第4章 地球橢球及其數(shù)學投影變換的基本理論

第4章地球橢球及其數(shù)學投影變換的基本理論大地測量學基礎環(huán)境科學與工程學院張序SuzhouUniversityofSciandTechnol(SUST)4.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及其相互關系4.1.1地球橢球基本參數(shù)及其互相關系

地球橢球是選擇的旋轉(zhuǎn)橢球,旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小常用子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)(或稱元素):

長半軸ａ

短半軸ｂ橢圓的扁率橢圓的第一偏心率橢圓的第二偏心率

為簡化書寫，還常引入以下符號4.1.2地球橢球參數(shù)間的互相關系4.2橢球面上常用坐標系及其關系4.2.1各種坐標系的建立1、大地坐標系大地經(jīng)度B大地緯度L大地高H

2、空間直角坐標系

坐標原點位于總地球橢球(或參考橢球)質(zhì)心；Z軸與地球平均自轉(zhuǎn)軸相重合，亦即指向某一時刻的平均北極點；X軸指向平均自轉(zhuǎn)軸與平均格林尼治天文臺所決定的子午面與赤道面的交點G；Y軸與此平面垂直，且指向東為正。地心空間直角系與參心空間直角坐標系之分。

3、子午面直角坐標系

設P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為原點，建立x,y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L,x,y表示。4、地心緯度坐標系及歸化緯度坐標系

設橢球面上P點的大地經(jīng)度L，在此子午面上以橢圓中心O為原點建立地心緯度坐標系;以橢球長半徑a為半徑作輔助圓，延長Ｐ２Ｐ與輔助圓相交Ｐ１點，則OP１與x軸夾角稱為P點的歸化緯度u。

5、大地極坐標系

M是橢球面上一點，MN是過M的子午線，S為連接MP的大地線長，A為大地線在M點的方位角。以M為極點；

MN為極軸；

P點極坐標為（S,A)4.2.2

坐標系之間的相互關系1、子午平面坐標系同大地坐標系的關系

令:

pn=N2、空間直角坐標同子午面直角坐標系的關系3、空間直角坐標系同大地坐標系的關系在橢球面上的點：不在橢球面上的點：由空間直角坐標計算相應大地坐標4、B、u、φ之間的關系

（1）B和u之間的關系

（2）U、φ之間的關系（3）Ｂ、φ之間的關系

大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的差異很小，經(jīng)過計算，當B=45°時4.2.3

站心地平坐標系大地站心地平坐標系是以測站法線和子午線方向為依據(jù)的坐標系。其坐標關系式：Z天頂S12P’2y東x北P2A12Z124.3橢球面上的幾種曲率半徑

過橢球面上任意一點可作一條垂直于橢球面的法線，包含這條法線的平面叫作法截面，法截面與橢球面的交線叫法截線。4.3.1子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑4.3.2卯酉圈曲率半徑(N)

卯酉圈:過橢球面上一點的法線，可作無限個法截面，其中一個與該點子午面相垂直的法截面同橢球面相截形成的閉合的圈稱為卯酉圈。

麥尼爾定理:

假設通過曲面上一點引兩條截弧，一為法截弧，一為斜截弧，且在該點上這兩條截弧具有公共切線，這時斜截弧在該點處的曲率半徑等于法截弧的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑的特點:

卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的長度，亦即卯酉圈的曲率中心位在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。

4.3.3主曲率半徑的計算

以上討論的子午圈曲率半徑M及卯酉圈曲率半徑N，是兩個互相垂直的法截弧的曲率半徑，這在微分幾何中統(tǒng)稱為主曲率半徑。按牛頓二項式定律展開級數(shù)

式中：如果將：按牛頓二項式定律展開級數(shù)式中：4.3.4任意法截弧的曲率半徑

按尤拉公式，由曲面上任意一點主曲率半徑計算該點任意方位角A的法截弧的曲率半徑的公式為：

任意法截弧的曲率半徑的變化規(guī)律:

ＲＡ不僅與點的緯度B有關，而且還與過該點的法截弧的方位角A有關。當Ａ＝０°時，變?yōu)橛嬎阕游缛η拾霃降模矗遥埃剑?；當ＲＡ?0°時，為卯酉圈曲率半徑，即Ｒ９０＝Ｎ。主曲率半徑M及N分別是ＲＡ的極小值和極大值。當A由0°→90°時，ＲＡ之值由Ｍ→Ｎ，當A由90°→180°時，ＲＡ值由N→Ｍ，可見ＲＡ值的變化是以90°為周期且與子午圈和卯酉圈對稱的。4.4.5平均曲率半徑

橢球面上任意一點的平均曲率半徑R等于該點子午圈曲率半徑M和卯酉圈曲率半徑N的幾何平均值。

M，N，R的關系

4.4橢球面上的弧長計算子午線弧長計算公式

子午線曲率半徑：子午線弧長計算公式如果以B＝90°代入，則得子午橢圓在一個象限內(nèi)的弧長約為10002137m。旋轉(zhuǎn)橢球的子午圈的整個弧長約為40008549.995m。即一象限子午線弧長約為10000km，地球周長約為40000km。為求子午線上兩個緯度B１及Ｂ２間的弧長，只需按上式分別算出相應的X１及X２，而后取差：ΔＸ＝Ｘ２－Ｘ１，該ΔＸ即為所求的弧長。當弧長甚短(例如X≤40km，計算精度到0.001m)，可視子午弧為圓弧，而圓的半徑為該圓弧上平均緯度點的子午圈的曲率半徑Mｍ

4.4.2由子午弧長求大地緯度

迭代解法:

