第7章 非正弦周期電路-2014

非正弦周期電路第七章本章內容教學導航7.1非正弦周期信號的基本概念7.2非正弦周期信號的分解7.3有效值、平均值和平均功率7.4非正弦周期電路的分析*7.5濾波器【仿真訓練】【技能訓練】本章小結【教學導航】【教學目標】了解非正弦周期信號的產生，理解不同頻率的正弦量疊加的結果為非正弦量；深刻領會傅里葉分解的基本概念，懂得任一非正弦周期函數(shù)可以分解一系列頻率成整數(shù)倍的正弦量的疊加；了解頻譜圖的概念，掌握非正弦周期信號波形的平滑性與高次諧波分量的幅度之間的關系；了解幾種典型的非正弦波所含有的諧波分量，了解波形的對稱性與特點；學會非正弦周期信號的有效值、平均值和平均功率的計算方法；掌握非正弦周期電路的分析方法，懂得常用的幾種濾波器的概念與功能。【教學重點】非正弦周期信號分解為傅里葉級數(shù)的概念；非正弦波的平滑性與高次諧波分量的幅度之間的關系；非正弦周期信號的有效值、平均值和平均功率的計算方法；非正弦周期電路的分析方法，常見濾波器的功能?！窘虒W難點】非正弦波的傅里葉級數(shù)分解；非正弦周期信號的有效值、平均值和平均功率的計算；非正弦周期電路的分析計算?！緟⒖紝W時】

8學時1、非正弦周期電路的產生：實際中常見到非正弦周期的產生可分兩類：

（1）激勵為非正弦周期電壓或電流的電路。如：數(shù)字電子電路、控制電路、計算機電路和發(fā)電機發(fā)出電壓等。（2）激勵為多頻率信號電路。如：收音機的接收電路等。7.1非正弦周期信號的基本概念舉例一：非線性電路產生的非正弦信號（半波整流電路及波形）舉例二：二個不同頻率正弦波疊加產生非正弦周期信號頻率f1正弦信號（藍）頻率f2正弦信號（綠）頻率f1與f2疊加后的所得的非正弦信號（紅）2、幾種常見的非正弦電壓波形（a）矩形波（b）鋸齒波（c）三角波3、非正弦周期電路的分析方法：在線性電路中非正弦周期信號激勵下的電路響應分析，其分析方法可分為兩步：

（1）將非正弦周期信號展開為傅氏級數(shù)（諧波分析）；（2）利用線性電路的疊加性求響應。①其中a0、ak、bk為傅立葉級數(shù)的系數(shù)，它們的計算公式如下：7.2.1非正弦周期信號的傅里葉分解任一周期函數(shù)，若滿足狄里赫利條件，都可以展開為一個收斂級數(shù)。形式為：7.2非正弦信號的分解以上各量關系可用一直角三角形的邊角關系表示，如圖示。②其中：而：高次諧波名詞介紹：A0：

直流分量：

基波角頻率：

諧波k=1時稱：

一次諧波（基波）k=2,3,···時稱…分別為二次、三次、…諧波諧波分析：把一個周期函數(shù)展開或分解為具有一系列諧波的傅里葉級數(shù)稱為諧波分析。方法有：①計算法；②查表法。7.2.2非正弦周期信號的頻譜圖頻譜圖：用來直觀地表示非正弦信號中的各次正弦波形分量的大小或相位。常見的有振幅頻譜圖和相位頻譜圖。（1）振幅頻譜。是用來表示各諧波分量的振幅與頻率之間關系的圖形。它是用長度與各次諧波振幅大小相對應的線段，按頻率的高低順序把它們依次排列起來所得到的圖形；（2）相位頻譜。是用來表示各諧波分量的初相位與頻率之間關系的圖形。它是把各次諧波的初相角用相應線段按頻率的高低順序把它們依次排列起來的頻譜。由于各諧波的角頻率是的整數(shù)倍，所以這種頻譜是離散的，又稱為線頻譜。例7.1

給定一個周期性信號f(t)，其波形如圖7.3所示，是一個周期性的矩形波。求此信號f(t)的傅里葉級數(shù)的展開式，并作出相應的頻譜圖

。解圖示周期函數(shù)f(t)在一個周期內的表達式為（a0：為恒定分量，該f(t)在一個周期內的平均值為零。）傅里葉級數(shù)的展開式為：其中：當k為奇數(shù)時，當k為偶數(shù)時，由此可求得周期性矩形波的傅里葉級數(shù)表達式為：根據以上矩形波的傅里葉級展開式中各次諧波的相應參數(shù)，繪出的振幅頻譜圖和相位頻譜圖如下：

