第10章 壓桿的穩(wěn)定性分析與穩(wěn)定設(shè)計

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高等教育出版社范欽珊教育與教學工作室Wednesday,February1,2023(10)返回總目錄清華大學范欽珊材料力學討論課教學軟件壓桿的穩(wěn)定性分析與穩(wěn)定性設(shè)計第10章材料力學第10章壓桿的穩(wěn)定性分析與穩(wěn)定性設(shè)計

剛體的平衡位形和彈性體的平衡構(gòu)形都存在穩(wěn)定與不穩(wěn)定問題。本章首先介紹關(guān)于彈性體平衡構(gòu)形穩(wěn)定性的基本概念，包括：平衡構(gòu)形、平衡構(gòu)形的分叉、分叉點、屈曲以及彈性平衡穩(wěn)定性的靜力學判別準則。然后根據(jù)微彎的屈曲平衡構(gòu)形，由平衡條件和小撓度微分方程以及端部約束條件，確定不同剛性支承條件下彈性壓桿的臨界力。最后，本章還將介紹工程中常用的壓桿穩(wěn)定設(shè)計方法—安全因數(shù)法。最后，本章還將介紹工程中常用的壓桿穩(wěn)定設(shè)計方法—安全因數(shù)法。圖示剛性桿AD在B、E兩處由彈簧剛度為k的兩根彈簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。試求系統(tǒng)的臨界載荷FPcr。（提示：假定AB桿在微小傾角時保持平衡。）第1類習題確定平衡穩(wěn)定的臨界力aFPcrFPcrlθFPcrFPcrFBFE解：當載荷達臨界值時，剛性桿將在微小位移下保持平衡。這時，一端彈簧伸長，另一端彈簧壓縮。

由平衡條件：其中圖示剛性桿AD在B、E兩處由彈簧剛度為k的兩根彈簧所支承，并在FP力作用下保持水平平衡位置。試求系統(tǒng)的臨界載荷FPcr。（提示：假定AB桿在微小傾角時保持平衡。）第1類習題確定平衡穩(wěn)定的臨界力

已知l=3m，直徑d=20mm，柱子軸線之間的間距a=60mm。柱子的材料均為Q235鋼，E=200GPa，柱子所受載荷FP的作用線與兩柱子等間距，并作用在兩柱子所在的平面內(nèi)。假設(shè)各種情形下歐拉公式均適用。

試求：結(jié)構(gòu)的臨界載荷。圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力xyOFP幾種可能的屈曲形式第1種屈曲形式兩桿分別失穩(wěn)，桿的兩端都是固定端約束μ=0.5單根桿的臨界載荷為結(jié)構(gòu)的臨界載荷為圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力FP第1種屈曲形式兩桿整體繞y軸屈曲，這時桿的上端相當于自由端，下端為固定端，μ=2.0結(jié)構(gòu)的臨界載荷為第2種屈曲形式xzO幾種可能的屈曲形式圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力FP第1種屈曲形式兩桿整體繞y軸屈曲，這時桿的上端相當于可以水平移動的固定端，下端為固定端，屈曲波形為1個正弦半波。μ=1.0結(jié)構(gòu)的臨界載荷為第2種屈曲形式xzO幾種可能的屈曲形式圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第3種屈曲形式xyOFP第1種屈曲形式兩桿整體繞z

軸屈曲，這時桿的上端相當于自由端，下端為固定端，μ=2.0第2種屈曲形式第3種屈曲形式這時歐拉公式中的慣性矩應(yīng)為兩根桿的橫截面對于z軸的慣性矩。幾種可能的屈曲形式圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第4種屈曲形式xyOFP第1種屈曲形式兩桿在xy平面內(nèi)繞z

方向、繞各自的形心主軸屈曲，兩端均作為固定端，其屈曲波形為1個正弦半波，μ=1.0第2種屈曲形式第3種屈曲形式幾種可能的屈曲形式圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第4種屈曲形式第5種屈曲形式第1種屈曲形式第2種屈曲形式結(jié)構(gòu)的臨界載荷圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力第3種屈曲形式第4種屈曲形式第5種屈曲形式結(jié)構(gòu)的臨界載荷圖示結(jié)構(gòu)中兩根柱子下端固定，上端與一可活動的剛性塊固結(jié)在一起。第2類習題確定壓桿的臨界力圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數(shù)α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數(shù)α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σs=600MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數(shù)［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrew解：1.計算軸的受力：變形諧調(diào)方程為：圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數(shù)α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數(shù)α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σs=600MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數(shù)［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN溫升時，由于α1>α2使軸受壓力FN。該力無法由平衡方程求得，所以需要借助于變形協(xié)調(diào)條件圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數(shù)α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數(shù)α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σp=300MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數(shù)［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。解：1.計算軸的受力：變形諧調(diào)方程為：由此解出：第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN2.計算軸的柔度，判斷壓桿類型屬細長桿

