結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：第六章《結(jié)構(gòu)位移計(jì)算》

第六章結(jié)構(gòu)位移計(jì)算1A′結(jié)構(gòu)位移計(jì)算第六章結(jié)構(gòu)位移計(jì)算§6—1概述§6—2變形體系的虛功原理§6—3位移計(jì)算的一般公式§6—4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算§6—5圖乘法§6—6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算§6—7靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算§6—8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理2§6—1概述1.變形和位移在荷載作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。變形：是指結(jié)構(gòu)形狀的改變。位移：是指結(jié)構(gòu)各處位置的移動(dòng)。2.位移的分類APA′A線位移：角位移：A(△A)△Ay△Ax△Ay△Ax△A絕對(duì)位移相對(duì)位移PABCDC′D′△C△D△CD=△C+△D□結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回△C△D33.計(jì)算位移的目的（1）校核結(jié)構(gòu)的剛度。（2）結(jié)構(gòu)施工的需要。

除荷載外，還有一些因素如溫度變化、支座移動(dòng)、材料收縮、制造誤差等，也會(huì)使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。結(jié)構(gòu)力學(xué)中計(jì)算位移的一般方法是以虛功原理為基礎(chǔ)的。本章先介紹變形體系的虛功原理，然后討論靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算。（3）為分析超靜定結(jié)構(gòu)打基礎(chǔ)。起拱高度△結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回4§6—2變形體系的虛功原理1.功、實(shí)功與虛功AdW=Pw=（a）（1）功PdSSB⌒dSCosdW=PCosdS結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回5常力功W=(b)變力功由A→B,W=（c）力偶功PPAB（d）d△PAB⌒⌒常力W=變力W=P△Cos21P△CosM·21M·力由0→PM=Pd結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回6（2）實(shí)功與虛功實(shí)功：ABP11△虛功：W=ABP22△力在其它因素引起的位移上所作的功。力與位移是彼此無關(guān)的量，分別屬于同一體系的兩種彼此無關(guān)的狀態(tài)。例如：例如：W12=P1·△2力在本身引起的位移上所作的功。12結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回7

2.變形體的虛功原理：

變形體平衡的必要和充分條件是：對(duì)任意微小虛位移，外力所作的虛功總和等于此變形體各微段上內(nèi)力所作的變形虛功總和。（證明從略）即W外=W內(nèi)或?qū)懗蒞=Wi（6—1）式(6—1）稱為虛功方程，式中WWi——外力虛功

——內(nèi)力虛功結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回8AB力狀態(tài)PqMdS內(nèi)力虛功的計(jì)算給定力狀態(tài)RARB給定位移狀態(tài)位移狀態(tài)dWi=Ndu+QdS+MdWi=微段dS上內(nèi)力的變形虛功為整個(gè)結(jié)構(gòu)內(nèi)力的變形虛功為（6—2)虛功方程為W=（6—3)qNN+dNQQ+dQ?M?M+dMdSdsdSdu⌒dS⌒⌒dxddSAB結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回91.位移計(jì)算的一般公式設(shè)平面桿系結(jié)構(gòu)由于荷載、溫度變化及支座移動(dòng)等因素引起位移如圖示。P2P1KkkK′△K利用虛功原理計(jì)算c1c2c3kkPK=1實(shí)際狀態(tài)－位移狀態(tài)c1、c2、c3、△Kdu、d、dsds虛擬狀態(tài)－力狀態(tài)dsK外力虛功W==內(nèi)力虛功Wi=可得求任一指定截面K沿任一指定方向k—k上的位移△K。(7－5)t1t2(6－4)這便是平面桿系結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式，若計(jì)算結(jié)果為正，所求位移△K與假設(shè)的PK=1同向，反之反向。這種方法又稱為單位荷載法。結(jié)構(gòu)位移計(jì)算§6—3位移計(jì)算的一般公式單位荷載法返回102.虛擬狀態(tài)的設(shè)置在應(yīng)用單位荷載法計(jì)算時(shí)，應(yīng)據(jù)所求位移不同，設(shè)置相應(yīng)的虛擬力狀態(tài)。例如:A求△AH實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)A1A求A1虛擬狀態(tài)AA虛擬狀態(tài)虛擬狀態(tài)B求△AB11B求AB11廣義力與廣義位移結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回11§6—4靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算當(dāng)結(jié)構(gòu)只受到荷載作用時(shí)，求K點(diǎn)沿指定方向的位移△KP，此時(shí)沒有支座位移，故式（6—4）為△KP=式中：為虛擬狀態(tài)中微段上的內(nèi)力；dP、duP、

