第4章 地球橢球及其數(shù)學(xué)投影變換的基本理論

第4章地球橢球及其數(shù)學(xué)投影變換的基本理論大地測量學(xué)基礎(chǔ)環(huán)境科學(xué)與工程學(xué)院張序SuzhouUniversityofSciandTechnol(SUST)4.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關(guān)系4.1.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關(guān)系

地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個(gè)基本幾何參數(shù)(或稱元素):

長半軸ａ

短半軸ｂ橢圓的扁率橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率

為簡化書寫，還常引入以下符號4.1.2地球橢球參數(shù)間的互相關(guān)系4.2橢球面上常用坐標(biāo)系及其關(guān)系4.2.1各種坐標(biāo)系的建立1、大地坐標(biāo)系大地經(jīng)度B大地緯度L大地高H

2、空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時(shí)刻的平均北極點(diǎn)；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點(diǎn)G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。地心空間直角系與參心空間直角坐標(biāo)系之分。

3、子午面直角坐標(biāo)系

設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L，在過P點(diǎn)的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點(diǎn)，建立x,y平面直角坐標(biāo)系。在該坐標(biāo)系中，P點(diǎn)的位置用L,x,y表示。4、地心緯度坐標(biāo)系及歸化緯度坐標(biāo)系

設(shè)橢球面上P點(diǎn)的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點(diǎn)建立地心緯度坐標(biāo)系;以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點(diǎn)，則OP１與x軸夾角稱為P點(diǎn)的歸化緯度u。

5、大地極坐標(biāo)系

M是橢球面上一點(diǎn)，MN是過M的子午線，S為連接MP的大地線長，A為大地線在M點(diǎn)的方位角。以M為極點(diǎn)；

MN為極軸；

P點(diǎn)極坐標(biāo)為（S,A)4.2.2

坐標(biāo)系之間的相互關(guān)系1、子午平面坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系

令:

pn=N2、空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)系的關(guān)系3、空間直角坐標(biāo)系同大地坐標(biāo)系的關(guān)系在橢球面上的點(diǎn)：不在橢球面上的點(diǎn)：由空間直角坐標(biāo)計(jì)算相應(yīng)大地坐標(biāo)4、B、u、φ之間的關(guān)系

（1）B和u之間的關(guān)系

（2）U、φ之間的關(guān)系（3）Ｂ、φ之間的關(guān)系

大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計(jì)算，當(dāng)B=45°時(shí)4.2.3

站心地平坐標(biāo)系大地站心地平坐標(biāo)系是以測站法線和子午線方向?yàn)橐罁?jù)的坐標(biāo)系。其坐標(biāo)關(guān)系式：Z天頂S12P’2y東x北P2A12Z124.3橢球面上的幾種曲率半徑

過橢球面上任意一點(diǎn)可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。4.3.1子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑4.3.2卯酉圈曲率半徑(N)

卯酉圈:過橢球面上一點(diǎn)的法線，可作無限個(gè)法截面，其中一個(gè)與該點(diǎn)子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。

麥尼爾定理:

假設(shè)通過曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點(diǎn)上這兩條截弧具有公共切線，這時(shí)斜截弧在該點(diǎn)處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑的特點(diǎn):

卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。

4.3.3主曲率半徑的計(jì)算

以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個(gè)互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。按牛頓二項(xiàng)式定律展開級數(shù)

式中：如果將：按牛頓二項(xiàng)式定律展開級數(shù)式中：4.3.4任意法截弧的曲率半徑

按尤拉公式，由曲面上任意一點(diǎn)主曲率半徑計(jì)算該點(diǎn)任意方位角A的法截弧的曲率半徑的公式為：

任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律:

ＲＡ不僅與點(diǎn)的緯度B有關(guān)，而且還與過該點(diǎn)的法截弧的方位角A有關(guān)。當(dāng)Ａ＝０°時(shí)，變?yōu)橛?jì)算子午圈曲率半徑的，即Ｒ０＝Ｍ；當(dāng)ＲＡ＝90°時(shí)，為卯酉圈曲率半徑，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半徑M及N分別是ＲＡ的極小值和極大值。當(dāng)A由0°→90°時(shí)，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，當(dāng)A由90°→180°時(shí)，ＲＡ值由N→Ｍ，可見ＲＡ值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。4.4.5平均曲率半徑

橢球面上任意一點(diǎn)的平均曲率半徑R等于該點(diǎn)子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。

M，N，R的關(guān)系

4.4橢球面上的弧長計(jì)算子午線弧長計(jì)算公式

子午線曲率半徑：子午線弧長計(jì)算公式如果以B＝90°代入，則得子午橢圓在一個(gè)象限內(nèi)的弧長約為10002137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個(gè)弧長約為40008549.995m。即一象限子午線弧長約為10000km，地球周長約為40000km。為求子午線上兩個(gè)緯度B１及Ｂ２間的弧長，只需按上式分別算出相應(yīng)的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長。當(dāng)弧長甚短(例如X≤40km，計(jì)算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點(diǎn)的子午圈的曲率半徑Mｍ

4.4.2由子午弧長求大地緯度

迭代解法:

4.4.3平行圈弧長公式

子午線弧長和平行圈弧長變化的比較4.5大地線

兩點(diǎn)間的最短距離，在平面上是兩點(diǎn)間的直線，在球面上是兩點(diǎn)間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢?它應(yīng)是大地線。4.5.1相對法截線

