穩(wěn)恒電流的磁場

第9章真空中恒定電流的磁場1/31/20231標題簡介真空：限定了空間中不存在介質磁場：是物質的一種形式。磁鐵與磁鐵、電流與電流、磁鐵與電流之間的相互作用是通過磁場來傳遞的。磁場對電流有安培力的作用，磁場力對運動電荷或者電流要做功，說明磁場具有質量、能量和動量。恒定磁場：又稱為靜磁場，指磁感應強度不隨時間變化的磁場，但在空間不同位置可以有不同的值。靜磁場是由恒定電流（或者說恒定運動的電荷）產生的磁場。變速運動的電荷要產生變化的電磁場。1/31/20232對磁場的感性認識在磁體周圍有人眼看不見的磁場。用鐵屑我們能夠發(fā)現這種磁場是什么樣子的。當鐵屑在磁場中時，它們就圍繞著磁體形成一個磁場的圖形。例1：P1061/31/20233例2鐵屑條形磁鐵準備材料塑料蓋把塑料蓋蓋在條形磁鐵上慢慢地把鐵屑撒在塑料蓋上，

不斷地用手輕敲塑料蓋。

在磁鐵周圍，原來人眼睛看不見的磁場由鐵屑顯示出來了。1/31/20234I直線電流的磁力線圓電流的磁力線I通電螺線管的磁力線1、每一條磁力線都是環(huán)繞電流的閉合曲線，都與閉合電路互相套合，因此磁場是渦旋場。磁力線是無頭無尾的閉合回線。2、任意兩條磁力線在空間不相交。3、磁力線的環(huán)繞方向與電流方向之間可以分別用右手定則表示。1/31/20235主要內容：電流產生磁場磁場的描述：磁場的規(guī)律：Biot-savart’slawGauss’theoremAmpere’scirculationtheorem1/31/20236主要內容(續(xù))：磁場對電流的作用磁場對運動電荷的作用磁場對載流導線的作用磁場對閉合載流導線的作用洛倫茲力安培力磁力矩1/31/20237本章學習方法對比與靜電場的研究方法類似與靜電場的研究結論對比1/31/20238自然界的各種基本力可以互相轉化。究竟電是否以隱蔽的方式對磁體有作用？17世紀，吉爾伯特、庫侖曾認為：電與磁無關！1731年英國商人

雷電后，刀叉帶磁性！1751年富蘭克林萊頓瓶放電后，縫衣針磁化了！1812年

奧斯忒9.1磁感應強度一、磁力與磁現象1/31/20239

1820年4月哥本哈根大學電與磁丹麥物理學家奧斯特接通電源時，放在邊上的磁針輕輕抖動了一下，電流反向時磁針的偏轉也反向……電流的磁效應II1820年7月21日，以拉丁文報導了60次實驗的結果：電流可以產生磁場。1/31/202310運動電荷除了在周圍產生電場外，還有另一種場——只對運動電荷起作用：磁場穩(wěn)恒電流產生的磁場叫穩(wěn)恒磁場。1/31/202311靜止電荷靜止電荷靜止電荷之間的作用力——電力運動電荷之間的作用力——電力+磁力運動電荷運動電荷說明1、磁場由運動電荷(或電流)產生;3、磁場有能量、…二、磁場磁感應強度

電場磁場傳遞磁相互作用2、磁場對運動電荷(或電流)有力的作用;1/31/202312如何描述磁場的特性？設計實驗確定空間一點的磁感應強度1、類比：靜電場中用試探電荷研究電場磁場：用運動試探電荷研究磁場，用表示磁場的強弱和方向。2、對運動試探電荷有什么要求？1/31/202313對運動試探電荷的要求要求此運動電荷產生的磁場應該充分小，小到它不能影響我們所研究的原來的磁場此電荷的線度應該充分小，小到某一時刻所處的位置就是一個幾何點。故應該要求它還是一個點電荷。1/31/2023143、試驗發(fā)現：運動電荷在磁場中受到力的作用，受力大小與下列因素有關：運動的速度的大小和方向磁場BV和B的取向有關1/31/202315洛侖茲力運動電荷在電磁場中受力q

