第10章 壓桿的穩(wěn)定性分析與穩(wěn)定設計

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高等教育出版社范欽珊教育與教學工作室Wednesday,February1,2023(10)返回總目錄清華大學范欽珊材料力學討論課教學軟件壓桿的穩(wěn)定性分析與穩(wěn)定性設計第10章材料力學第10章壓桿的穩(wěn)定性分析與穩(wěn)定性設計

剛體的平衡位形和彈性體的平衡構形都存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定問題。本章首先介紹關于彈性體平衡構形穩(wěn)定性的基本概念，包括：平衡構形、平衡構形的分叉、分叉點、屈曲以及彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學判別準則。然后根據微彎的屈曲平衡構形，由平衡條件和小撓度微分方程以及端部約束條件，確定不同剛性支承條件下彈性壓桿的臨界力。最后，本章還將介紹工程中常用的壓桿穩(wěn)定設計方法—安全因數法。最后，本章還將介紹工程中常用的壓桿穩(wěn)定設計方法—安全因數法。圖示剛性桿AD在B、E兩處由彈簧剛度為k的兩根彈簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。試求系統(tǒng)的臨界載荷FPcr。（提示：假定AB桿在微小傾角時保持平衡。）第1類習題確定平衡穩(wěn)定的臨界力aFPcrFPcrlθFPcrFPcrFBFE解：當載荷達臨界值時，剛性桿將在微小位移下保持平衡。這時，一端彈簧伸長，另一端彈簧壓縮。

由平衡條件：其中圖示剛性桿AD在B、E兩處由彈簧剛度為k的兩根彈簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。試求系統(tǒng)的臨界載荷FPcr。（提示：假定AB桿在微小傾角時保持平衡。）第1類習題確定平衡穩(wěn)定的臨界力

已知l=3m，直徑d=20mm，柱子軸線之間的間距a=60mm。柱子的材料均為Q235鋼，E=200GPa，柱子所受載荷FP的作用線與兩柱子等間距，并作用在兩柱子所在的平面內。假設各種情形下歐拉公式均適用。

試求：結構的臨界載荷。圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力xyOFP幾種可能的屈曲形式第1種屈曲形式兩桿分別失穩(wěn)，桿的兩端都是固定端約束μ=0.5單根桿的臨界載荷為結構的臨界載荷為圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力FP第1種屈曲形式兩桿整體繞y軸屈曲，這時桿的上端相當于自由端，下端為固定端，μ=2.0結構的臨界載荷為第2種屈曲形式xzO幾種可能的屈曲形式圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力FP第1種屈曲形式兩桿整體繞y軸屈曲，這時桿的上端相當于可以水平移動的固定端，下端為固定端，屈曲波形為1個正弦半波。μ=1.0結構的臨界載荷為第2種屈曲形式xzO幾種可能的屈曲形式圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第3種屈曲形式xyOFP第1種屈曲形式兩桿整體繞z

軸屈曲，這時桿的上端相當于自由端，下端為固定端，μ=2.0第2種屈曲形式第3種屈曲形式這時歐拉公式中的慣性矩應為兩根桿的橫截面對于z軸的慣性矩。幾種可能的屈曲形式圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第4種屈曲形式xyOFP第1種屈曲形式兩桿在xy平面內繞z

方向、繞各自的形心主軸屈曲，兩端均作為固定端，其屈曲波形為1個正弦半波，μ=1.0第2種屈曲形式第3種屈曲形式幾種可能的屈曲形式圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第4種屈曲形式第5種屈曲形式第1種屈曲形式第2種屈曲形式結構的臨界載荷圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第3種屈曲形式第4種屈曲形式第5種屈曲形式結構的臨界載荷圖示結構中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σs=600MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrew解：1.計算軸的受力：變形諧調方程為：圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σs=600MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN溫升時，由于α1>α2使軸受壓力FN。該力無法由平衡方程求得，所以需要借助于變形協(xié)調條件圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σp=300MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。解：1.計算軸的受力：變形諧調方程為：由此解出：第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN2.計算軸的柔度，判斷壓桿類型屬細長桿

屬細長桿

軸屬于細長桿

圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σp=300MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN3.校核壓桿的穩(wěn)定性軸屬于細長桿結論：軸的穩(wěn)定性不安全。ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN

圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σp=300MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性圖示結構中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數［n］st=2.5。試求此結構的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷解：這一結構中的兩根桿都是壓桿

，二者獨立發(fā)生屈曲。F′P＝F"P＝FP

圖示結構中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數［n］st=2.5。試求此結構的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷F′PF"P圖示結構中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數［n］st=2.5。試求此結構的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷F′PF"P解：1.計算兩根桿的柔度AB桿：一端固定、另一端鉸鏈約束，BC桿：兩端均為鉸鏈約束，F(xiàn)′PF"P兩桿材料相同，柔度大的壓桿容易屈曲，所以AB桿將先于BC桿失穩(wěn)。于是，結構的臨界力為：圖示結構中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數［n］st=2.5。試求此結構的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷AB桿：BC桿：2.計算臨界載荷圖示結構中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數［n］st=2.5。試求此結構的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷3.確定許可載荷應用穩(wěn)定性設計準則F′PF"P圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）FRCF'RCFRC=F'RC解：

1．首先求解靜不定問題。因為AB為靜不定梁，所以需要解除C處的多余約束，代之以FRC。解：

由變形諧調條件，有：物性關系：對于CD柱，承受軸向壓縮，其變形量為對于AB梁，由型鋼表查得，均布載荷q和約束力FRC作用下，梁中點C處的撓度為圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）解：

1．首先求解靜不定問題。

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）由型鋼表查得工字鋼和角鋼的幾何性質

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）No.16a工字鋼：Iz=1130cm4，Wz=141cm3

2No.63×63×5角鋼：iy=1.94cm,解：

1．首先求解靜不定問題

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)解：

2．確定梁的強度安全因數圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)FRCFAFB解：

2．確定梁的強度安全因數由畫出彎矩圖梁內最大彎矩在C處圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)xx=0.767mFRCFAFBxMacMCdMDbeME解：

2．確定梁的強度安全因數梁內最大彎矩在C處No.16a工字鋼：

Iz=1130cm4，Wz=141cm3

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)xFRCFAFBxMacMCdMDbeME解：

3．確定柱的穩(wěn)定安全因數柱的臨界應力柱的柔度柱的工作應力圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)2No.63×63×5角鋼：iy=1.94cm,F'RC柱的臨界應力

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數。

第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