矩形波振幅頻譜圖

矩形波相位頻譜圖

7.2.2幾種典型的非正正弦周期信號1、正弦波(1)函數(shù)的波形(2)傅里葉級數(shù)(3)有效值(4)整流平均值一、典型周期函數(shù)波形的傅里葉級數(shù)2、半波整流波(1)函數(shù)的波形(2)傅里葉級數(shù)(3)有效值(4)整流平均值3、全波整流波(1)函數(shù)的波形(2)傅里葉級數(shù)(3)有效值(4)整流平均值4、鋸齒波(1)函數(shù)的波形(2)傅里葉級數(shù)(3)有效值(4)整流平均值5、三角波(1)函數(shù)的波形(2)傅里葉級數(shù)(3)有效值(4)整流平均值（k為奇數(shù)）6、矩形波(1)函數(shù)的波形(2)傅里葉級數(shù)(3)有效值(4)整流平均值（k為奇數(shù)）7、梯形波(1)函數(shù)的波形(2)傅里葉級數(shù)(3)有效值(4)整流平均值（k為奇數(shù)）因為級數(shù)收斂，所以波形的平滑性與高次諧波振幅的關系：波形越平滑，高次諧波的振幅越??；波形越跳變，高次諧波的振幅越大。工程上根據精度要求，取有限項進行計算，一般取3～5項。A0為f(t)在一個周期T內的平均值，所以在一個周期內正面積=負面積時，A0=0，反之A0≠0。高次諧波的振幅及直流分量：2．直流分量1．振幅1．偶函數(shù)—縱軸對稱

，即波形對稱于縱軸，則傅氏級數(shù)中只含直流分量和余弦項。（含a0)偶函數(shù)時二、波形的對稱性（函數(shù)的對稱性與系數(shù)a0、ak、bk的關系）2．奇函數(shù)—原點對稱

，波形對稱于原點，則傅氏級數(shù)中只含正弦項。奇函數(shù)時3．偶諧波函數(shù)鏡像對稱兩個相差半個周期的函數(shù)值大小相等，符號相同，偶諧波函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只含直流分量和各偶次諧波分量，故稱偶諧波函數(shù)。4．奇諧波函數(shù)—橫軸對稱時，將f(t)波形移動半個周期后，與原波形對稱于橫軸。則傅氏級數(shù)中無直流分量和偶次諧波分量，只含奇次諧波分量。例7-2

求圖示正弦周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)。解：為奇函數(shù)，的表達式為：（其中k

為奇數(shù)時為+，偶數(shù)時為－）

7.3有效值、平均值和平均功率7.3.1有效值：定義：分析：i2結果分三部分：①

②③

對于①對于②對于③（由三角函數(shù)的正交性可得）結論：同理有即：非正弦周期電流或電壓的有效值，等于直流分量和各次諧波分量電流或電壓有效值平方和的平方根。7.3.2平均值定義：即：非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對值的平均值

正弦量的平均值為

另外，根據正弦電流平均值的定義，它相當于正弦電流經全波整流后的平均值。

對于同一非正弦周期電流，當我們用不同類型的儀表進行測量時，會得到不同的結果：

例如：用直流儀表測量，所測結果是直流分量；

用電磁系或電動系儀表測量，所測結果為有效值；

用全波整流磁電系儀表測量時，所得結果將是電流的平均值。

同上可得：7.3.3平均功率定義：平均功率P，是瞬時功率在一個周期內取平均值，即

例7-3

流過5電阻的電流為，計算電阻的平均功率。解：注：（1）多次諧波的有功功率之和為非正弦電路的總的平均功率，即：（2）非正弦周期電流流過電阻時。。歸納：

1.電工技術中常見到的非正弦周期信號函數(shù)均能分解為傅立葉級數(shù)，它們是一系列不同頻率的正弦信號的和。求得傅立葉級數(shù)的方法一是查表法，二是計算法(先用公式計算出傅氏級數(shù)的系數(shù)后，再寫出該級數(shù)）。

