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文檔簡介

第四章

隨機(jī)信號的功率譜估計(上)周圍引言作用:功率譜起著類似于頻譜的作用應(yīng)用:通信、噪聲監(jiān)測、信號檢測與估計、模式識別、振動分析等領(lǐng)域依據(jù):觀測數(shù)據(jù)(出發(fā)點)目的:用有限的N個樣本數(shù)據(jù)來估計平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度基礎(chǔ):平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間存在傅立葉變換關(guān)系(理論基礎(chǔ))注意:隨機(jī)信號不能直接進(jìn)行傅立葉變換

經(jīng)典譜估計與現(xiàn)代譜估計

經(jīng)典譜估計現(xiàn)代譜估計經(jīng)典譜估計

基本思想:以

為基礎(chǔ),附以

等預(yù)處理或后處理優(yōu)缺點優(yōu)點:簡單易行、計算效率高缺點:適用范圍:主要方法:

相互關(guān)系-二者存在聯(lián)系,均采用加窗來改善特性-FFT的出現(xiàn)使二者獲得新生-都存在致命缺點:分辨率低現(xiàn)代譜估計算法基礎(chǔ)以隨機(jī)過程或信號的的參數(shù)模型為基礎(chǔ),故稱為參數(shù)模型法或參數(shù)法歷史沿革-從非工程領(lǐng)域(如實驗數(shù)據(jù)和觀測數(shù)據(jù)的處理、統(tǒng)計學(xué))

的時間序列分析(早已有之)到工程領(lǐng)域的現(xiàn)代譜估計-現(xiàn)代譜估計始于60年代,經(jīng)歷了從

(Burg,1967)

自回歸(AR)譜估計方法(1968,Parzen)Pisarenko諧波分解算法(MUSIC,1981,Schimit)HOS方法確定信號的功率譜密度?平穩(wěn)離散隨機(jī)信號x(n)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間為一對傅立葉變換物理意義:功率在ω上的分布如果隨機(jī)信號是各態(tài)遍歷的,相關(guān)函數(shù)可以由一個取樣時間序列用時間平均來取代統(tǒng)計平均。

實際中信號自相關(guān)函數(shù)的估計實際中只能由有限個取樣數(shù)據(jù)估計得到:(有偏,漸進(jìn)無偏)上兩式稱為取樣自相關(guān)函數(shù)。(無偏估計)

經(jīng)典譜估計方法自相關(guān)法(B-T法)

1958年,Blackman和Tukey提出。先求出信號的自相關(guān)函數(shù),再求出信號的功率譜密度:周期圖法(Periodogram)進(jìn)行譜估計取樣自相關(guān)函數(shù)實際上是下x(n)與x(-n)的卷和,即

對信號進(jìn)行加窗處理,得xN(n),再進(jìn)行離散傅立葉變換得

X(ω),再求模的平方得功率譜密度。相關(guān)法和周期圖法得到的譜估計相同。均值:(有偏,漸進(jìn)無偏)經(jīng)典譜估計的缺點

頻率分辨率低頻譜能量的泄漏相關(guān)圖法主觀認(rèn)為未觀測數(shù)據(jù)都等于0,造成頻譜能量的泄漏周期圖法假設(shè)數(shù)據(jù)是以N為周期的周期性延拓,把不真實的信息加于隨機(jī)過程之上,限制了頻率分辨率和譜估計的質(zhì)量指標(biāo),對短時間序列誤差太大。

一些改進(jìn)方法數(shù)據(jù)加窗——降低譜的旁瓣。將矩形窗改為其他窗函數(shù),如:漢寧(Hanning)窗、哈明(Harmming)窗、布拉克曼(Blackman)窗、三角窗(Bartlett)、凱塞窗(Kaiser)等。

將長度為N的序列分K段,每段長為M,分別對每段進(jìn)行譜估計,再進(jìn)行總平均,得平均周期圖。如各段數(shù)據(jù)相互獨立,則所得估計的方差為原來不分段時的1/K。缺點是點數(shù)減少,分辨率下降。2.相關(guān)函數(shù)加窗(B-T法)(窗函數(shù))3.修正周期圖法(分段平均)(Welch,1967)一般作法:數(shù)據(jù)加窗,交疊,平均,如:

功率譜估計的參數(shù)法(現(xiàn)代譜估計)參數(shù)法譜估計

模型

模型(諧波)AR模型ARMA模型MA模型AR模型(全極點模型)

