第八章-基于動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的異步電動(dòng)機(jī)矢量

第八章-基于動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型的異步電動(dòng)機(jī)矢量控制系統(tǒng)交流篇主要內(nèi)容：8.1矢量控制的基本概念8.2異步電動(dòng)機(jī)不同坐標(biāo)下的數(shù)學(xué)模型8.3磁場(chǎng)定向和矢量控制方程式8.4異步電動(dòng)機(jī)矢量控制系統(tǒng)8.1矢量控制的基本概念1.直流電動(dòng)機(jī)和異步電動(dòng)機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)速是通過轉(zhuǎn)矩改變的。任何電動(dòng)機(jī)都服從基本動(dòng)力學(xué)方程：GD2——飛輪慣量；同樣轉(zhuǎn)矩和電流有以下關(guān)系：

可看出勵(lì)磁磁場(chǎng)和電樞磁場(chǎng)是相互垂直的，各自獨(dú)立，不相互影響。勵(lì)磁繞組是固定的。電樞繞組是旋轉(zhuǎn)的，但產(chǎn)生的磁勢(shì)Fd空間上是固定的，通常把這種等效的靜止繞組稱作“偽靜止繞組”。異步電動(dòng)機(jī)

定子磁勢(shì)Fs和轉(zhuǎn)子磁勢(shì)Fr及氣隙磁勢(shì)F?都是以同步角速度ωs在空間旋轉(zhuǎn)的矢量。彼此間夾角不是90度，因此系統(tǒng)較復(fù)雜。2.矢量控制的基本思想上圖為矢量控制思路。三相交流轉(zhuǎn)換成兩相交流繞組，再轉(zhuǎn)化成旋轉(zhuǎn)的直流繞組。8.2三相異步電動(dòng)機(jī)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型

假設(shè)條件：

（1）忽略空間諧波，設(shè)三相繞組對(duì)稱，在空間互差120°電角度，所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)沿氣隙周圍按正弦規(guī)律分布；（2）忽略磁路飽和，各繞組的自感和互感都是恒定的；（3）忽略鐵心損耗；（4）不考慮頻率變化和溫度變化對(duì)繞組電阻的影響。物理模型

無論電機(jī)轉(zhuǎn)子是繞線型還是籠型的，都將它等效成三相繞線轉(zhuǎn)子，并折算到定子側(cè)，折算后的定子和轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)都相等。這樣，實(shí)際電機(jī)繞組就等效成下圖所示的三相異步電機(jī)的物理模型。三相異步電動(dòng)機(jī)的物理模型ABCuAuBuC1uaubucabc圖8-2三相異步電動(dòng)機(jī)的物理模型

圖中，定子三相繞組軸線A、B、C在空間是固定的，以A軸為參考坐標(biāo)軸；轉(zhuǎn)子繞組軸線a、b、c隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子a軸和定子A軸間的電角度為空間角位移變量。規(guī)定各繞組電壓、電流、磁鏈的正方向符合電動(dòng)機(jī)慣例和右手螺旋定則。這時(shí)，異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型由下述電壓方程、磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程組成。8.2.1電壓方程三相定子繞組的電壓平衡方程為

電壓方程（續(xù)）

與此相應(yīng)，三相轉(zhuǎn)子繞組折算到定子側(cè)后的電壓方程為

上述各量都已折算到定子側(cè)，為了簡(jiǎn)單起見，表示折算的上角標(biāo)“’”均省略，以下同此。

式中Rs,Rr—定子和轉(zhuǎn)子繞組電阻。A,B,C,a,b,c—各相繞組的全磁鏈；iA,iB,iC,ia,ib,ic—定子和轉(zhuǎn)子相電流的瞬時(shí)值；uA,uB,uC,ua,ub,uc—定子和轉(zhuǎn)子相電壓的瞬時(shí)值；電壓方程的矩陣形式