沿此直線運動時運動電荷在磁場中所受的力稱為洛侖茲力。由于洛侖茲力總是與速度V垂直，所以洛侖茲力不做功。1/31/202316總結從運動電荷所受到磁場力的特征，可以引入描述磁場中給定點磁場強弱和方向的性質的基本物理量：磁感應強度單位T或Gs

1Gs=10–4T磁場服從疊加原理大?。悍较颍旱姆较蛴纱?，可以唯一地確定空間任意點的1/31/202317討論1.由劃分磁場為：均勻磁場：空間各處的大小相等，方向相同非均勻磁場：空間各處的大小或者方向不同2.1/31/2023189.2Biot-savart’slaw研究思路靜電場：點電荷模型任一個帶電體靜磁場：電流元模型1/31/202319研究內容在恒定磁場中引入電流元的概念，分析電流元產生磁場的規(guī)律，即B-S定律，最后利用磁場的疊加原理，可以解決任意載流體所產生的穩(wěn)恒磁場的分布。1/31/2023201.電流元矢量在一根載流直線上任意取一無限小的直線，做一個矢量大小：該小直線的長度乘以I方向：該點直線上電流的方向對空間任意點P，從到P的位置矢量為產生的磁場為，方向滿足右手螺旋。I1/31/202321引入電流元矢量的物理意義任意載流回路可設想為是由無限多個首尾相接的電流元構成，1/31/202322電流元與點電荷的區(qū)別點電荷可以獨立存在電流元不能單獨存在1/31/202323I畢奧-薩伐爾定律真空磁導率I'2、Biot-savart’slaw

導論P109：方向：或者：右手螺旋1/31/202324疊加原理1/31/202325Biot-savart’slaw討論問：一個靜止的點電荷能在它周圍空間任一點激起電場，一個線電流元是否也能在它周圍空間任一點激起磁場？1/31/202326Biot-savart’slaw討論庫侖定律與B-Slaw的異同兩個定律在各自的領域地位相當。在形式上都是平方反比律適用對象不同，一個是電性質，一個是磁性質。庫侖定律可以直接由試驗驗證，而B-Slaw只能間接驗證。1/31/202327Biot-savart’slaw討論B－SLow的物理意義表明一切磁現象的根源是電流（運動電荷）產生的磁場。反映了載流導線上任一電流元在空間任一點處產生磁感應強度在大小和方向上的關系。由此定律原則上可以解決任何載流導體在起周圍空間產生的磁場分布。1/31/202328Biot-savart’slaw討論公式的應用公式中公式為矢量積分。故積分要用矢量的直角坐標分量式，將矢量積分化為標量積分，分別求出后再矢量合成。1/31/202329若載流體具有某種對稱性，P點的合場強在某個方向上的投影可能為0，所以有時可以直接判斷上式三個積分中有一個或者多個積分為0。1/31/202330B-SLow的應用1.由B-SLow推出運動電荷的磁場表達式S電流元按經典電子理論，導體中電流是大量帶電粒子的定向運動，電流激發(fā)磁場，實質是運動電荷在其周圍空間激發(fā)磁場。1/31/202331帶電量為q，運動速度為v的電荷產生的磁場為：B的方向垂直于v,r組成的平面。1/31/202332－＋○PP1/31/202333例題：利用電荷運動產生磁場的觀點求計算一個以角速度作半徑為R的圓周運動的正電荷Q在圓心處產生的1/31/202334用B-SLow求的兩種思路1/31/202335例2.求：直線電流I的磁場分布。21I0思路：微元分析法1/31/202336l21例題I方向0-l方向：右手定則1/31/202337討論無限長載流直線在空間的問：

L

則

1=02=半無限長延長線上：1/31/2023383.求：圓電流軸線上的磁感應強度。xRx例題I1/31/202339載流圓環(huán)載流圓弧II圓心角圓心角1/31/2023404.求：一段圓弧圓電流在其曲率中心處的磁場。例題RIab方向解：Idl1/31/202341例題I寬度為a