MA模型(全零點模型)ARMA模型譜分解定理的推論任何平穩(wěn)隨機(jī)信號x(n)都可以看成由白噪聲序列激勵一個因果和穩(wěn)定的線性時不變系統(tǒng)H(z)產(chǎn)生的輸出。任何有限方差的平穩(wěn)ARMA過程可以分為完全隨機(jī)的部分和確定的部分,對應(yīng)的功率譜為連續(xù)的和離散的沖激信號。任何ARMA過程可以用無限階的MA和AR模型來表示。參數(shù)法譜估計的理論基礎(chǔ)AR模型法功率譜估計:基本原理:根據(jù)x(0),x(1)…x(N-1)

這一隨機(jī)采樣樣本估計隨機(jī)時間序列的功率譜密度:AR模型法功率譜估計:求解方法:模型階數(shù)p不確定時數(shù)學(xué)上很難處理,因此先假定p,求模型參數(shù)。階數(shù)p已知時對模型兩邊同求某種統(tǒng)計特征以將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化為確定性的量。對各種階數(shù)下的模型進(jìn)行比較應(yīng)用某種準(zhǔn)則選出最好的模型()。AR模型法功率譜估計:AR(p)模型的Yule-Walker方程組:AR模型法功率譜估計步驟:N個樣值x(0),x(1)…x(N-1)解Yule-Walker方程組

功率譜密度AR模型參數(shù)和激勵源方差A(yù)R模型法功率譜估計:AR模型階數(shù)的選擇:階數(shù)對估計性能的影響階數(shù)選得太低,功率譜被平滑太厲害,無法分辨真實峰(P130圖4.3);階數(shù)選得太高,譜分辨率提高,但會產(chǎn)生虛假峰。(P130圖4.4)。實驗方法:觀察擬合誤差法。分析方法:最終預(yù)測誤差(FPE)準(zhǔn)則。Akaike(赤池)信息準(zhǔn)則(AIC)。判別自回歸傳輸函數(shù)(CAT)準(zhǔn)則。定義最終預(yù)測誤差:N為觀測數(shù)據(jù)長度。使上式最小化的階數(shù)k即為最優(yōu)階數(shù)最優(yōu)階數(shù)。FPE準(zhǔn)則得到模型階數(shù)一般偏低。(1)最終預(yù)測誤差(FPE)準(zhǔn)則(2)Akaike(赤池)信息準(zhǔn)則(AIC)使上式最小化的階數(shù)k即為最優(yōu)階數(shù)。AIC準(zhǔn)則得到模型階數(shù)一般偏高。(3)判別自回歸傳輸函數(shù)(CAT)準(zhǔn)則最小化上式得最優(yōu)階數(shù)。AR模型法功率譜估計:性能分析:精確分析很困難,只能給出大樣本理論的近似關(guān)系。估值的均值(N,p):估值的方差(N,p):AR譜估計的性質(zhì)1:隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推譜估計結(jié)果與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系:令:則:AR譜估計的性質(zhì)1:隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推AR譜估計的性質(zhì)1:隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推說明對m>p范圍內(nèi)的并未被認(rèn)為等于0,而是仍按上式遞推。AR譜估計的性質(zhì)1:隱含著自相關(guān)函數(shù)的外推結(jié)論:AR譜估計是將有限個自相關(guān)函數(shù)值按照Yule-Walker方程進(jìn)行外推后進(jìn)行傅立葉變換得到的結(jié)果。由于AR譜估計將自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行了外推,克服了經(jīng)典譜估計方法加窗導(dǎo)致分辨率低和旁瓣“泄漏”的問題,因此AR譜估計有高的分辨率。AR譜估計的性質(zhì)2:與最大熵譜估計等效最大熵譜估計的提出(Burg):經(jīng)典譜估計方法具有分辨率低和旁瓣“泄漏”的問題。其根本原因是自相關(guān)函數(shù)加窗,這樣克服這些問題必須對自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行外推。Burg提出以