將電壓方程寫成矩陣形式，并以微分算子p代替微分符號(hào)

d/dt（8-1a）

或?qū)懗?/p>

（8-1b）

8.2.2.磁鏈方程

每個(gè)繞組的磁鏈?zhǔn)撬旧淼淖愿写沛満推渌@組對(duì)它的互感磁鏈之和，因此，六個(gè)繞組的磁鏈可表達(dá)為

（8-3a）

或?qū)懗?/p>

（8-68b）

電感矩陣式中，L是6×6電感矩陣，其中對(duì)角線元素LAA，LBB，LCC，Laa，Lbb，Lcc是各有關(guān)繞組的自感，其余各項(xiàng)則是繞組間的互感。實(shí)際上，與電機(jī)繞組交鏈的磁通主要只有兩類：一類是穿過氣隙的相間互感磁通，另一類是只與一相繞組交鏈而不穿過氣隙的漏磁通，前者是主要的。

電感矩陣式中，L是6×6電感矩陣，其中對(duì)角線元素LAA，LBB，LCC，Laa，Lbb，Lcc是各有關(guān)繞組的自感，其余各項(xiàng)則是繞組間的互感。實(shí)際上，與電機(jī)繞組交鏈的磁通主要只有兩類：一類是穿過氣隙的相間互感磁通，另一類是只與一相繞組交鏈而不穿過氣隙的漏磁通，前者是主要的。

電感的種類和計(jì)算定子漏感Lls

——定子各相漏磁通所對(duì)應(yīng)的電感，由于繞組的對(duì)稱性，各相漏感值均相等；轉(zhuǎn)子漏感Llr

——轉(zhuǎn)子各相漏磁通所對(duì)應(yīng)的電感。定子互感Lms——與定子一相繞組交鏈的最大互感磁通；轉(zhuǎn)子互感Lmr——與轉(zhuǎn)子一相繞組交鏈的最大互感磁通。

由于折算后定、轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)相等，且各繞組間互感磁通都通過氣隙，磁阻相同，故可認(rèn)為

Lms

=Lmr

自感表達(dá)式

對(duì)于每一相繞組來說，它所交鏈的磁通是互感磁通與漏感磁通之和，因此，定子各相自感為（8-69）

轉(zhuǎn)子各相自感為

（8-70）

互感表達(dá)式

兩相繞組之間只有互感?；ジ杏址譃閮深悾海?）定子三相彼此之間和轉(zhuǎn)子三相彼此之間位置都是固定的，故互感為常值；

（2）定子任一相與轉(zhuǎn)子任一相之間的位置是變化的，互感是角位移的函數(shù)。

第一類固定位置繞組的互感

三相繞組軸線彼此在空間的相位差是±120°，在假定氣隙磁通為正弦分布的條件下，互感值應(yīng)為，

于是

（8-71）

（8-72）

第二類變化位置繞組的互感定、轉(zhuǎn)子繞組間的互感，由于相互間位置的變化（圖8-1），可分別表示為

當(dāng)定、轉(zhuǎn)子兩相繞組軸線一致時(shí)，兩者之間的互感值最大，就是每相最大互感Lms

。（8-73）（8-74）（8-75）

磁鏈方程

將式（8-3）~式（8-9）都代入式（8-2a），即得完整的磁鏈方程，顯然這個(gè)矩陣方程是比較復(fù)雜的，為了方便起見，可以將它寫成分塊矩陣的形式

（8-76）

式中（8-77）

（8-78）

值得注意的是，和兩個(gè)分塊矩陣互為轉(zhuǎn)置，且均與轉(zhuǎn)子位置有關(guān)，它們的元素都是變參數(shù)，這是系統(tǒng)非線性的一個(gè)根源。為了把變參數(shù)轉(zhuǎn)換成常參數(shù)須利用坐標(biāo)變換，后面將詳細(xì)討論這個(gè)問題。

