能量原理之簡潔版

能量原理§1概述緩慢加載，無熱耗，彈性階段（不必線性彈性）——外力功全部轉(zhuǎn)化為應(yīng)變能（變形能）。彈簧的彈性勢能FkxF△lxFAmAqABFACqABCmABC§2彈性體應(yīng)變能一、桿在基本變形下的應(yīng)變能1.軸向拉壓FN(x)FN(x+dx)dx微線段應(yīng)變能：桿中應(yīng)變能：1.軸向拉壓2.圓軸扭轉(zhuǎn)3.彎曲M二、應(yīng)變能的疊加(一)計(jì)算應(yīng)變能時(shí)，一般不能“直接”疊加F1+F2E、A、l例：F11.只加F1F23.直接“疊加”2.只加F2如果將F1+F2視為一個(gè)力，應(yīng)為4.先加F16.疊加5.再加F2F1+F2F1F2F1F2從零開始，緩慢加載加F2時(shí)，F(xiàn)1已經(jīng)作用在桿上，對變形Δ2作功。(二)組合變形時(shí)的應(yīng)變能為什么此時(shí)可以疊加？ABΔ例1.計(jì)算圖示桿中的應(yīng)變能(EA已知)F1lF2l解：1.用定義計(jì)算F1lF2l2.先加F2，然后加F1（用外力功）F2F1lF2l例2.計(jì)算圖示梁中的應(yīng)變能(EI已知)解：1.按定義計(jì)算ACFPmB2.先加FP，再加mACFPBBACFPmACFPmB注意：力作用處的撓度或轉(zhuǎn)角一般未知，故基本方法是用內(nèi)力計(jì)算?！?*余功、應(yīng)變余能一、功和余功對于線性彈性問題功余功一、功和余功二、應(yīng)變能密度和余能密度對于線性彈性問題應(yīng)變能余能用此式計(jì)算的是儲存在桿件整體內(nèi)部的總應(yīng)變能用此式計(jì)算的是單向應(yīng)力狀態(tài)下儲存在單位體積內(nèi)部的應(yīng)變能（應(yīng)變能密度或比能）。F線性彈性問題功和余功應(yīng)變能密度和余能密度§3虛功原理（虛位移原理）、虛余功原理（虛力原理）一、虛位移、虛功；虛力、虛余功虛位移：結(jié)構(gòu)的“變形協(xié)調(diào)性”得到滿足的任意微小變形（位移）ACFPB真實(shí)位移△C虛功：力在虛位移上作的功。ACB虛位移△C虛力：任一平衡力系對于完整約束的結(jié)構(gòu)，如右圖，在梁上加任意力系，必可以和約束反力構(gòu)成平衡力系。虛余功：真實(shí)位移在虛力上所作的功。ACFPB真實(shí)狀態(tài)任意加一個(gè)力系A(chǔ)DFBEm二、虛功原理（虛位移原理）1.“真實(shí)力系在虛位移上作的虛功”等于“真實(shí)內(nèi)力在虛內(nèi)位移上所作的虛功”。2.說明（以梁為例）真實(shí)力系A(chǔ)1F1B2F2虛位移A1B2dxM(x)M(x+dx)真實(shí)內(nèi)力虛內(nèi)位移“真實(shí)力系在虛位移上作的虛功”等于“真實(shí)內(nèi)力在虛內(nèi)位移上所作的虛功”真實(shí)力系A(chǔ)1F1B2F2虛位移A1B2dxM(x)M(x+dx)真實(shí)內(nèi)力虛內(nèi)位移虛功虛應(yīng)變能3.對于組合變形4.是結(jié)構(gòu)平衡的充要條件三、虛余功原理（虛力原理）1.“真實(shí)位移在虛力上作的虛余功”等于“真實(shí)內(nèi)位移在虛內(nèi)力上所作的虛余功”。2.說明（以梁為例）實(shí)內(nèi)位移虛力A1F1B2F2dxM(x)M(x+dx)虛內(nèi)力真實(shí)位移A1B2M(x)M(x+dx)虛內(nèi)力實(shí)內(nèi)位移虛力A1F1B2F2真實(shí)位移A1B2虛余功虛余能3.對于組合變形4.是變形協(xié)調(diào)的充要條件天哪！“虛來虛去的，有啥用處？虛功原理，虛余功原理§4莫爾定理（單位荷載法）1.欲求C處位移△C，另畫一梁，只在C處加一單位荷載，視為虛力，它引起的內(nèi)力為虛內(nèi)力ACFPmB真實(shí)狀態(tài)2.由虛余功原理ACF=1B虛力虛內(nèi)力M(x)一般形式ACFPmB真實(shí)狀態(tài)ACF=1B虛力虛內(nèi)力M(x)△C：真實(shí)位移，不妨稱為C點(diǎn)n方向的位移；Mi、Mxi、FNi：原荷載下，i桿中的彎矩、扭矩和軸力；Mi、Mxi