4.4.3平行圈弧長公式

子午線弧長和平行圈弧長變化的比較4.5大地線

兩點間的最短距離，在平面上是兩點間的直線，在球面上是兩點間的大圓弧，那么在橢球面上又是怎樣的一條線呢?它應是大地線。4.5.1相對法截線

經(jīng)證明：兩點間就有兩條法截線存在相對法截線

相對法截線的特點:當A，B兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一。在通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A，B，C三個點處所測得的角度(各點上正法截線之夾角)將不能構(gòu)成閉合三角形。為了克服這個矛盾，在兩點間另選一條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。

4.5.2大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點間的最短程曲線叫大地線。

大地線的性質(zhì):大地線是兩點間惟一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角

在橢球面上進行測量計算時，應當以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等，應當歸算成相應大地線的方向、距離。長度差異可忽略,方向差異需改化。

4.5.3大地線的微分方程和克萊勞方程

所謂大地線微分方程，即表達以上三個關系式稱為大地線微分方程?？巳R勞定理表明：

在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。式中常數(shù)C也叫大地線常數(shù)。大地線的克萊勞方程當大地線穿越赤道時當大地線達極小平行圈時由克萊勞方程可以寫出

4.6將地面觀測值歸算至橢球面

觀測的基準線不是各點相應的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線存在著垂線偏差。

歸算的兩條基本要求：

①以橢球面的法線為基準；②將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應元素。4.6.1將地面觀測的水平方向歸算至橢球面

將水平方向歸算至橢球面上，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習慣上稱此三項改正為三差改正。1.垂線偏差改正δu

以測站A為中心作出單位半徑的輔助球,u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別以ξ,η表示，M是地面觀測目標m在球面上的投影。垂線偏差對水平方向的影響是(R-R1)，這個量就是垂線偏差δu

。2.標高差改正δh

3.截面差改正δg

4.6.2將地面觀測的長度歸算至橢球面

1.基線尺量距的歸算

將基線尺量取的長度加上測段傾斜改正后，可以認為它是基線平均高程面上的長度，以Ｓ0表示，現(xiàn)要把它歸算至參考橢球面上的大地線長度S。

1)垂線偏差對長度歸算的影響

2)高程對長度歸算的影響

2.電磁波測距的歸算

弧長計算公式兩點間的弦長4.7大地測量主題解算概算4.7.1大地主題解算的一般說明

主題解算分為:

短距離(<400km)

中距離(<1000km)

長距離(1000km以上)

1.以大地線在大地坐標系中的微分方程為基礎（直接在地球橢球面上進行積分運算）主要特點：解算精度與距離有關，距離越長，收斂越慢，因此只適用于較短的距離微分方程為基礎2.以白塞爾大地投影為基礎1)按橢球面上的已知值計算球面相應值，即實現(xiàn)橢球面向球面的過渡；2)在球面上解算大地問題；3)按球面上得到的數(shù)值計算橢球面上的相應數(shù)值，即實現(xiàn)從圓球向橢球的過渡。典型解法：白塞爾大地主題解算

特點：解算精度與距離長短無關，它既適用于短距離解算，也適用于長距離解算?？蛇m應20000km或更長的距離，這對于國際聯(lián)測，精密導航，遠程導彈發(fā)射等都具有重要意義。4.7.2勒讓德級數(shù)式

為了計算的級數(shù)展開式，關鍵問題是推求各階導數(shù)。一階導數(shù)：二階導數(shù)：三階導數(shù)勒讓德級數(shù)是大地主題正算得一組基本公式，但它僅適用于邊長短于30km的情況。因此，對于邊長長的話，級數(shù)收斂很慢，且計算復雜。4.7.3高斯平均引數(shù)正算公式典型解法：高斯平均引數(shù)法高斯平均引數(shù)正算公式推導的基本思想：

首先把勒讓德級數(shù)在P１點展開改在大地線長度中點M展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少，收斂快，精度高；其次，考慮到求定中點M的復雜性，將M點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應的m點來代替，并借助迭代計算便可順利地實現(xiàn)大地主題正解。

(1)建立級數(shù)展開式:

同理可得:

(2)(3)由大地線微分方程依次求偏導數(shù):可得高斯引數(shù)正算公式：

注意：

從公式可知，欲求ΔＬ，ΔＢ及ΔＡ，必先有Ｂｍ及Ａｍ。但由于Ｂ2和Ａ21未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式的計算。除此之外，此方法適合與200公里以下的大地問題解算，其計算經(jīng)緯計算精度可達到0.0001”,方位角計算精度可達到0.001”。4.7.4高斯平均引數(shù)反算公式

高斯平均引數(shù)反算公式可以依正算公式導出:上述兩式的主式為:

（4-231）已知：求得：4.7.5白塞爾大地主題解算方法

白塞爾法解算大地主題的基本思想:

以輔助球面為基礎,將橢球面三角形轉(zhuǎn)換為輔助球面的相應三角形,由三角形對應元素關系,將橢球面上的大地元素按照白塞爾投影條件投影到輔助球面上，然后在球面上進行大地主題解算，最后再將球面上的計算結(jié)果換算到橢球面上。

這種方法的關鍵問題是找出橢球面上的大地元素與球面上相應元素之間的關系式,同時也要解決在球面上進行大地主題解算的方法。

1.在球面上進行大地主題解算

球面上大地主題正算:

已知求解球面上大地主題反算:

已知

求解球面三角元素間的相互關系:1)球面上大地主題正解2)球面上大地主題反解方法

2

、橢球面和球面上坐標關系式在橢球面上與單位球面上的大地線微分方程為:白塞爾提出如下三個投影條件：1.橢球面大地線投影到球面上為大圓弧2.大地線和大圓弧上相應點的方