（8-79）

電壓方程的展開形式

如果把磁鏈方程（8-12b）代入電壓方程（8-11b）中，即得展開后的電壓方程

（8-81）

式中，Ldi/dt

項(xiàng)屬于電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中的脈變電動(dòng)勢(shì)（或稱變壓器電動(dòng)勢(shì)），(dL/d)i

項(xiàng)屬于電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中與轉(zhuǎn)速成正比的旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)。8.2.3.轉(zhuǎn)矩方程

根據(jù)機(jī)電能量轉(zhuǎn)換原理，在多繞組電機(jī)中，在線性電感的條件下，磁場(chǎng)的儲(chǔ)能和磁共能為

（8-82）

（8-82）

而電磁轉(zhuǎn)矩等于機(jī)械角位移變化時(shí)磁共能的變化率（電流約束為常值），且機(jī)械角位移m=/np

，于是

轉(zhuǎn)矩方程的矩陣形式

將式（8-81）代入式（8-82），并考慮到電感的分塊矩陣關(guān)系式（8-77）~（8-80），得（8-83）

又由于

代入式（8-83）得（8-84）

轉(zhuǎn)矩方程的三相坐標(biāo)系形式以式（8-77）代入式（8-84）并展開后，舍去負(fù)號(hào)，意即電磁轉(zhuǎn)矩的正方向?yàn)槭?/p>

減小的方向，則（8-85）

應(yīng)該指出，上述公式是在線性磁路、磁動(dòng)勢(shì)在空間按正弦分布的假定條件下得出來的，但對(duì)定、轉(zhuǎn)子電流對(duì)時(shí)間的波形未作任何假定，式中的i都是瞬時(shí)值。因此，上述電磁轉(zhuǎn)矩公式完全適用于變壓變頻器供電的含有電流諧波的三相異步電機(jī)調(diào)速系統(tǒng)。8.2.4.電力拖動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程

在一般情況下，電力拖動(dòng)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式是（8-86）

TL——負(fù)載阻轉(zhuǎn)矩；

J——機(jī)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；D——與轉(zhuǎn)速成正比的阻轉(zhuǎn)矩阻尼系數(shù)；K——扭轉(zhuǎn)彈性轉(zhuǎn)矩系數(shù)。

運(yùn)動(dòng)方程的簡(jiǎn)化形式對(duì)于恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載，D=0，

K=0，則（8-87）

8.2.5.三相異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型將式（8-76），式（8-78），式（8-79）和式（8-87）綜合起來，再加上（8-88）

便構(gòu)成在恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載下三相異步電機(jī)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型，用結(jié)構(gòu)圖表示出來如下圖所示

異步電機(jī)的多變量非線性動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

(R+Lp)-1L1()2()1eruiTeTL

npJp

它是圖8-43模型結(jié)構(gòu)的具體體現(xiàn)，表明異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的下列具體性質(zhì)：（1）異步電機(jī)可以看作一個(gè)雙輸入雙輸出的系統(tǒng)，輸入量是電壓向量和定子輸入角頻率，輸出量是磁鏈向量和轉(zhuǎn)子角速度。電流向量可以看作是狀態(tài)變量，它和磁鏈?zhǔn)噶恐g有由式（8-10）確定的關(guān)系。

（2）非線性因素存在于Φ1（?）和Φ2（?）中，即存在于產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)er和電磁轉(zhuǎn)矩Te兩個(gè)環(huán)節(jié)上，還包含在電感矩陣L中，旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)和電磁轉(zhuǎn)矩的非線性關(guān)系和直流電機(jī)弱磁控制的情況相似，只是關(guān)系更復(fù)雜一些。（3）多變量之間的耦合關(guān)系主要也體現(xiàn)在Φ1（?）和Φ2（?）兩個(gè)環(huán)節(jié)上，特別是產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)的Φ1對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的影響最大。