、FNi

：結(jié)構(gòu)受C點(diǎn)n方向單位荷載時(shí)，i桿中的彎矩、扭矩和軸力。例1：求圖示梁C處位移及轉(zhuǎn)角；EI已知。ACqBl2l解：1.計(jì)算M(x)2.在要計(jì)算位移的位置施加相應(yīng)的單位荷載；計(jì)算M(x)AC1Bl2lACqBl2lAC1Bl2l3.由積分式計(jì)算位移ACqBl2l4.在要計(jì)算位移的位置施加相應(yīng)的單位荷載；計(jì)算M(x)AC1Bl2lACqBl2l用疊加法解之AqBMCMC1.在C處截梁為兩段，在C端附加力偶如圖示。MCqACBMCCqC支座下移距離即C處撓度ωC2.分別計(jì)算兩段在C處的轉(zhuǎn)角BCqql2θC1ql2qACθC2BCqql2θC1ql2qACθC2例2：求A處位移及轉(zhuǎn)角。已知BC=CD=2l，CA=l；各截面EA、EI。ACFBD1.求△A在F作用下單位荷載作用下AC1BDACFBDAC1BDACFBD2.求θAAC1BD在F作用下單位荷載作用下§5卡氏定理1.卡氏第一定理在{Fi}、{△i}狀態(tài)下:取虛位移：d△i≠0，其余d△j為零虛應(yīng)變能虛功因此2.由虛余功原理a.{Fi}、{△i}為真實(shí)狀態(tài)b.{0,···,dFi,···0}為虛力系3.卡氏第二定理（線彈性）對于線彈性問題，應(yīng)變能與應(yīng)變余能相等，即例1.求圖示支架中A點(diǎn)的鉛垂位移θFABCEA，lEAA節(jié)點(diǎn)水平位移？例2.求圖示梁中C點(diǎn)的鉛垂位移和A處的轉(zhuǎn)角ACFPmB例3.求圖示桁架中A點(diǎn)的位移。已知各桿的EA，1、2桿長l。FABCD12345θ由平衡方程計(jì)算得先加F1，再加F2F1+F2F1F2F1F2F1F2先加F2，再加F1§5功的互等及位移互等定理（線彈性）AF1B△１１△２１AF２B△１２△２２AF1B△１２△２２F２AF２B△１１△２１F1AF1BAF1BF２AF２BF1AF２BAF1BAF1BF２AF２BF1AF２BF1在“F２引起的1處位移△12”上作的功，等于F2在“F１引起的2處位移△21”上作的功。功的互等定理：AFB作用力相等或均取為單位荷載時(shí)：AFB位移互等定理：A1BDCC處單位荷載引起的D處位移，等于D處單位荷載引起的C處位移。A1BCD例1：求C處撓度ABCmABCF例2：求撓度曲線與未變形時(shí)桿的軸線之間的面積ABqdxABCFω本章基本要求：應(yīng)用單位荷載法計(jì)算結(jié)構(gòu)任意一點(diǎn)的位移或任意一截面的轉(zhuǎn)角。課堂練習(xí)：計(jì)算C處約束反力。AC=CB=l；EI已知。AC4qBql2AC4qBql2FB1.疊加法2.能量法AC4qBql2FCACB1用虛位移原理來證明功的互等定理“真實(shí)力系在虛位移上作的虛功”等于“真實(shí)內(nèi)力在虛內(nèi)位移上所作的虛功”真實(shí)力系A(chǔ)1F1B2F2虛位移A1B2dxM(x)M(x+dx)真實(shí)內(nèi)力虛內(nèi)位移虛功虛應(yīng)變能ABF1F2“真實(shí)力系在虛位移上作的虛功”等于“真實(shí)內(nèi)力在虛內(nèi)位移上所作的虛功”“第一狀態(tài)的力系”在“第二狀態(tài)的位移”上作的虛功，等于“第一狀態(tài)的內(nèi)力”在“第二狀態(tài)的內(nèi)位移”