哈工程3系自控原理Bchap4

第四章線性系統(tǒng)根軌跡法穩(wěn)定性動態(tài)性能即閉環(huán)極點閉環(huán)特征方程的根引言問題：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的根如何求??！閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和性能指標主要由閉環(huán)系統(tǒng)極點在復平面的位置決定，因此，分析和設計系統(tǒng)時確定出閉環(huán)極點位置是十分有意義的。根軌跡法：根據反饋控制系統(tǒng)的開、閉環(huán)傳遞函數之間的關系，直接由開環(huán)傳遞函數零、極點求出閉環(huán)極點（閉環(huán)特征根）。這給系統(tǒng)的分析和設計帶來了極大的方便。

一、根軌跡的基本概念【根軌跡】開環(huán)傳遞函數某一參數（如開環(huán)增益）從零變到無窮時，閉環(huán)傳遞函數特征方程式的根（閉環(huán)極點）在［s］平面上行走的軌跡。根軌跡是系統(tǒng)所有閉環(huán)極點的集合。例1：設有一單位負反饋的二階系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函為K－開環(huán)增益(1)將G(s)轉化為零極點形式：K*=2K－根軌跡增益(2)求開環(huán)極點：s1=0，s2=－2。(3)求閉環(huán)極點：

閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式：s1,s2與K*有關

K=0→∞,閉環(huán)極點s1,s2在在[s]平面上的變化規(guī)律如右圖所示。粗實線為系統(tǒng)的根軌跡,箭頭表示隨著K值的增加，根軌跡的變化趨勢。KK*s1s2000-20.250.5-0.3-1.70.51-1-112-1+j-1-j2.55-1+j2-1-j2∞∞-1+j∞-1-j∞二、性能分析1、當K＝0→∞，根軌跡都分布在s平面的左半部，所有K值都是穩(wěn)定的。2、分析高階系統(tǒng)的根軌跡時，根軌跡有可能越過虛軸進入s右半平面，3、根軌跡與虛軸交點處的K值就是臨界開環(huán)增益。穩(wěn)定性分析動態(tài)性能分析0<K<0.5，閉環(huán)極點位于實軸上，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為非周期單調上升過程；

K=0.5，兩個閉環(huán)實數極點重合，系統(tǒng)為臨界阻尼，單位階躍響應仍為非周期過程；但響應速度比0<K<0.5時快；

K>0.5時，共軛復數極點，欠阻尼系統(tǒng)，單位階躍響應為阻尼震蕩過程。穩(wěn)態(tài)性能分析開環(huán)系統(tǒng)在坐標原點有一個極點，一型系統(tǒng)；在斜坡輸入下，穩(wěn)態(tài)誤差＝1/K。

如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則由根軌跡圖可以確定閉環(huán)極點位置的容許范圍。

三、閉環(huán)零極點與開環(huán)零極點之間的關系

一般情況下，前向通路傳遞函數G(s)可表示為：

為前向通路增益；為前向通路根軌跡增益。反饋通路傳遞函數H(s)可表示為：

為反饋通路根軌跡增益。則系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數可表示為：稱為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。

對于有

m

個開環(huán)零點和n個開環(huán)極點的系統(tǒng)，必有mG+mH=m和nG+nH=n

。則：閉環(huán)零、極點與開環(huán)零、極點之間的關系3)閉環(huán)極點與開環(huán)零點、開環(huán)極點以及開環(huán)根軌跡增益K*

均有關。1)閉環(huán)系統(tǒng)的根軌跡增益等于開環(huán)系統(tǒng)前向通路根軌跡增益。對單位反饋系統(tǒng)而言，閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益就等于開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。2)閉環(huán)零點由開環(huán)前向通路零點與反饋通路極點組成。對于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點就是開環(huán)零點。（不隨K*變化，不必專門研究