Pds為實(shí)際狀態(tài)中微段上的變形。由材料力學(xué)知（a）dP=duP=Pds=將以上諸式代入式（a）得△KP=（6—5）這就是平面桿件結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算公式。結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回12討論1.梁和剛架△KP=（6－6）2.桁架△KP=（6－7）3.組合結(jié)構(gòu)△KP=（6—8）在實(shí)際計(jì)算時(shí)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的具體情況,式（6—5）可以簡化：結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回13例6—1求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移△Ay。E、A、I為常數(shù)。ABCqLLA`實(shí)際狀態(tài)虛擬狀態(tài)ABC1解：1.設(shè)置虛擬狀態(tài)xx選取坐標(biāo)如圖。則各桿彎矩方程為:AB段：x,BC段：2.實(shí)際狀態(tài)中各桿彎矩方程為AB段：BC段：MP=MP=xx3.代入公式（6—6）得△Ay=，()=(-x)(-2qx2)EIdx+(-L)(-2qL2)EIdx結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回14§6—5圖乘法△KP=當(dāng)結(jié)構(gòu)符合下述條件時(shí)：

（1）桿軸為直線；

（2）EI=常數(shù)；上述積分可以得到簡化。MP圖和M兩個(gè)彎矩圖中至少有一個(gè)是直線圖形。（3）xy面積設(shè)等截面直桿AB段的兩個(gè)彎矩圖中，為一段直線，MP圖為任意形狀，ABO則上式中的ds可用dx代替。ABMPdx故有=xtg,且tg=常數(shù)，則d=MPdxx⌒EItg∫xMPdx=EItg∫xd結(jié)構(gòu)位移計(jì)算1.圖乘法:計(jì)算梁和剛架在荷載作用下的位移時(shí)，要計(jì)算下面的積分返回15MP圖xy形心C面積ABOABMPdxd=MPdxxxC有yCyC=xCtg則積分運(yùn)算化簡為一個(gè)彎矩圖的面積乘以其形心處所對(duì)應(yīng)的另一個(gè)直線彎矩圖上的豎標(biāo)yC。如果結(jié)構(gòu)上所有各桿段均可圖乘則位移計(jì)算公式（6—6）可寫成△KP=(6－9)⌒而EI∫xdtgEIxCtgEIyCEIyC結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回162.圖乘法的注意事項(xiàng)（1）必須符合上述三個(gè)前提條件；（2）豎標(biāo)yC只能取自直線圖形；（3）與yC若在桿件同側(cè)則乘積取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。3.常用的幾種簡單圖形的面積和形心Lh2L/3L/3Lhab（L+a)/3(L+b)/3形心形心結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回17Lh二次拋物線頂點(diǎn)L/2二次拋物線Lh4L/5L/53L/85L/8121=2/3(hL)2=1/3(hL)頂點(diǎn)結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回184.圖乘的技巧當(dāng)圖形的面積和形心位置不便確定時(shí)，將它分解成簡單圖形，之后分別與另一圖形相乘，然后把所得結(jié)果疊加。例如：MP圖abcdL則ya=2/3×c+1/3×dyb=1/3×c+2/3×dMP圖abcdyayb此時(shí)ya=2/3×c－1/3×dyb=2/3×d－1/3×cybya結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回19＝MAQAMAQBMBMB對(duì)于在均布荷載作用下的任何一段直桿，其彎矩圖均可看成一個(gè)梯形與一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形的疊加。疊加后的拋物線圖形（）與原拋物線圖形（）的面積大小和形心位置以及形心處的豎標(biāo)仍然是相同的。??ABL結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回20當(dāng)yC所屬圖形是由若干段直線組成時(shí)，或各桿段的截面不相等時(shí)，均應(yīng)分段相乘，然后疊加。123y1y2y3123y1y2y3△=(1y1+2y2+3y3)I1I2I3△=結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回21例6—2求下圖所示剛架C、D兩點(diǎn)間距離的改變。設(shè)EI=常數(shù)。ABCDLhq解：1.作實(shí)際狀態(tài)的MP圖。MP圖2.設(shè)置虛擬狀態(tài)并作。11hhyC=h3.按式（6—9）計(jì)算（→←）?CD=∑EIyC=EI1(328qL2L)h=12EIqhL2形心結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回22例6—3求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移△Ay。ABCDEIEI2EIPLLL/2解：1.作MP圖、PPLMP圖1L；2.圖乘計(jì)算?！鰽y=（↓）∑EIyC=EI1(2L?L2PL(L?4=16EIPL2)-2EI123L)PL結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回23例6—4求圖示外伸梁C點(diǎn)的豎向位移△Cy。EI=常數(shù)。qABCL圖11y2y3+解：1.作MP圖2.作圖3.圖乘計(jì)算y1=y2=y3=△Cy=y1MP圖23結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回24例6—5試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角解:MPMi25例6—6試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移解:MPMi26圖（