,其合理性在于這樣對自相關(guān)函數(shù)的約束最少,因而時間序列的

,

。AR譜估計的性質(zhì)2:與最大熵譜估計等效最大熵譜估計原理:熵的定義:隨機(jī)向量X的概率密度為p(X),則其熵定義為:平穩(wěn)高斯過程的熵:該式建立了熵和功率譜之間的關(guān)系。AR譜估計的性質(zhì)2:與最大熵譜估計等效最大熵譜估計問題的定義:利用Lagrangian乘數(shù)法解此約束優(yōu)化問題可得:λ(m)為Lagrangian乘數(shù),將上式代回約束條件可求的λ(m)AR譜估計的性質(zhì)2:與最大熵譜估計等效最大熵譜估計問題的結(jié)果:其中:、是Yule-Walker方程組的解。AR譜估計的性質(zhì)2:與最大熵譜估計等效結(jié)論:AR譜估計相當(dāng)于對自相關(guān)函數(shù)以最大熵為原則進(jìn)行外推后進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。AR譜估計相當(dāng)于在p+1個自相關(guān)函數(shù)值確定的情況下,以功率譜密度最平坦為準(zhǔn)則得到的估計結(jié)果。AR譜估計的性質(zhì)3:與線性預(yù)測譜估計等效線性預(yù)測譜估計:問題的提出:用隨機(jī)時間序列x(n)前p個時刻的值的線性組合來預(yù)測當(dāng)前值,即:問題的定義:AR譜估計的性質(zhì)3:與線性預(yù)測譜估計等效線性預(yù)測結(jié)果:這與AR(p)模型的Yule-Walker方程組是相同的。若二者具有相同自相關(guān)值,則其解必然相同。

說明最佳線性預(yù)測系數(shù)等于AR模型參數(shù),最小預(yù)測誤差功率εmin等于AR模型中激勵噪聲方差σ2。AR譜估計的性質(zhì)3:與線性預(yù)測譜估計等效預(yù)測誤差濾波器:定義:預(yù)測誤差濾波器是最小相位濾波器.AR譜估計的性質(zhì)3:與線性預(yù)測譜估計等效

假設(shè)zi為A(ejw)的單位圓外的零點,這對A(ejw)進(jìn)行因式分解后應(yīng)有1-zie-jw這一項,有:AR譜估計的性質(zhì)3:與線性預(yù)測譜估計等效結(jié)論:AR譜估計相當(dāng)于用隨機(jī)時間序列前p個時刻的值在最小均方誤差準(zhǔn)則下來預(yù)測當(dāng)前值外推后進(jìn)行譜估計的結(jié)果。預(yù)測誤差濾波器是最小相位濾波器。AR譜估計的性質(zhì)4:等效于最佳白化處理問題的提出:AR模型假設(shè)輸入信號為白噪聲,AR譜估計能否滿足該條件?AR譜估計與線性預(yù)測譜估計等效,是否能證明AR譜估計方法輸出的誤差信號能接近于白噪聲?通過譜平坦度的概念來衡量誤差預(yù)測濾波器輸出的誤差信號的白化程度。AR譜估計的性質(zhì)4:等效于最佳白化處理譜平坦度:隨機(jī)時間序列x(n)的譜平坦度定義為:AR譜估計的性質(zhì)4:等效于最佳白化處理問題的定義:假設(shè)預(yù)測誤差濾波器A(z)為最小相位濾波器,同時輸入時間序列x(n)的輸出誤差時間序列信號為e(n),求解以下優(yōu)化問題:

AR譜估計的性質(zhì)4:等效于最佳白化處理問題的求解:AR譜估計的性質(zhì)4:等效于最佳白化處理若要使e最大,Re(0)要最小,因此使預(yù)測誤差譜平坦度最大等效于使p階線性預(yù)測器的預(yù)測誤差功率最小,也等效于AR譜估計器。AR譜估計的性質(zhì)4:等效于最佳白化處理結(jié)論:AR譜估計等效于預(yù)測誤差最佳白化處理。根據(jù)預(yù)測誤差的白化程度可以判斷時間隨機(jī)序列對AR(p)模型的符合程度。AR譜估計的性質(zhì):總結(jié)相當(dāng)于根據(jù)Yule-Walker方程組對自相關(guān)函數(shù)值外推后進(jìn)行傅立葉變換的結(jié)果。相當(dāng)于對隨機(jī)時間序列以最大熵準(zhǔn)則外推后估計信號的功率譜密度。相當(dāng)于對隨機(jī)時間序列以最佳線性預(yù)測外推后估計信號的功率譜密度。求出的功率譜密度為在幾個自相關(guān)函數(shù)值受限條件下最平坦的功率譜密度。相當(dāng)于對預(yù)測誤差進(jìn)行最佳白化處理。Levinson-Durbin算法:AR模型的Yule-Walker方程組:某階方程的系數(shù)矩陣包含了前面各階系數(shù)矩陣。系數(shù)矩陣先進(jìn)行列倒序再進(jìn)行行倒序(或先行倒序后列倒序)后矩陣不變(Toeplitz性質(zhì))。Levinson-Durbin算法:問題的提出:線性方程組的常用解法解AR(p)模型的Yule-Walker方程組的運算復(fù)雜度為p3,為了選擇模型要解一系列的方程組運算量很大。Yule-Walker的系數(shù)矩陣很有規(guī)律性,可以構(gòu)造迭代算法以減少計算量。問題的定義:已知AP(k)模型,怎樣用AP(k)模型的參數(shù)求出AP(k+1)模型的參數(shù)?Levinson-Durbin算法:問題分析:條件:目標(biāo):Levinson-Durbin算法:求解過程:將條件向目標(biāo)轉(zhuǎn)化,擴(kuò)充條件方程組:其中:Levinson-Durbin算法:將擴(kuò)充方程組與目標(biāo)方程組比較,發(fā)現(xiàn)缺少一個自由度,故利用Toeplitz性質(zhì)創(chuàng)造一個條件:Levinson-Durbin算法:將上述兩個方程組進(jìn)行某種線性組合以將等式右邊的最后一個元素化為0,即令:Levinson-Durbin算法:比較組合結(jié)果與目標(biāo)方程組,可得迭代方法:Levinson-Durbin算法:格形濾波器:問題的提出:建立k+1階預(yù)測誤差濾波器與k階預(yù)測誤差濾波器之間的關(guān)系。進(jìn)一步明確k+1的物理意義。Levinson-Durbin算法:遞推算法圖示:定義:反射系數(shù):k+1。格形濾波器:前向預(yù)測誤差和后向預(yù)測誤差:格形濾波器:前向預(yù)測誤差濾波器和后向預(yù)測誤差濾波器:

格形濾波器:根據(jù)Levinson-Durbin算法建立遞推關(guān)系:兩邊同乘以X(z),有:格形濾波器:時域遞推關(guān)系式:初始條件:格形濾波器:格形濾波器圖示:格形濾波器:格形濾波器的性質(zhì):各級參數(shù)(反射系數(shù))的模值小于1,可保證濾波器穩(wěn)定。級間是“去耦”的,當(dāng)各級分別調(diào)至最佳時可以使濾波器達(dá)到全局最佳。反射系數(shù)與AR模型是一一對應(yīng)的,是AR模型的另一種刻劃形式。AR模型的穩(wěn)定性:AR模型的穩(wěn)定條件:一般自相關(guān)函數(shù)沒有誤差時能自動滿足。H(z)的極點都在單位圓內(nèi)。12>22>…>p2>0。|k|<1,k=1,2…p。AR譜估計的界:Burg證明了AR譜的動態(tài)范圍滿足:任何一個反射系數(shù)i接近于1時,上界將變大,而下界將變小。具有大反射系數(shù)模值的AR過程,其譜一定具有尖銳的峰。AR模型參數(shù)提取方法:問題的提出:Levinson-Durbin算法要先算估計出幾個自相關(guān)函數(shù)值,而自相關(guān)函數(shù)的估計是有偏估計,這將導(dǎo)致AR模型的估計精度降低,是否有其他辦法提高AR模型的估計精度?Levinson-Durbin算法要先算估計出幾個自相關(guān)函數(shù)值,有無直接利用隨機(jī)采樣樣本提取AR模型參數(shù)的方法?AR模型參數(shù)提取方法:問題的定義:怎樣根據(jù)x0,x1…xN-1這一隨機(jī)采樣樣本估計隨機(jī)時間序列的AR(p)模型?AR模型參數(shù)提取方法:基本思路:AR模型法與線性預(yù)測譜估計等效。AR模型的參數(shù)與線性預(yù)測濾波器的沖激響應(yīng)相同:E(z)=A(z)X(z)。對于平穩(wěn)的隨機(jī)時間序列,可用時間平均代替集合平均。AR模型參數(shù)的提取可化為以下優(yōu)化問題:

AR模型參數(shù)提取方法:Yule-Walker法(自相關(guān)法):估計準(zhǔn)則:Yule-Walker法(自相關(guān)法)計算的原理圖AR模型參數(shù)提取方法:估計結(jié)果:取樣自相關(guān)序列取樣自相關(guān)矩陣AR模型參數(shù)提取方法:估計性能:自相關(guān)矩陣是正定的,系統(tǒng)的穩(wěn)定性能夠保證。求時相當(dāng)于對隨機(jī)信號進(jìn)行了加窗處理(前后補(bǔ)0),因此估計精度不高。AR模型參數(shù)提取方法:協(xié)方差法:估計準(zhǔn)則:要點:未對數(shù)據(jù)兩端加0(未加窗),對觀測時間以外數(shù)據(jù)不做任何假設(shè)。用協(xié)方差法計算的原理圖AR模型參數(shù)提取方法:估計結(jié)果:AR模型參數(shù)提取方法:估計性能:求時沒有對隨機(jī)信號進(jìn)行加窗處理,因此估計精度較高。自相關(guān)矩陣不是正定的,系統(tǒng)的穩(wěn)定性不能夠保證。例:試根據(jù)信號的4個取樣值x(n)={2,4,1,3},分別用自相關(guān)法和協(xié)方差法估計AR(1)模型參數(shù)。例4.1(教材P143)解:(1)自相關(guān)法(隱含右端添0)(隱含左端添0)(2)協(xié)方差法(不外推添0)(不外推添0)AR模型參數(shù)提取方法:Burg法:Burg法的思想:

●自相關(guān)法:計算效率高,能保證預(yù)測濾波器是最小相位的,但對數(shù)據(jù)兩端添加了0(加窗),估計精度下降,短數(shù)據(jù)時性能下降。

●協(xié)方差法:計算效率高,未加窗,但自相關(guān)矩陣不是正定的,潛在著不穩(wěn)定因素。

Burg法的思想:一方面希望利用已知數(shù)據(jù)段以外的未知數(shù)據(jù)(但不做主觀臆測);另一方面使預(yù)測誤差濾波器是最小相位的。不直接估計AR參數(shù),先估計反射系數(shù),再利用Levinson遞推算法由反射系數(shù)求的AR參數(shù)。AR模型參數(shù)提取方法:Burg法:估計準(zhǔn)則:Burg法前后向預(yù)測誤差產(chǎn)生原理圖AR模型參數(shù)提取方法:估計方法:利用Levinson-Durbin迭代算法以及格形濾波器預(yù)測誤差的迭代關(guān)系式,在已知p-1階模型參數(shù)的情況下,只要求出p即可求出p階模型參數(shù)。AR模型參數(shù)提取方法:容易證明:AR模型參數(shù)提取方法:迭代關(guān)系式:AR模型參數(shù)提取方法:初始條件:Burg算法

設(shè)已知有限數(shù)據(jù)序列x(n),n=0,1,…,N-1,可按下步驟計算預(yù)測濾波器系數(shù),并在此基礎(chǔ)上計算功率譜。1.置k=0,計算初值2.k=k+1,

計算反射系數(shù)3.計算濾波器系數(shù):

5.計算k階預(yù)測誤差功率:6.回到步驟(2)-(5),進(jìn)行下一次迭代。4.計算前、后向預(yù)測誤差:AR模型參數(shù)提取方法:估計性能:如果處理數(shù)據(jù)來自AR過程,則可獲得精確的結(jié)果同時系統(tǒng)的穩(wěn)定性也有保證。如果處理的是正弦信號會遇到一些困難,例如:譜線分裂、譜峰位置受相位影響大等。為了減小相位的影響,可對反射系數(shù)估計公式進(jìn)行如下修正:其中:wp(n)為某一非負(fù)的窗函數(shù)。噪聲對AR譜估計的影響:問題的提出:AR譜估計對觀測噪聲比較敏感:噪聲會使譜峰展寬,分辨率下降。噪聲會使譜峰偏離正確位置。在信噪比低的情況下,AR譜估計已經(jīng)不再優(yōu)于周期圖方法。研究怎樣減小噪聲對AR譜估計的惡化影響。噪聲對AR譜估計的影響:噪聲對AR(p)過程功率譜密度的影響:假設(shè)x(n)是一個AR(p)過程,w(n)為與x(n)不相關(guān)且方差為w2的白噪聲,令:

y(n)=x(n)+w(n)

則:結(jié)論:噪聲使AR(p)過程變?yōu)锳RMA(p,p)過程。噪聲對AR譜估計的影響:減小噪聲對AR譜估計影響的方法:采用ARMA譜估計方法:使用與實際數(shù)據(jù)情況相符合的ARMA(p,p)模型。對數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波,減小噪聲:使用維納濾波器進(jìn)行波形估計以減小噪聲。采用髙階AR模型:一個ARMA(p,p)模型可用AR()模型描述。補(bǔ)償自相關(guān)函數(shù)或反射系數(shù)估計中的影響:噪聲對AR譜估計的影響:采用髙階AR模型:原理:噪聲對AR譜估計

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