）四、繪制根軌跡的依據

根軌跡方程1±G(s)H(s)＝0閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程：G(s)——反饋系統(tǒng)的前向通道傳遞函數；H(s)——反饋系統(tǒng)主反饋通道傳遞函數；G(s)H(s)——反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數?！埃必摲答佅到y(tǒng)；“－”正反饋系統(tǒng)；常規(guī)根軌跡:根軌跡增益變化所對應的軌跡。廣義根軌跡:其他參數變化所對應的軌跡。繪制根軌跡的依據:寫成復平面內指數形式：s所滿足的條件為：幅值條件：|G(s)H(s)|=1聯(lián)解幅值條件和相角條件方程求解根軌跡方程。G(s)H(s)＝－1|G(s)H(s)|ej∠G(s)H(s)=1×ej(2k+1)

k=0,1,2…相角條件：∠G(s)H(s)=(2k+1)k=0,1,2…將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數寫成如下零、極點標準形式：此時，幅值條件相角條件式中――可變參數，稱參變量，根軌跡增益。pi――系統(tǒng)的開環(huán)極點

zi――系統(tǒng)的開環(huán)零點幅值方程不但與開環(huán)零、極點有關，還與開環(huán)根軌跡增益有關；而相角方程只與開環(huán)零、極點有關。相角方程是決定系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡的充分必要條件。注意：【結論】凡是同時滿足相角條件和幅值條件的復數s＝閉環(huán)特征方程式的根；根軌跡包含參變量K在0→∞范圍內變化時特征方程的全部根，所以在s平面上只要能滿足相角條件的點si，都是對應一定參變量Ki的系統(tǒng)特征方程的根。

繪制根軌跡的依據（充分必要條件）：

在s平面上，凡能滿足相角條件，就是閉環(huán)特征方程式的根。例1

S213例2單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數

一個開環(huán)極點

P1=0

負實軸上點s1s2=-1-j負實軸上的點都是根軌跡上的點！

負實軸外的點都不是根軌跡上的點！例3設有一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數為:1)利用幅角條件-P1-P3-P2-Z1S126O45O79O120O解:滿足幅角條件的點都是根軌跡上的點,所以檢驗點s1=-1.5+j2.5是否在根軌跡上;

并確定與其相對應

值.

2)由幅值條件求s1相對應的

值=12.15五、常規(guī)根軌跡的繪制法則繪制根軌跡的基本規(guī)則根軌跡方程：

G(s)H(s)＝－1充分必要條件：滿足相角條件幅值條件：相角條件：<規(guī)則一>根軌跡的分支數分支數=D(s)的階數=Max(n,m)=特征根的個數n條分支閉環(huán)特征方程根的數目就等于m和n中的大者，所以根軌跡的分支數必與開環(huán)有限零、極點數中的大者相同。<規(guī)則二>根軌跡的連續(xù)性和對稱性根軌跡是連續(xù)的：參變量k從0到∞連續(xù)變化；特征方程的某一系數連續(xù)變化；特征方程的根連續(xù)變化。根軌跡對稱于實軸：特征方程的系數是實數閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根：實數＋共軛復數根根軌跡對稱于實軸<規(guī)則三>根軌跡的起點和終點起點：起始于開環(huán)極點閉環(huán)極點＝開環(huán)極點終點：終止于開環(huán)零點閉環(huán)極點＝開環(huán)零點如果m<n,一共有n條根軌跡，其中：m條趨向于開環(huán)零點n-m條根軌跡趨向于無窮遠處。<規(guī)則四>根軌跡的漸近線隨參變量K*＝0→∞,n-m條根軌跡趨向于無窮遠處。漸近線：

――n-m條根軌跡趨向于無窮遠處的方位。漸近線與實軸交點――漸近線與實軸夾角――(k=0,1,2,…，n-m-1)可以證明：所有的漸進線共同交實軸于一點(σa，j0)約定：相角逆時針為正，順時針為負。例：1零極點：n＝4p1=0,p2=-4,p3,4＝－1±jm＝1z1=-12四條根軌跡3漸近線：n-m=3條k=060°k=1180°k=2300°或者-60°<規(guī)則五>實軸上的根軌跡確定實軸上那一段屬于根軌跡上的點1零極點：n＝4p1=0,p2=-4,p3,4＝－1±jm＝1z1=-12四條根軌跡3漸近線：n-m=3條k=060°k=1180°k=2300°或者-60°對于S1：s1是根軌跡實軸上的點。對于S2：s2不是根軌跡實軸上的點。結論：

共軛復數開環(huán)零極點對確定實軸上的根軌跡無影響。規(guī)則五：在實軸上任取一點，若在其右側的開環(huán)實極點與開環(huán)實零點的總數為奇數，則該點所在線段構成實軸上的根軌跡。例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，試確定實軸上的根軌跡。[-2，-1]右側實零、極點數=3[-6，-4]右側實零、極點數=7<規(guī)則六>根軌跡的分離點與分離角