8.3坐標(biāo)變換和變換矩陣

上節(jié)中雖已推導(dǎo)出異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型，但是，要分析和求解這組非線性方程顯然是十分困難的。在實(shí)際應(yīng)用中必須設(shè)法予以簡(jiǎn)化，簡(jiǎn)化的基本方法是坐標(biāo)變換。1.坐標(biāo)變換的基本思路

從上節(jié)分析異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型的過程中可以看出，這個(gè)數(shù)學(xué)模型之所以復(fù)雜，關(guān)鍵是因?yàn)橛幸粋€(gè)復(fù)雜的66電感矩陣，它體現(xiàn)了影響磁鏈和受磁鏈影響的復(fù)雜關(guān)系。因此，要簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型，須從簡(jiǎn)化磁鏈關(guān)系入手。

直流電機(jī)的物理模型

直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比較簡(jiǎn)單，先分析一下直流電機(jī)的磁鏈關(guān)系。圖8-4中繪出了二極直流電機(jī)的物理模型，圖中F為勵(lì)磁繞組，A為電樞繞組，C為補(bǔ)償繞組。F和C都在定子上，只有A是在轉(zhuǎn)子上。把F的軸線稱作直軸或d軸（directaxis），主磁通的方向就是沿著d軸的；A和C的軸線則稱為交軸或q軸（quadratureaxis）。圖8-3二極直流電機(jī)的物理模型dqFACifiaic勵(lì)磁繞組電樞繞組補(bǔ)償繞組

電樞旋轉(zhuǎn)，通過換向器和電刷作用，電樞磁動(dòng)勢(shì)的軸線始終被電刷限定在q軸位置上，其效果好象一個(gè)在q軸上靜止的繞組一樣。但它實(shí)際上是旋轉(zhuǎn)的通常把這種等效的靜止繞組稱作“偽靜止繞組”。

分析結(jié)果

電樞磁動(dòng)勢(shì)的作用可以用補(bǔ)償繞組磁動(dòng)勢(shì)抵消，或者由于其作用方向與d軸垂直而對(duì)主磁通影響甚微，所以直流電機(jī)的主磁通基本上唯一地由勵(lì)磁繞組的勵(lì)磁電流決定，這是直流電機(jī)的數(shù)學(xué)模型及其控制系統(tǒng)比較簡(jiǎn)單的根本原因。

交流電機(jī)的物理模型

如果能將交流電機(jī)的物理模型（見下圖）等效地變換成類似直流電機(jī)的模式，分析和控制就可以大大簡(jiǎn)化。坐標(biāo)變換正是按照這條思路進(jìn)行的。在這里，不同電機(jī)模型彼此等效的原則是：在不同坐標(biāo)下所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)完全一致。

眾所周知，交流電機(jī)三相對(duì)稱的靜止繞組A、B、C，通以三相平衡的正弦電流時(shí)，所產(chǎn)生的合成磁動(dòng)勢(shì)是旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)F，它在空間呈正弦分布，以同步轉(zhuǎn)速1（即電流的角頻率）順著A-B-C的相序旋轉(zhuǎn)。這樣的物理模型繪于下圖a中。

（1）交流電機(jī)繞組的等效物理模型ABCABCiAiBiCFω1a）三相交流繞組

旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生

然而，旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)并不一定非要三相不可，除單相以外，二相、三相、四相、……等任意對(duì)稱的多相繞組，通以平衡的多相電流，都能產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)，當(dāng)然以兩相最為簡(jiǎn)單。

（2）等效的兩相交流電機(jī)繞組Fiiω1b）兩相交流繞組

圖b中繪出了兩相靜止繞組和，它們?cè)诳臻g互差90°，通以時(shí)間上互差90°的兩相平衡交流電流，也產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)F。當(dāng)圖a和b的兩個(gè)旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)大小和轉(zhuǎn)速都相等時(shí)，即認(rèn)為圖b的兩相繞組與圖a的三相繞組等效。（3）旋轉(zhuǎn)的直流繞組與等效直流電機(jī)模型1FMTimitMTc）旋轉(zhuǎn)的直流繞組

