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解析定義：充要條件1：充要條件2：充要條件3：充要條件4：充要條件5：解析和充要條件1：因此在區(qū)域D內(nèi)每點(diǎn)滿足C.-R.方程并且u(x,y)、v(x,y)和f(z)在D內(nèi)解析等價(jià)的充要條件1和2：顯然2可推出11推出2：由定理：可得u(x,y),v(x,y)滿足C.-R.方程且各階偏導(dǎo)連續(xù)解析和充要條件3：解析推出充要條件3：利用柯西積分定理（其中證明用到解析函數(shù)在區(qū)域內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)可微）充要條件3推原式定義：先證下面定理：其中定理3.7指：然后將單連通區(qū)域D推廣到一般區(qū)域G[注：f(z)在某點(diǎn)解析即在該點(diǎn)鄰域內(nèi)解析，故上面先證f(z)在任取z0的鄰域內(nèi)解析]充要條件1或2和充要條件4：充要條件1或2推4（須附加無窮可微性，從而u(x,y),v(x,y)二階偏導(dǎo)連續(xù)）根據(jù)調(diào)和函數(shù)和共軛調(diào)和函數(shù)定義：由充要條件4推充要條件1或2：首先由u(x,y)、v(x,y)是調(diào)和函數(shù)知其二階偏導(dǎo)連續(xù)，從而一階偏導(dǎo)連續(xù)，進(jìn)而u、v可微，又v是u的共軛調(diào)和函數(shù)，故u、v滿足C.-R.方程。解析和充要條件5：解析推充要條件5：（用到高階導(dǎo)數(shù)公式）

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