2.非正弦周期函數(shù)分解為傅立葉級數(shù)時，利用波形的對稱性可使計算簡化。

3.在非正弦周期電流電路的分析中常用到有效值和平均功率。教學目的：

1.熟練掌握非正弦周期電流電路的計算方法。

2.理解濾波器的工作原理。

教學內容概述：

本講介紹了非正弦周期電流電路的計算方法和濾波器的工作原理。教學重點和難點：

重點：非正弦周期電流電路的計算方法。難點：含串聯(lián)諧振和并聯(lián)諧振的非正弦周期電流電路的計算。7.4非正弦周期電路的分析計算原則：各次諧波分開計算，按時域內對各次諧波計算結果進行疊加。計算步驟：1．處理信號---非正弦分解為傅里葉級數(shù)。2．分別計算---直流分量與各次諧波分別單獨計算。3．最后疊加---將步驟2各結果的瞬時值進行疊加。注意事項：（1）電路的阻抗與頻率有關。如：7.4.1非正弦周期電路的分析方法基波時7.4非正弦周期電路的分析即各次諧波下，電路的阻抗需要重新進行計算。（2）對于直流分量，計算時，C開路，L短接。（3）對某次諧波來說，可用求解交流電路的方法求。即可用復數(shù)計算，也可畫相量圖。但沒有一個總的相量圖。（4）疊加時，用瞬時值式子疊加。而（5）有效值用公式求。k次諧波時例7-2電路如圖所示，已知非正弦電源電壓為

求：（1）各支路電流的表達式；（2）電源發(fā)出的平均功率；（3）R1支路吸收的平均功率。解：（1）直流分量單獨作用：L短路，C開路。（2）基波分量單獨作用下：

（3）三次諧波分量單獨作用：

（4）直流與各諧波分量的瞬時值疊加：（5）電源發(fā)出的平均功率：P=U（0）I（0）+U（1）I（1）cosψ1+U（3）I（3）cosψ3=[10×2+100×20.5cos6.41°+50×8.62cos(30-10.17°)]W=2443W（6）R1支路吸收的平均功率：=20+1727+204.8=1952W例7-3

圖（a）所示為一全波整流器及濾波電路，濾波器由電感L=5H和電容C=10μF所組成。負載電阻R=2kΩ。設加在濾波電路上的電壓波形如圖（b）所示，其中Um=157V。求負載R兩端電壓的各諧波分量；設（a）（b）

解：（1）

查全波整流信號的傅里葉級數(shù)分解表，得取到4次諧波。代入Um=157V，有

（2）對直流分量，電感作短路，電容作開路處理，故負載兩端電壓的直流分量為UR（0）=100V；（3）對二次諧波和四次諧波來說，可以用圖示電路來計算。（k=2，4）

（k=2，4）

所以，負載兩端的k次諧波電壓為

為表示外施k次諧波電壓的相量。代入數(shù)據，有

故得負載兩端諧波電壓：

（二次諧波的幅值）

（四次諧波的幅值）

從本例電路計算結果可見：負載端電壓四次諧波分量很小，僅為直流分量的0.17％，可以略去不計；二次諧波分量也只有直流分量的3.53％；u（t）經過該濾波電路后，高頻分量受到抑制，獲得較平穩(wěn)的輸出電壓uR（t）。的特性7.4.2濾波器簡介讓某些頻率的分量通過而抑制另一些頻率的分量的電路稱為濾波器。原理：利用電路阻抗如：。串聯(lián)諧振(Z最?。?，并聯(lián)諧振（Z最大），達到濾波的目的。1、低通濾波器：利用了2、高通濾波器：3、帶通濾波器：利用了的特性利用了并聯(lián)諧振Z→∞，串聯(lián)諧振Z→

0的特點4、帶阻濾波器：利用了并聯(lián)諧振Z→∞，串聯(lián)諧振Z→

0的特點【仿真訓練】仿真訓練1：非正弦周期信號的諧波合成仿真舉例：三角波信號合成電路的仿真

傅里葉級數(shù)分解式：

舉例：

測量矩形脈沖波各次諧波頻率和幅值（占空比為50%的矩形脈沖波的幅度為10V、頻率為1kHz。）仿真訓練2：非正弦周期信號的傅里葉分解仿真（1）經理論分析，該矩形脈沖信號的傅里葉展開式為：

（2）用頻譜分析儀測量該信號的各次諧波頻率和幅值。

①函數(shù)信號發(fā)生器的輸出：脈沖方波，頻率為1kHz，占空比為50%，幅度為10V，直流偏置電壓為0V。②頻譜分析儀測量：

測量所得的各次諧波的頻率和幅度為：諧波分量的頻率分別為：1kHz、3kHz、5kHz、7kHz、…；諧波分量的幅度分別為2×6.4V、2×2.1V、2×1.3V、2×0.9V、…；該測量結果與理論分析一致。

（3）用傅里葉分析將該信號分解為各次諧波分量

①函數(shù)信號發(fā)生器的輸出：脈沖方波，頻率為1kHz，占空比為50%，幅度為10V，直流偏置電壓為