再看圖c中的兩個(gè)匝數(shù)相等且互相垂直的繞組M和T，其中分別通以直流電流im和it，產(chǎn)生合成磁動(dòng)勢(shì)F，其位置相對(duì)于繞組來說是固定的。如果讓包含兩個(gè)繞組在內(nèi)的整個(gè)鐵心以同步轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，則磁動(dòng)勢(shì)F自然也隨之旋轉(zhuǎn)起來，成為旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。

那么這套旋轉(zhuǎn)的直流繞組也就和前面兩套固定的交流繞組都等效了。當(dāng)觀察者也站到鐵心上和繞組一起旋轉(zhuǎn)時(shí)，在他看來，M

和T是兩個(gè)通以直流而相互垂直的靜止繞組。如果控制磁通的位置在M軸上，就和直流電機(jī)物理模型沒有本質(zhì)上的區(qū)別了。這時(shí)，繞組M相當(dāng)于勵(lì)磁繞組，T相當(dāng)于偽靜止的電樞繞組。

等效的概念

由此可見，以產(chǎn)生同樣的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)為準(zhǔn)則，圖a的三相交流繞組、圖b的兩相交流繞組和圖c中整體旋轉(zhuǎn)的直流繞組彼此等效?；蛘哒f，在三相坐標(biāo)系下的iA、iB

、iC，在兩相坐標(biāo)系下的i、i和在旋轉(zhuǎn)兩相坐標(biāo)系下的直流im、it是等效的，它們能產(chǎn)生相同的旋轉(zhuǎn)磁動(dòng)勢(shì)。

就圖c的M、T兩個(gè)繞組而言，當(dāng)觀察者站在地面看上去，它們是與三相交流繞組等效的旋轉(zhuǎn)直流繞組；如果跳到旋轉(zhuǎn)著的鐵心上看，它們就的的確確是一個(gè)直流電機(jī)模型了。這樣，通過坐標(biāo)系的變換，可以找到與交流三相繞組等效的直流電機(jī)模型。

現(xiàn)在的問題是，如何求出iA、iB、iC與i、i和im、it之間準(zhǔn)確的等效關(guān)系，這就是坐標(biāo)變換的任務(wù)。2.三相--兩相變換（3/2變換）

現(xiàn)在先考慮上述的第一種坐標(biāo)變換——在三相靜止繞組A、B、C和兩相靜止繞組、

之間的變換，或稱三相靜止坐標(biāo)系和兩相靜止坐標(biāo)系間的變換，簡(jiǎn)稱3/2變換。

下圖中繪出了A、B、C和、兩個(gè)坐標(biāo)系，取A軸和軸重合。設(shè)三相繞組每相有效匝數(shù)為N3，兩相繞組每相有效匝數(shù)為N2，各相磁動(dòng)勢(shì)為有效匝數(shù)與電流的乘積，其空間矢量均位于有關(guān)相的坐標(biāo)軸上。

三相和兩相坐標(biāo)系與繞組磁動(dòng)勢(shì)的空間矢量

AN2iN3iAN3iCN3iBN2iβ60o60oCB

設(shè)磁動(dòng)勢(shì)波形是正弦分布的，當(dāng)三相總磁動(dòng)勢(shì)與二相總磁動(dòng)勢(shì)相等時(shí)，兩套繞組瞬時(shí)磁動(dòng)勢(shì)在、