）圖BAq例6—7求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉(zhuǎn)角解:27例6—9已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP28例6—10已知EI為常數(shù)，求A點(diǎn)豎向位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖qlllqMP29例6—11圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP30例6—11圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP31例6—11圖示梁EI為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。l/2ql/2MP32lPlPl圖示結(jié)構(gòu)EI為常數(shù)，求AB兩點(diǎn)(1)相對(duì)豎向位移,(2)相對(duì)水平位移,(3)相對(duì)轉(zhuǎn)角。MP練習(xí)1111對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖

對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與其反對(duì)稱彎矩圖圖乘,結(jié)果為零.1133作變形草圖PP11繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：34求B點(diǎn)水平位移。練習(xí)解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MPll注意:各桿剛度可能不同35

已知EI為常數(shù)，求B截面轉(zhuǎn)角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Mi36解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求B點(diǎn)水平位移,EI=常數(shù)。lPllMP1MP37練習(xí)解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求C、D兩點(diǎn)相對(duì)水平位移。lllMP38已知：E、I、A為常數(shù)，求。ABCPaD39解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖ABCPaDABC1aD若把二力桿換成彈簧,該如何計(jì)算?40B支座處為剛度k的彈簧，該如何計(jì)算C點(diǎn)豎向位移？ABCk=1PABCk有彈簧支座的結(jié)構(gòu)位移計(jì)算公式為:41練習(xí)解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求A點(diǎn)豎向位移,EI=常數(shù)。MPlllAkk42§6—6靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算當(dāng)靜定結(jié)構(gòu)溫度發(fā)生變化時(shí)，由于材料熱脹冷縮，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生變形和位移。設(shè)結(jié)構(gòu)(見圖)外側(cè)溫度升高t1，內(nèi)側(cè)溫度升高t2,求K點(diǎn)的豎向位移△Kt。t1t2KK`△Kt現(xiàn)研究實(shí)際狀態(tài)中任一微段ds,由于溫度變化產(chǎn)生的變形。dsds△Kt=此時(shí)由式（6—4）可得ht1t2t2dst1dsdtdut=(t1ds+t2ds)/2=tds(a)(b)KdsPK=1ds實(shí)虛式中dt=(t2ds-t1ds)/h=△t=t2－t1(c)h?tds式中將式（b)

、(c)代入式（a)，得△Kt=（6—10）溫度變化不會(huì)引起剪切變形，即t=0結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回43△Kt（6—10）若各桿均為等截面時(shí)，則有△Kt（6—11）在應(yīng)用上面二式計(jì)算時(shí)，應(yīng)注意正負(fù)號(hào)的確定。當(dāng)實(shí)際溫度變形與虛擬內(nèi)力方向一致時(shí)其乘積為正，相反時(shí)為負(fù)。梁和剛架可略去軸力的影響。桁架在溫度變化時(shí)的位移計(jì)算公式為△Kt=（6—12）桁架因制造誤差引起的位移計(jì)算與上式類似。設(shè)各桿長度的制造誤差為△L,其位移計(jì)算公式為△K=（6—13）結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回44

例：6—5圖示剛架施工時(shí)溫度為20℃，求冬季外側(cè)溫度為－10℃，內(nèi)側(cè)溫度為0℃時(shí)A點(diǎn)的豎向位移△Ay。已知L=4m，=10－5，各桿均為矩形截面，高度h=0.4m。LLt1t2實(shí)解：外側(cè)溫度變化繪圖，AA1虛1代入式（6—11），并注意正負(fù)號(hào)(判斷)，L△Ay可得t1=－10℃－20℃=－30℃,內(nèi)側(cè)溫度變化t2=0℃－20℃=－20℃。t=(t1+t2)/2=－25℃,△t=t2－t1=10℃結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回45§6—7靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)并不引起內(nèi)力。此時(shí)，位移計(jì)算公式化簡為△Kc=（6—14）

例：圖示三鉸剛架右邊支座的豎向位移△By=0.06m↓水平位移△Bx=0.04m→,已知L=12m，h=8m。求A。hL/2L/2△Bx△By實(shí)ABC解：虛擬狀態(tài)如圖。ABC1由（6—14）式得A=0.0075rad虛結(jié)構(gòu)位移計(jì)算返回46§6—8線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理（1）功的互等定理：第一狀態(tài)M1、N1、Q1、P1、△2112P1△2112P2△12第二狀態(tài)M2、N2