的無限長金屬平板，均勻通電流I，將板細分為許多無限長直導線每根導線寬度為dx通電流解：建立坐標系x所有dB

的方向都一樣：求：圖中P點的磁感應強度。Pd0x1/31/2023421/31/2023432、可有計算磁場的方法1、電流元的磁感應強度及疊加原理小結計算場強的方法1、點電荷場的場強及疊加原理（分立）（連續(xù)）1/31/202344典型磁場的磁感應強度典型電場的場強均勻帶電無限長直線載流長直導線無限長載流長直導線方向垂直于直線電流元點電荷均勻帶電直線方向與電流方向成右手螺旋1/31/202345典型磁場的磁感應強度典型電場的場強圓線圈軸線上任一點方向與電流方向成右手螺旋均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點磁矩電偶極矩1/31/202346練習：載流直線與圓弧組成的載流系統（講稿補充）1/31/202347練習求圓心O點的如圖，OI1/31/202348例題：載流螺線管軸線上的B。結論：見書P1111/31/202349載流直螺線管內部的磁場................pSlμ1/31/202350討論：1、若即無限長的螺線管，

則有2、對長直螺線管的端點（上圖中A1、A2點）則有A1、A2點磁感應強度1/31/202351擴充：鏡像對稱電流的合磁場必定垂直于對稱面。IrL

1/31/202352鏡像對稱電流的合磁場必定垂直于對稱面。無限大載流平面I.........1/31/202353補充作業(yè)1.一個半徑為R的均勻帶電圓盤，當它圍繞圓心作勻角速度的圓周運動時，求圓心處的及圓盤的磁矩2.一個無限長圓柱面半徑為R，繞其軸線勻速旋轉，角速度為，表面均勻分布有電荷，求面內任一點的1/31/202354補充作業(yè)

3.氫原子中電子繞核作圓周運動求:軌道中心處電子的磁矩已知1/31/202355補充作業(yè)4.一個長度為L的均勻帶電Q的細直線，繞直線的延長線上一點（此點到端點距離為a）做勻角速度轉動（直線在轉動平面內）。求圓心處的L,QOa用兩種方法求解1/31/202356作業(yè)評講：均勻帶電圓盤已知：q、R、圓盤繞軸線勻速旋轉。解：如圖取半徑為r,寬為dr的環(huán)帶。qRr求圓心處的及圓盤的磁矩元電流其中1/31/202357qRr線圈磁矩如圖取微元方向：1/31/202358作業(yè)評講：氫原子中電子繞核作圓周運動求:軌道中心處電子的磁矩已知解:又方向方向1/31/202359作業(yè)：均勻帶電圓環(huán)qR已知：q、R、圓環(huán)繞軸線勻速旋轉。求圓心處的解：帶電體轉動，形成運流電流。1/31/2023609.3磁場的高斯定理1/31/202361I直線電流的磁力線圓電流的磁力線I通電螺線管的磁力線1、每一條磁力線都是環(huán)繞電流的閉合曲線，都與閉合電路互相套合，因此磁場是渦旋場。磁力線是無頭無尾的閉合回線。2、任意兩條磁力線在空間不相交。3、磁力線的環(huán)繞方向與電流方向之間可以分別用右手定則表示。1/31/2023621、磁通量——穿過磁場中任一曲面的磁力線的條數磁通量2.與形成磁場的電流相套連.I磁感應線特點1.無頭無尾的閉合曲線.單位韋伯（Wb）1/31/202364