軸上的投影都應(yīng)相等，

寫成矩陣形式，得（8-89）

考慮變換前后總功率不變，在此前提下，可以證明（見附錄2），匝數(shù)比應(yīng)為（8-90）

代入式（8-89），得（8-91）

令C3/2

表示從三相坐標(biāo)系變換到兩相坐標(biāo)系的變換矩陣，則（8-92）

三相—兩相坐標(biāo)系的變換矩陣

如果三相繞組是Y形聯(lián)結(jié)不帶零線，則有iA+iB+iC=0，或iC=iAiB

。代入式（8-92）和（8-93）并整理后得（8-94）

（8-95）

按照所采用的條件，電流變換陣也就是電壓變換陣，同時(shí)還可證明，它們也是磁鏈的變換陣。8.3.3.兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換（2s/2r變換）

從上圖等效的交流電機(jī)繞組和直流電機(jī)繞組物理模型的圖b和圖c中從兩相靜止坐標(biāo)系到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系M、T

變換稱作兩相—兩相旋轉(zhuǎn)變換，簡(jiǎn)稱2s/2r變換，其中s表示靜止，r表示旋轉(zhuǎn)。把兩個(gè)坐標(biāo)系畫在一起，即得下圖。

兩相靜止和旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系與磁動(dòng)勢(shì)（電流）空間矢量

itsiniFs1imcosimimsinitcosiβitMT

圖中，兩相交流電流i、i和兩個(gè)直流電流im、it產(chǎn)生同樣的以同步轉(zhuǎn)速1旋轉(zhuǎn)的合成磁動(dòng)勢(shì)Fs。由于各繞組匝數(shù)都相等，可以消去磁動(dòng)勢(shì)中的匝數(shù)，直接用電流表示，例如Fs可以直接標(biāo)成is。但必須注意，這里的電流都是空間矢量，而不是時(shí)間相量。

M，T軸和矢量Fs（is）都以轉(zhuǎn)速1旋轉(zhuǎn)，分量im、it的長(zhǎng)短不變，相當(dāng)于M，T繞組的直流磁動(dòng)勢(shì)。但、軸是靜止的，軸與M軸的夾角

隨時(shí)間而變化，因此is在、軸上的分量的長(zhǎng)短也隨時(shí)間變化，相當(dāng)于繞組交流磁動(dòng)勢(shì)的瞬時(shí)值。由圖可見，i、i和im、it之間存在下列關(guān)系

2s/2r變換公式寫成矩陣形式，得

（8-96）

（8-97）

是兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系變換到兩相靜止坐標(biāo)系的變換陣。

式中

兩相旋轉(zhuǎn)—兩相靜止坐標(biāo)系的變換矩陣

對(duì)式（8-96）兩邊都左乘以變換陣的逆矩陣，即得

(8-98)(8-99)則兩相靜止坐標(biāo)系變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換陣是

電壓和磁鏈的旋轉(zhuǎn)變換陣也與電流（磁動(dòng)勢(shì)）旋轉(zhuǎn)變換陣相同。

兩相靜止—兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的變換矩陣

令矢量is

和M軸的夾角為s

，已知im、it

，求is

和s

，就是直角坐標(biāo)/極坐標(biāo)變換，簡(jiǎn)稱K/P變換。4.直角坐標(biāo)/極坐標(biāo)變換（K/P變換）

顯然，其變換式應(yīng)為

（8-100）（8-101）

當(dāng)s在0°~90°之間變化時(shí)，tans的變化范圍是0~∞，這個(gè)變化幅度太大，很難在實(shí)際變換器中實(shí)現(xiàn)，因此常改用下列方式來表示s值

（8-102）

式（8-102）可用來代替式（8-101），作為s的變換式。這樣8.4三相異步電動(dòng)機(jī)在兩相坐標(biāo)系上的

數(shù)學(xué)模型

前已指出，異步電機(jī)的數(shù)學(xué)模型比較復(fù)雜，坐標(biāo)變換的目的就是要簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)模型。第8.2節(jié)的異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型是建立在三相靜止的ABC坐標(biāo)系上的，如果把它變換到兩相坐標(biāo)系上，由于兩相坐標(biāo)軸互相垂直，兩相繞組之間沒有磁的耦合，僅此一點(diǎn)，就會(huì)使數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單了許多。

