1:length(b)x=b(i)+1/x;%矩陣b的每一個(gè)元素與1/x相