結構力學第五章位移計算

第五章靜定結構位移計算

DisplacementofStaticallyDeterminateStructures§5-1結構位移計算概述

A位移轉角位移線位移A點線位移A點水平位移A點豎向位移A截面轉角Fp1.結構的位移(DisplacementofStructures)AFp引起結構位移的原因制造誤差等荷載溫度改變支座移動還有什么原因會使結構產(chǎn)生位移?為什么要計算位移?2.計算位移的目的鐵路工程技術規(guī)范規(guī)定:(1)剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度<1/600跨度；橋梁在豎向活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度<1/700和1/900跨度高層建筑的最大位移<1/1000高度。最大層間位移<1/800層高。(2)超靜定、動力和穩(wěn)定計算(3）施工要求3.本章位移計算的假定4.計算方法(3)理想聯(lián)結(IdealConstraint)。疊加原理適用（principleofsuperposition)(1)線彈性(LinearElastic),(2)小變形(SmallDeformation),

單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)§5-2變形體虛功原理

(PrincipleofVirtualWork)1.功(Work)、實功(RealWork)和虛功(VirtualWork)功：力對物體作用的累計效果的度量功=力×力作用點沿力方向上的位移實功：力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功虛功：力在非自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力狀態(tài)位移狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）注意：（1）屬同一體系；（2）均為可能狀態(tài)。即位移

應滿足變形協(xié)調(diào)條件；

力狀態(tài)應滿足平衡條件。（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關；2.廣義力(Generalizedforce)廣義位移(Generalizeddisplacement)一個力系作的總虛功W=Σ[FP×]FP---廣義力;---廣義位移例:1)作虛功的力系為一個集中力2)作虛功的力系為一個集中力偶3)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力偶4)作虛功的力系為兩個等值反向的集中力3.變形體的虛功原理（1）質(zhì)點系的虛位移原理具有理想約束的質(zhì)點系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：ΣFiδri=0→→.對于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點系的主動力所做虛功之和為零。也即（2）剛體系的虛位移原理

去掉約束而代以相應的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：對于任何可能的虛位移，作用于剛體體系的所有外力所做虛功之和為零。FPΔ2Δ3Δ/2原理的表述：

任何處于平衡狀態(tài)的變形體，當發(fā)生任意滿足變形連續(xù)條件的位移時，變形體所受外力在上述位移上所作的總虛功δWe，恒等于變形體各微段外力在微段變形位移上作的虛功之和δWi。也即恒有如下虛功方程成立:δWe=δWi（3）變形體的虛功原理4.虛功原理的兩種應用(1)虛功原理用于虛設的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與實際的平衡力狀態(tài)之間。例.求A端的支座反力(ReactionatSupport)。解：去掉A端約束并代以反力X，構造相應的虛位移狀態(tài).ABaC(a)bFPX(b)FP(c)直線待分析平衡的力狀態(tài)虛設協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)由外力虛功總和為零，即：將代入得:通常取單位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)對靜定結構，這里實際用的是剛體虛位移原理，實質(zhì)上是實際受力狀態(tài)的平衡方程(2)虛位移與實際力狀態(tài)無關,故可設(3)求解時關鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關系。(4)用幾何法來解靜力平衡問題例.求A端支座發(fā)生豎向位移c時引起C點的豎向位移.(2)虛功原理用于虛設的平衡力狀態(tài)與實際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。解：首先構造出相應的虛設力狀態(tài)。即，在擬求位移之點（C點）沿擬求位移方向（豎向）設置單位荷載。ABaCbc1ABC由求得：解得：這就是著名的單位荷載法

(Dummy-UnitLoadMethod)(1)所建立的虛功方程,實質(zhì)上是幾何方程。(2)虛設的力狀態(tài)與實際位移狀態(tài)無關，故可設單位廣義力FP=1(3)求解時關鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關系。(4)是用靜力平衡法來解幾何問題。虛功方程為：單位位移法的虛功方程平衡方程單位荷載法的虛功方程幾何方程第一種應用一些文獻稱為“虛位移原理”，而將第二種應用稱為“虛力原理”。更確切的說法為，兩種應用的依據(jù)是上述兩原理的必要性命題。上述兩原理都是充分、必要性命題，它們和虛功原理是有區(qū)別的。

虛位移原理:一個力系平衡的充分必要條件是:對任意協(xié)調(diào)位移,虛功方程成立.虛力原理:一個位移是協(xié)調(diào)的充分必要條件是:對任意平衡力系,虛功方程成立”?！?-3靜定結構支座移動時的位移計算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbySupportMovement)K1K由剛體虛功原理:計算公式為:例1：求CBAFP=1解：構造虛設力狀態(tài)CBAll解：構造虛設力狀態(tài)()例2：已知l=12m,h=8m,,求§5-4荷載作用產(chǎn)生的位移計算求k點豎向位移:由變形體虛功方程:變形協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)(FP)平衡的力狀態(tài)(F=1)δWe=δWi微段彎曲δWi

的計算:微段(虛)外力:

微段(實際)變形可看成由如下幾部分組成:（4）變形體虛功方程的展開式微段剪切微段拉伸位移計算一般性公式為:對于由線彈性平面桿件組成的結構受荷載作用，有：一般性公式的普遍性表現(xiàn)在以下幾方面：（1）從變形類型看:可考慮拉壓、剪、彎、扭；（2）從變形因素看：荷載、支座移動、裝配誤差、溫度改變等外因引起的位移均可；