異步電機(jī)在兩相任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系（dq坐

標(biāo)系）上的數(shù)學(xué)模型

兩相坐標(biāo)系可以是靜止的，也可以是旋轉(zhuǎn)的，其中以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系為最一般的情況，有了這種情況下的數(shù)學(xué)模型，要求出某一具體兩相坐標(biāo)系上的模型就比較容易了。

變換關(guān)系

設(shè)兩相坐標(biāo)d軸與三相坐標(biāo)A軸的夾角為s，而ps=dqs為dq坐標(biāo)系相對(duì)于定子的角轉(zhuǎn)速，dqr為dq坐標(biāo)系相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速。ABCFsdqssdq

要把三相靜止坐標(biāo)系上的電壓方程（8-67a）、磁鏈方程（8-68a）和轉(zhuǎn)矩方程（8-85）都變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上來，可以先利用3/2變換將方程式中定子和轉(zhuǎn)子的電壓、電流、磁鏈和轉(zhuǎn)矩都變換到兩相靜止坐標(biāo)系、

上，然后再用旋轉(zhuǎn)變換陣C2s/2r

將這些變量變換到兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上。

變換過程

具體的變換運(yùn)算比較復(fù)雜，此處從略，需要時(shí)可參看附錄3。ABC坐標(biāo)系坐標(biāo)系dq坐標(biāo)系3/2變換C2s/2r（1）磁鏈方程

dq坐標(biāo)系磁鏈方程[式（附3-8）]為

或?qū)懗?/p>

（8-103a）

（8-103b）

——dq坐標(biāo)系轉(zhuǎn)子等效兩相繞組的自感。

式中——dq坐標(biāo)系定子與轉(zhuǎn)子同軸等效繞組間的互感；——dq坐標(biāo)系定子等效兩相繞組的自感；注意：

兩相繞組互感是原三相繞組中任意兩相間最大互感（當(dāng)軸線重合時(shí)）的3/2倍，這是因?yàn)橛脙上嗬@組等效地取代了三相繞組的緣故。dq坐標(biāo)系上,定子和轉(zhuǎn)子的等效繞組都落在同樣的兩根軸d和q上，而且兩軸互相垂直，它們之間沒有耦合關(guān)系，電感矩陣比ABC坐標(biāo)系的66矩陣簡(jiǎn)單多了。

異步電機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型

dqsdqdrirdisdirqusddsqrqsurdurqusqisq圖8-7異步電動(dòng)機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型

異步電機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型

dqsdqdrirdisdirqusddsqrqsurdurqusqisq圖8-7異步電動(dòng)機(jī)在兩相旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系dq上的物理模型（2）電壓方程

在附錄3-2中得到的dq坐標(biāo)系電壓方程式[式（附3-3）和式（附3-4）]，略去零軸分量后，可寫成（8-104）

將磁鏈方程式（8-103b）代入式（8-104）中，得到dq坐標(biāo)系上的電壓—電流方程式如下（8-105）

對(duì)比式（8-105）和式（8-67a）可知，兩相坐標(biāo)系上的電壓方程是4維的，它比三相坐標(biāo)系上的6維電壓方程降低了2維。在電壓方程式（8-105）等號(hào)右側(cè)的系數(shù)矩陣中，含R項(xiàng)表示電阻壓降，含Lp項(xiàng)表示電感壓降，即脈變電動(dòng)勢(shì)，含項(xiàng)表示旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)。為了使物理概念更清楚，可以把它們分開寫即得

（8-106a）

令旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)向量

則式（8-106a）變成（8-106b）

這就是異步電機(jī)非線性動(dòng)態(tài)電壓方程式。與第8.2節(jié)中ABC坐標(biāo)系方程不同的是：此處電感矩陣L變成44常參數(shù)線性矩陣，而整個(gè)電壓方程也降低為4維方程。其中——電機(jī)轉(zhuǎn)子角速度。