屬細長桿

軸屬于細長桿

圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數(shù)α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數(shù)α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σp=300MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數(shù)［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN3.校核壓桿的穩(wěn)定性軸屬于細長桿結(jié)論：軸的穩(wěn)定性不安全。ball-socketjointRollerbearingframeworkshaftscrewFNFN

圖示長l=150mm、直徑d=6mm的40Cr鋼制微型圓軸，在溫度為t1=－60℃時安裝，這時，軸既不能沿軸向移動，又不承受軸向載荷；溫度升高時軸和架身將同時因熱膨脹而伸長，軸材料線膨脹數(shù)α1＝1.25×10－5/℃，架身材料的線膨脹系數(shù)α2＝7.5×10－6/℃。40Cr鋼的σp=300MPa，E=210GPa。若規(guī)定軸的穩(wěn)定工作安全因數(shù)［n］st=2.0，且忽略架身因受力而引起的微小變形，試校核當溫度升高到t2=60℃時，該軸是否安全。第3類習題校核壓桿的穩(wěn)定性圖示結(jié)構(gòu)中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數(shù)［n］st=2.5。試求此結(jié)構(gòu)的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷解：這一結(jié)構(gòu)中的兩根桿都是壓桿

，二者獨立發(fā)生屈曲。F′P＝F"P＝FP

圖示結(jié)構(gòu)中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數(shù)［n］st=2.5。試求此結(jié)構(gòu)的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷F′PF"P圖示結(jié)構(gòu)中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數(shù)［n］st=2.5。試求此結(jié)構(gòu)的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷F′PF"P解：1.計算兩根桿的柔度AB桿：一端固定、另一端鉸鏈約束，BC桿：兩端均為鉸鏈約束，F(xiàn)′PF"P兩桿材料相同，柔度大的壓桿容易屈曲，所以AB桿將先于BC桿失穩(wěn)。于是，結(jié)構(gòu)的臨界力為：圖示結(jié)構(gòu)中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數(shù)［n］st=2.5。試求此結(jié)構(gòu)的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷AB桿：BC桿：2.計算臨界載荷圖示結(jié)構(gòu)中AB為圓截面桿，直徑d=80mm，桿BC為正方形截面，邊長a=70mm，兩桿材料均為Q235鋼，E=200GPa，兩部分可以各自獨立發(fā)生屈曲而互不影響。已知A端固定，B、C為球鉸，l=3m，穩(wěn)定安全因數(shù)［n］st=2.5。試求此結(jié)構(gòu)的許可載荷［FP］。第4類習題確定壓桿的許可載荷3.確定許可載荷應(yīng)用穩(wěn)定性設(shè)計準則F′PF"P圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）FRCF'RCFRC=F'RC解：

1．首先求解靜不定問題。因為AB為靜不定梁，所以需要解除C處的多余約束，代之以FRC。解：

由變形諧調(diào)條件，有：物性關(guān)系：對于CD柱，承受軸向壓縮，其變形量為對于AB梁，由型鋼表查得，均布載荷q和約束力FRC作用下，梁中點C處的撓度為圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）解：

1．首先求解靜不定問題。

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）由型鋼表查得工字鋼和角鋼的幾何性質(zhì)

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題（1）No.16a工字鋼：Iz=1130cm4，Wz=141cm3

2No.63×63×5角鋼：iy=1.94cm,解：

1．首先求解靜不定問題

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)解：

2．確定梁的強度安全因數(shù)圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)FRCFAFB解：

2．確定梁的強度安全因數(shù)由畫出彎矩圖梁內(nèi)最大彎矩在C處圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)xx=0.767mFRCFAFBxMacMCdMDbeME解：

2．確定梁的強度安全因數(shù)梁內(nèi)最大彎矩在C處No.16a工字鋼：

Iz=1130cm4，Wz=141cm3

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)xFRCFAFBxMacMCdMDbeME解：

3．確定柱的穩(wěn)定安全因數(shù)柱的臨界應(yīng)力柱的柔度柱的工作應(yīng)力圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜合問題(1)2No.63×63×5角鋼：iy=1.94cm,F'RC柱的臨界應(yīng)力

圖示梁及柱的材料均為Q235鋼，E=200GPa，σs=240MPa，均布載荷q=24kN/m，豎桿為兩根63×63×5等邊角鋼（連結(jié)成一整體）。試確定梁及柱的工作安全因數(shù)。

第5類習題穩(wěn)定與靜不定的綜