（3）從結構類型看：可用于各類結構；（4）從材料性質(zhì)看：既可用于線彈性又可用于非線彈性材料。制造誤差引起的位移計算每個上弦桿加長8mm求由此引起的A點豎向位移例1：已知圖示粱的E、G,求A點的豎向位移。解：構造虛設單位力狀態(tài).l對于細長桿,剪切變形對位移的貢獻與彎曲變形相比可略去不計.位移方向是如何確定的?例2：求曲梁B點的豎向位移(EI、EA、GA已知)ROBAFPFP=1RθFPRθ解：構造虛設的力狀態(tài)如圖示

小曲率桿可利用直桿公式近似計算軸向變形剪切變形對位移的影響可略去不計1.梁與剛架2.位移計算公式2.桁架3.組合結構4.拱這些公式的適用條件是什么?解：例:求圖示桁架(各桿EA相同)k點水平位移.FPFi練習:求圖示桁架(各桿EA相同)k點豎向位移.FPFi第五章位移計算作業(yè)（一）作業(yè)P199-P2015-25-45-65-75-85-95-11課外思考:P195-P1965-1~5-7,5-9~5-10交作業(yè)時間:下周二例:1)求A點水平位移

所加單位廣義力與所求廣義位移相對應,該單位廣義力在所求廣義位移上做功。3.單位力狀態(tài)的確定2)求A截面轉角3)求AB兩點相對水平位移4)求AB兩截面相對轉角BA(b)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。A(a)FP=1FP=1FP=1ABCd(c)ABC(d)試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。AB(e)FP=1FP=1C(f)左右=？FP=1FP=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力。FP=1(g)A(h)ABFP=1FP=1試確定指定廣義位移對應的單位廣義力?！?-5圖乘法及其應用

(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)在桿件數(shù)量較多的情況下要逐個計算定積分是件很麻煩的事,不方便。下面介紹計算位移的圖乘法：剛架與梁的位移計算公式為：1.圖乘法(對于等截面桿)(對于直桿)圖乘法求位移公式為:圖乘法的適用條件是什么?例.試求圖示梁B端轉角.解:MPM為什么彎矩圖在桿件同側圖乘結果為正?例.試求圖示結構B點豎向位移.解:MPM2.幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法Ch二次拋物線圖（

）圖BAq例:求圖示梁(EI=常數(shù),跨長為l)B截面轉角解:3.圖形分解求MPM求MPM當兩個圖形均為直線圖形時取那個圖形的面積均可MP求M取yc的圖形必須是直線不能是曲線或折線能用Mi圖面積乘MP圖豎標嗎?求MPM求MPM求C截面豎向位移MPM圖乘法小結1.圖乘法的應用條件：（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個M圖中應有一個是直線；（3）應取自直線圖中。2.若與在桿件的同側，取正值；反之，取負值。3.如圖形較復雜，可分解為簡單圖形.4.應用舉例例1.已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移。lqhqMP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖例2.已知EI為常數(shù)，求鉸C兩側截面相對轉角。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqllqMP例3.已知EI為常數(shù)，求A點豎向位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖qlllqMP例4.圖示梁EI為常數(shù)，求C點豎向位移。l/2ql/2MP例4.圖示梁EI為常數(shù)，求C點豎向位移。l/2ql/2MP例4.圖示梁EI為常數(shù)，求C點豎向位移。l/2ql/2MPlFPlFPl圖示結構EI為常數(shù)，求AB兩點(1)相對豎向位移,(2)相對水平位移,(3)相對轉角。MP練習1111對稱彎矩圖反對稱彎矩圖

對稱結構的對稱彎矩圖與其反對稱彎矩圖圖乘,結果為零.11作變形草圖FPFP11繪制變形圖時，應根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點的利用。如：求B點水平位移。練習解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MPll注意:各桿剛度可能不同

已知EI為常數(shù)，求C、D兩點相對水平位移,并畫出變形圖。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖lqlq

已知EI為常數(shù)，求B截面轉角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖M解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求B點豎向位移,EI=常數(shù)。lFPllMP1M練習解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求C、D兩點相對水平位移。lllMP已知：E、I、A為常數(shù)，求。ABCFPaD解：作荷載內(nèi)力圖和單位荷載內(nèi)力圖ABCFpaDABC1aD若把二力桿換成彈簧,該如何計算?B支座處為剛度k的彈簧，該如何計算C點豎向位移？ABCk=1FPABCk有彈簧支座的結構位移計算公式為:練習解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖求A點豎向位移,EI=常數(shù)。MPlllAkk§5-6靜定結構溫度變化時的位移計算

(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)變形體虛功方程為:δWe=δWi

δWe=1ΔkP其中:荷載作用求K點豎向位移回顧:微段彎曲We=Δkt溫度作用求K點豎向位移關鍵是計算微段的溫度變形微段的溫度變形分析設溫度沿桿件截面高度線性變化，桿軸溫度，上、下邊緣的溫差,線膨脹系數(shù)為。無剪應變?nèi)魺o剪應變溫度引起的位移計算公式:對等截面直桿:上式中的正、負號：若和使桿件的同一邊產(chǎn)生拉伸變形，其乘積為正。例：剛架施工時溫度為20，試求冬季外側溫度為-10，內(nèi)側溫度為0時A點的豎向位移。已知

l=4m,,各桿均為矩形截面桿，高度h=0.4m解:(1)計算軸線溫度和兩側溫度差構造虛擬狀態(tài)MFN(2)構造虛擬狀態(tài)(3)計算位移例：