（3）轉(zhuǎn)矩和運(yùn)動(dòng)方程

dq坐標(biāo)系上的轉(zhuǎn)矩方程為

（8-107）

運(yùn)動(dòng)方程與坐標(biāo)變換無關(guān)，仍為

（8-87）

式（8-103a）、式（8-104）或式（8-105），式（8-107）和式（8-87）構(gòu)成異步電機(jī)在兩相以任意轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)的dq坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型。它比ABC坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單得多，階次也降低了，但其非線性、多變量、強(qiáng)耦合的性質(zhì)并未改變。

將式（8-104）或（8-105）的dq軸電壓方程繪成動(dòng)態(tài)等效電路，如圖8-51所示，其中，圖8-51a是d軸電路，圖8-51b是q軸電路，它們之間靠4個(gè)旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)互相耦合。圖中所有表示電壓或電動(dòng)勢(shì)的箭頭都是按電壓降的方向畫的。

異步電機(jī)在dq坐標(biāo)系上的動(dòng)態(tài)等效電路a）d軸電路b）q軸電路

dqssqisdusdRsirdLlsLlrLmurdpsdprddqrrqRrdqssdisqusqRsirqLlsLlrLmurqpsqprqdqrrdRr2.異步電機(jī)在坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型

在靜止坐標(biāo)系、上的數(shù)學(xué)模型是任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系數(shù)學(xué)模型當(dāng)坐標(biāo)轉(zhuǎn)速等于零時(shí)的特例。當(dāng)dqs=0時(shí)，dqr=-，即轉(zhuǎn)子角轉(zhuǎn)速的負(fù)值，并將下角標(biāo)d，q改成、，則式（8-105）的電壓矩陣方程變成（8-108）

（8-109）

而式（8-103a）的磁鏈方程改為

利用兩相旋轉(zhuǎn)變換陣C2s/2r

，可得

式（8-108）~式（8-110）再加上運(yùn)動(dòng)方程式便成為、

坐標(biāo)系上的異步電機(jī)數(shù)學(xué)模型。這種在兩相靜止坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型又稱作Kron的異步電機(jī)方程式或雙軸原型電機(jī)基本方程式。（8-110）

代入式（8-107）并整理后，即得到、

坐標(biāo)上的電磁轉(zhuǎn)矩3.異步電機(jī)在兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的數(shù)學(xué)模型

另一種很有用的坐標(biāo)系是兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，其坐標(biāo)軸仍用d，q表示，只是坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)速度dqs等于定子頻率的同步角轉(zhuǎn)速1。而轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)速為，因此dq軸相對(duì)于轉(zhuǎn)子的角轉(zhuǎn)速dqr=1-=s，即轉(zhuǎn)差。代入式（8-105），即得同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的電壓方程

在二相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系上的電壓方程

（8-111）

磁鏈方程、轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程均不變。

兩相同步旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系的突出特點(diǎn)是，當(dāng)三相ABC坐標(biāo)系中的電壓和電流是交流正弦波時(shí)，變換到dq坐標(biāo)系上就成為直流。8.5三相異步電動(dòng)機(jī)在兩相坐標(biāo)系上的

狀態(tài)方程

作為異步電機(jī)控制系統(tǒng)研究和分析基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)模型，過去經(jīng)常使用矩陣方程，近來越來越多地采用狀態(tài)方程的形式，因此有必要再介紹一下狀態(tài)方程。為了簡(jiǎn)單起見，這里只討論兩相同步旋轉(zhuǎn)dq坐標(biāo)系上的狀態(tài)方程，如果需要其它類型的兩相坐標(biāo)，只須稍加變換，就可以得到。

第8.4節(jié)的分析結(jié)果告訴我們，在兩相坐標(biāo)系上的電壓源型變頻器—異步電機(jī)具