經(jīng)證明：兩點(diǎn)間就有兩條法截線存在相對法截線

相對法截線的特點(diǎn):當(dāng)A，B兩點(diǎn)位于同一子午圈或同一平行圈上時(shí)，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個(gè)點(diǎn)處所測得的角度(各點(diǎn)上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個(gè)矛盾，在兩點(diǎn)間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。

4.5.2大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點(diǎn)間的最短程曲線叫大地線。

大地線的性質(zhì):大地線是兩點(diǎn)間惟一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角

在橢球面上進(jìn)行測量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應(yīng)當(dāng)歸算成相應(yīng)大地線的方向、距離。長度差異可忽略,方向差異需改化。

4.5.3大地線的微分方程和克萊勞方程

所謂大地線微分方程，即表達(dá)以上三個(gè)關(guān)系式稱為大地線微分方程。克萊勞定理表明：

在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)。大地線的克萊勞方程當(dāng)大地線穿越赤道時(shí)當(dāng)大地線達(dá)極小平行圈時(shí)由克萊勞方程可以寫出

4.6將地面觀測值歸算至橢球面

觀測的基準(zhǔn)線不是各點(diǎn)相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點(diǎn)的垂線，各點(diǎn)的垂線與法線存在著垂線偏差。

歸算的兩條基本要求：

①以橢球面的法線為基準(zhǔn)；②將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。4.6.1將地面觀測的水平方向歸算至橢球面

將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標(biāo)高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項(xiàng)改正為三差改正。1.垂線偏差改正δu

以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以ξ,η表示，M是地面觀測目標(biāo)m在球面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是(R-R1)，這個(gè)量就是垂線偏差δu

。2.標(biāo)高差改正δh

3.截面差改正δg

4.6.2將地面觀測的長度歸算至橢球面

1.基線尺量距的歸算

將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認(rèn)為它是基線平均高程面上的長度，以Ｓ0表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度S。

1)垂線偏差對長度歸算的影響

2)高程對長度歸算的影響

2.電磁波測距的歸算

弧長計(jì)算公式兩點(diǎn)間的弦長4.7大地測量主題解算概算4.7.1大地主題解算的一般說明

主題解算分為:

短距離(<400km)

中距離(<1000km)

長距離(1000km以上)

1.以大地線在大地坐標(biāo)系中的微分方程為基礎(chǔ)（直接在地球橢球面上進(jìn)行積分運(yùn)算）主要特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離微分方程為基礎(chǔ)2.以白塞爾大地投影為基礎(chǔ)1)按橢球面上的已知值計(jì)算球面相應(yīng)值，即實(shí)現(xiàn)橢球面向球面的過渡；2)在球面上解算大地問題；3)按球面上得到的數(shù)值計(jì)算橢球面上的相應(yīng)數(shù)值，即實(shí)現(xiàn)從圓球向橢球的過渡。典型解法：白塞爾大地主題解算

特點(diǎn)：解算精度與距離長短無關(guān)，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算?？蛇m應(yīng)20000km或更長的距離，這對于國際聯(lián)測，精密導(dǎo)航，遠(yuǎn)程導(dǎo)彈發(fā)射等都具有重要意義。4.7.2勒讓德級數(shù)式

為了計(jì)算的級數(shù)展開式，關(guān)鍵問題是推求各階導(dǎo)數(shù)。一階導(dǎo)數(shù)：二階導(dǎo)數(shù)：三階導(dǎo)數(shù)勒讓德級數(shù)是大地主題正算得一組基本公式，但它僅適用于邊長短于30km的情況。因此，對于邊長長的話，級數(shù)收斂很慢，且計(jì)算復(fù)雜。4.7.3高斯平均引數(shù)正算公式典型解法：高斯平均引數(shù)法高斯平均引數(shù)正算公式推導(dǎo)的基本思想：

首先把勒讓德級數(shù)在P１點(diǎn)展開改在大地線長度中點(diǎn)M展開，以使級數(shù)公式項(xiàng)數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點(diǎn)M的復(fù)雜性，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的m點(diǎn)來代替，并借助迭代計(jì)算便可順利地實(shí)現(xiàn)大地主題正解。

(1)建立級數(shù)展開式:

同理可得:

(2)(3)由大地線微分方程依次求偏導(dǎo)數(shù):可得高斯引數(shù)正算公式：

注意：

從公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進(jìn)行公式的計(jì)算。除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，其計(jì)算經(jīng)緯計(jì)算精度可達(dá)到0.0001”,方位角計(jì)算精度可達(dá)到0.001”。4.7.4高斯平均引數(shù)反算公式

高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導(dǎo)出:上述兩式的主式為:

（4-231）已知：求得：4.7.5白塞爾大地主題解算方法

白塞爾法解算大地主題的基本思想:

以輔助球面為基礎(chǔ),將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應(yīng)三角形,由三角形對應(yīng)元素關(guān)系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進(jìn)行大地主題解算，最后再將球面上的計(jì)算結(jié)果換算到橢球面上。

這種方法的關(guān)鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應(yīng)元素之間的關(guān)系式,同時(shí)也要解決在球面上進(jìn)行大地主題解算的方法。

1.在球面上進(jìn)行大地主題解算

球面上大地主題正算:

已知求解球面上大地主題反算:

已知

求解球面三角元素間的相互關(guān)系:1)球面上大地主題正解2)球面上大地主題反解方法

2

、橢球面和球面上坐標(biāo)關(guān)系式在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:白塞爾提出如下三個(gè)投影條件：1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.大地線和大圓弧上相應(yīng)點(diǎn)的方