磁場是無源場.二、高斯定理1/31/2023652.在均勻磁場

中，過YOZ平面內面積為S的磁通量。1.求均勻磁場中半球面的磁通量課堂練習1/31/202366

9.4安培環(huán)路定理靜電場Irl磁場1/31/202367I1I2I3L2L1磁應強度B的環(huán)流等于穿過以L為邊界的任意曲面的電流的代數和的倍。一、安培環(huán)路定理空間所有電流共同產生的與L套連的電流代數和（與L繞行方向成右手螺旋的電流取正）1/31/202368以載流長直導線為例，定性說明安培環(huán)路定理：1..閉合積分回路L環(huán)繞載流長直導線（類似于高斯面中包圍點電荷）IL第一種情況：載流直導線垂直于積分回路且回路為圓1/31/202369比較L回繞方向不同（或者改變電流流向，積分值僅差一個負號。為統一起見，特別規(guī)定：若電流流動方向與閉合積分回路L的回繞方向符合右手法則，電流取正值，反之電流取負值。1/31/202370L2.閉合積分回路在垂直于載流導線的平面內，但是形狀任意ILoO1/31/2023712、任意積分回路.3、回路不環(huán)繞電流.1/31/202372安培環(huán)路定理說明：電流取正時與環(huán)路成右旋關系如圖在真空中的穩(wěn)恒電流磁場中，磁感應強度沿任意閉合曲線的線積分（也稱的環(huán)流），等于穿過該閉合曲線的所有電流強度（即穿過以閉合曲線為邊界的任意曲面的電流強度）的代數和的倍。即：1/31/202373環(huán)路所包圍的電流由環(huán)路內外電流產生由環(huán)路內電流決定1/31/202374靜電場穩(wěn)恒磁場磁場沒有保守性，它是非保守場，或無勢場電場有保守性，它是保守場，或有勢場電力線起于正電荷、止于負電荷。靜電場是有源場磁力線閉合、無自由磁荷磁場是無源場1/31/202375思路：

1、右邊是一個代數式，計算方便。

2、若左邊能演變成則B可以很方便的求出。

難點：積分路徑要選取合適積分路徑的選取原則1、必須通過所求場點2、積分路徑L上或處處大小相等，方向平行于線元，或部分的方向垂直于線元，或部分路徑上＝03、環(huán)路形狀盡可能簡單二、安培環(huán)路定理的應用－求的分布1/31/202376比較用高斯定理求場強分布的步驟電荷分布的對稱性場強分布的對稱性選擇合適的高斯面利用高斯定理求解用安培環(huán)路定理求磁感應強度的步驟電流分布的對稱性磁場分布的對稱性選擇合適的積分路徑利用安培環(huán)路定理求解1/31/202377第一類應用：——用來求解具有軸對稱分布的磁場例題1.求：無限長載流直導線產生的磁場I解：對稱性分析——磁感應線是躺在垂直平面上的同心圓，選環(huán)路BL0rB1/31/202378例題2.求：無限長圓柱面電流的磁場ILRr解：對稱性分析——磁感應線是躺在垂直平面上的同心圓，選環(huán)路1/31/202379rRO1/31/202380IR例題3.無限長載流圓柱導體的磁場分布分析對稱性電流分布——軸對稱磁場分布——軸對稱已知：I、R電流沿軸向，在截面上均勻分布1/31/202381IR作積分環(huán)路并計算環(huán)流如圖

利用安培環(huán)路定理求1/31/202382作積分環(huán)路并計算環(huán)流如圖利用安培環(huán)路定理求IR1/31/202383

結論：無限長載流圓柱導體。已知：I、R1/31/202384練習：同軸的兩筒狀導線通有等值反向的電流I,

求的分布。1/31/202385電場、磁場中典型結論的比較外內內外長直圓柱面電荷均勻分布電流均勻分布長直圓柱體長直線1/31/202386第二類應用：平面對稱例題：無限大載流平面，單位長度上電流為j,求空間磁場分布。磁力線如圖作積分回路如圖ab、cd與導體板等距.........1/31/202387

計算環(huán)流板上下兩側為均勻磁場利用安培環(huán)路定理求.........1/31/202388討論：如圖，兩塊無限大載流導體薄板平行放置。通有相反方向的電流。單位長度上電流為j求磁場分布。.........1/31/202389例題1.已知：長直載流螺線管，I、n(單位長度導線匝數)分析對稱性管內磁力線平行于管軸管外靠近管壁處磁場為零...............第三類應用：載流螺線管的磁場分布1/31/202390