分離點：根軌跡分支離開實軸進入復平面時的點。

會合點：根軌跡分支由復平面進入實軸時的點。分離點或會合點==特征方程的實數重根。分離角為：分離點的坐標d是下列方程的解：顯然，當l＝2時，分離角必為直角。會合點Convergingpoint分離點Breakawaypoint一般情況下，兩個極點間的根軌跡上必有一個分離點，兩個零點間的根軌跡上必有一個會合點。在分離點或會合點處，根軌跡分支與實軸垂直。根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點之間，其中一個可以是無限極點，則在這兩個極點之間會有一個分離點；根軌跡位于實軸上兩個相鄰的開環(huán)零點之間，其中一個可以是無限零點，則在這兩個零點之間會有一個會合點?！咎攸c】例1sys=tf([14],[120]);rlocus(sys)例2Z1=-2P1=-1+jP2=-1-jsys=tf([12],[122]);pzmap(sys)rlocus(sys)<說明>由兩個極點（實數極點或復數極點）和一個有限零點組成的開環(huán)系統(tǒng)，只要有限零點沒有位于兩個實數極點之間，閉環(huán)根軌跡的復數部分是以有限零點為圓心，以有限零點到分離點的距離為半徑的圓。例3<規(guī)則七>根軌跡的起始角與終止角起始角：當開環(huán)零點和開環(huán)極點處于復平面時，根軌跡離開開環(huán)復極點處的切線方向與實軸正方向的夾角，以標記。終止角：根軌跡進入開環(huán)復零點處的切線方向與實軸正方向的夾角，以標記在無限靠近待求起始角(或終止角)的復數極點pi(或復數零點zj)的根軌跡上取一點s1。根據s1滿足的相角條件，有：得到：<注意：>

開環(huán)復極點或復零點都是共軛，所以入射角、出射角都有兩個±θ。例4<規(guī)則八>根軌跡與虛軸的交點代入到閉環(huán)特征方程式D(s)中令臨界穩(wěn)定點根軌跡與虛軸相交，即閉環(huán)極點位于虛軸上，反饋系統(tǒng)特征方程有純虛根。方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：將代入得：當當[例]開環(huán)傳遞函數為：，試求根軌跡與虛軸的交點和。方法二：用勞斯穩(wěn)定判據確定的值。勞斯陣列為：

勞斯陣列中某一行全為零時，特征方程可出現共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二。共軛虛根為輔助方程的根。<規(guī)則九>閉環(huán)極點的和與積閉環(huán)極點的特征方程式：其根為s1,s2,s3,…sn（1）（2）比較（1）和（2），得到k＝0→∞變化時，閉環(huán)極點隨之變化，但是他們的和不變；如果一部分根軌跡分支向左移動，那么另一部分必然向右移動?！菊f明】：

對于穩(wěn)定的反饋系統(tǒng)，根據勞斯判據，代入上式，求得系統(tǒng)的第三個閉環(huán)極點

為將已知對應的參變量的值：例已知兩根求另一根。<規(guī)則十>開環(huán)增益的求取根軌跡分支上的某點sl，求對應的根軌跡增益kl幅值條件：繪制根軌跡的十個規(guī)則：<規(guī)則一>根軌跡的分支數分支數＝特征方程的階數n＝閉環(huán)極點數目

＝開環(huán)極點數目<規(guī)則二>根軌跡的連續(xù)性和對稱性根軌跡是連續(xù)的，并對稱于實軸<規(guī)則三>根軌跡的起點和終點起始于開環(huán)極點終止于開環(huán)零點另外，n-m條根軌跡趨向于無窮遠處。<規(guī)則四>根軌跡的漸近線漸近線與實軸交點――漸近線與實軸夾角――(k=0,1,2,…，n-m-1)<規(guī)則五>實軸上的根軌跡在實鈾上任取一點，若在其右側的開環(huán)實極點與開環(huán)實零點的總數為奇數，則該點所在線段構成實鈾上的根軌跡。<規(guī)則六>根軌跡與實軸的交點

分離點：根軌跡分支離開實軸進入復平面時的點。

會合點：根軌跡分支由復平面進入實軸時的點。<規(guī)則七>根軌跡的起始角與終止角起始角：當開環(huán)零點和開環(huán)極點處于復平面時，根軌跡離開開環(huán)復極點處的切線方向與實軸正方向的夾角，以標記。終止角：根軌跡進入開環(huán)復零點處的切線方向與實軸正方向的夾角，以標記臨界穩(wěn)定點<規(guī)則八>根軌跡與虛軸的交點<規(guī)則九