計算環(huán)流，先選擇積分回路為矩形利用安培環(huán)路定理求...............1/31/202391已知：I、N、R1、R2

N——導線總匝數分析對稱性磁力線分布如圖作積分回路如圖方向右手螺旋rR1R2..+++++++++++++++++++++++++++++..................................例題2：環(huán)形載流螺線管的磁場分布1/31/202392..BrO計算環(huán)流利用安培環(huán)路定理求rR1R2..+++++++++++++++++++++++++++++.................................補充作業(yè)：如圖，螺繞環(huán)截面為矩形外半徑與內半徑之比高導線總匝數求：1.磁感應強度的分布2.通過截面的磁通量1/31/202394解：1.1/31/202395

9.4載流導線在磁場中受力I已知外磁場及載流導線I(L)載流導線在磁場中所受作用力如何？此為安培定律解決的問題。本節(jié)課主要講安培定律及其應用，且針對幾種特殊情況下的載流導線所受到的安培力的作用。1/31/202396一、一段載流導線上的力——安培力I電流元一個電荷受力N個電荷受力12安培定律：1/31/202397討論1.式中的為電流元所處的外磁場，不包括電流元自身產生的磁場2.的方向：3.一般，載流導線上連續(xù)分布的電流元都受到安培力的作用，即導線受到的是一種分布力，就象一根細棒上每一段都受到重力作用一樣。但是每一個電流元受到的安培力的大小方向均可能不同。所以，常常使用微元分析法。1/31/202398討論圖示為相互垂直的兩個電流元它們之間的相互作用力電流元所受作用力電流元所受作用力不滿足牛頓第三定律1/31/202399總結：安培定律安培力：電流元在磁場中受到的磁力安培定律方向判斷

右手螺旋或者左手定則載流導線受到的磁力大小1/31/2023100B×取電流元受力大小方向積分結論方向二、均勻磁場中載流直導線所受安培力1/31/2023101I直導線推論：1.2.1/31/2023102任意導線I推論3.

均勻磁場中任意平面曲線形載流導線所受安培力結論：在均勻磁場中，垂直于磁場方向的平面內一段彎曲載流導線受到的總安培力大小與導線彎曲形狀無關，僅與這段導線起點和終點位置有關。均勻磁場中任意曲線導體，等于連結曲線始末端的直導線所受的安培力。1/31/2023103推論4.在均勻磁場中任意形狀閉合載流線圈受合力為零注：說明閉合線圈在均勻磁場中不會發(fā)生平動。練習如圖求半圓導線所受安培力方向豎直向上O1/31/2023104練習ILLLORRRRF=

F=

F=

1/31/2023105圖二的另一種解法OR分別計算出在X和Y方向的分量，再分別積分，最后矢量合成1/31/2023106

均勻磁場中放置一半徑為R的半圓形導線，電流強度為I，導線兩端連線與磁感強度方向夾角=30°，求此段圓弧電流受的磁力。例題2R長度矢量解：方向1/31/2023107三、非均勻磁場中的載流導體載流導線受到的磁力當只有統一積分變量，老老實實積分1/31/2023108解：例：求一無限長直載流導線的磁場對另一直載流導線ab的作用力。已知：I1、I2、d、LLxdba1/31/2023109I1I2r例題：平行電流間單位長度上的相互作用力B21B12方向方向同流向，相吸引；逆流向，相排斥。方向方向1/31/2023110

均勻磁場四、磁場對載流線圈的作用：平面剛性載流線圈上的安培力矩l1l2abcdI作用在一直線上俯視l1不作用在一直線上力矩方向：（俯視圖上）磁矩M=ISBM=01/31/2023111

穩(wěn)定平衡；

不穩(wěn)定平衡。力矩總力圖使線圈正向磁通量達到最大。力矩的作用效果，總是使磁矩轉向外磁場方向。討論1/31/20231129-6磁力的功1.載流導線在磁場中運動時磁力所做的功.....................1/31/2023113M當I不隨時間變化INI