浙江省溫州市2023屆高三2月高考適應性測試數(shù)學試題(解析版)

溫州市2023屆高三2月高考適應性測試數(shù)學試題一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知i是虛數(shù)單位，則等于（）A.1iB.1iC.1iD.1＋i【答案】B【解析】【分析】直接由復數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡得答案．【詳解】，故選：B．【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎題．2.已知集合A＝{1，2，－1}，集合B＝{y|y＝x2，x∈A}，則A∪B＝（）A.1B.1，2，4C.1，1，2，4D.1，4【答案】C【解析】【分析】將A中的元素代入集合B中的等式中求出y的值，確定出B，求出A與B的并集即可．【詳解】當x＝1時，y＝1；當x＝2時，y＝4；當x時，y，∴B＝{1，4}，∴A∪B＝1，1，2，4．故選：C．【點睛】本題考查了并集的定義及其運算，用列舉法表示集合時，注意集合中元素的互異性．3.已知a，b都是實數(shù)，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意構造指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性結合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】對于“”，考查函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增，所以“”與“a>b”等價；同樣對于“”，考查函數(shù)y=在R上單調(diào)遞增，所以“”與“a>b”也等價；所以“”是“”的充要條件，故選C.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關鍵．4.雙曲線的一個頂點坐標是（）A.(2，0)B.(－，0)C.(0，)D.(0，)【答案】D【解析】【分析】先將雙曲線方程化為標準方程，即可得到頂點坐標.【詳解】雙曲線化為標準方程為：，∴=，且實軸在y軸上，∴頂點坐標是（），故選D.【點睛】本題考查雙曲線的標準方程，以及雙曲線的簡單性質的應用，比較基礎．5.以下不等式組表示的平面區(qū)域是三角形的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由選項依次作出不等式組對應的平面區(qū)域，即可得結論.【詳解】A選項：表示的區(qū)域如圖：不滿足題意；B選項：表示的區(qū)域如圖：不滿足題意；C選項：表示的區(qū)域如圖：不滿足題意；D選項：表示的區(qū)域如圖：滿足題意；故選D.【點睛】本題主要考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域的知識，屬于基礎題.6.隨機變量X的分布列如下表所示，X024Pa則DX()＝（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由分布列的性質解出a，再利用方差公式求方差即可．【詳解】由題意，，∴a＝，∴E(x)=0×+2×+4×=2,∴D(X)＝（0﹣2）2×+（2﹣2）2×+（4﹣2）2×＝2,故選B.【點睛】本題考查分布列的性質、期望和方差的計算，考查基礎知識和基本運算，屬于基礎題．7.在平面上，，是方向相反的單位向量，||＝2，()?()＝0，則||的最大值為（）A.1B.2C.2D.3【答案】D【解析】【分析】將已知數(shù)量積運算得到||，由向量模的幾何意義結合圖形可求得||的最大值.【詳解】由題意()?()＝0，即-（=0，又，是方向相反的單位向量，所以有，即||＝1，記,則A,B兩點的軌跡分別是以原點為圓心，以2和1為半徑的圓上，當反向共線時，如圖：||的最大值為1+2=3，故選D.【點睛】本題考查了向量數(shù)量積的運算，考查了向量模的幾何意義的應用，考查了數(shù)形結合思想，屬于中檔題.8.已知實數(shù)a0，b0，a1，且滿足lnb＝，則下列判斷正確的是（）A.abB.abC.b1D.b1【答案】C【解析】【分析】通過構造函數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性及值域對A,B選項取對數(shù)進行作差比較，而對C，D用換底公式變形后進行判斷.【詳解】令函數(shù)f(x)=-2lnx，則，所以f(x)單調(diào)遞增，又f(1)=0，可得f(x)<0在（0，1）恒成立，f(x)>0在（1，）恒成立，取，則f()==lnb，當時，f()<0，即lnb<0,b<a；當時，f()>0，即lnb>0,b>a；故A，B不一定成立；又當時，lnb<0，所以，由換底公式得到b1；當時，lnb>0,所以,得到b1.故選C.【點睛】本題考查了構造函數(shù)法，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、值域問題，涉及到對數(shù)中的換底公式運算，屬于有難度的題型.9.在正四面體ABCD中，P，Q分別是棱AB，CD的中點，E，F(xiàn)分別是直線AB，CD上的動點，M是EF的中點，則能使點M的軌跡是圓的條件是（）A.PE＋QF＝2B.PE?QF＝2C.PE＝2QFD.PE2＋QF2＝2【答案】D【解析】【分析】先由對稱性找到PQ、EF的中點在中截面GHLK上運動，利用向量的加減運算，得到，結合正四面體的特征將等式平方得到4，由圓的定義得到結論.【詳解】如圖：取BC、BD、AC、AD的中點為G、H、K、L，因為P、Q是定點，所以PQ的中點O為定點，由對稱性可知，PQ、EF的中點在中截面GHLK上運動，∵+=+,∴，又在正四面體中，對棱垂直，∴PEQF，∴，∴4=若點M的軌跡是以O為圓心的圓，則為定值，只有D符合題意，故選D.【點睛】本題考查了向量的三角形法則的應用，考查了曲線的軌跡的求法，屬于較難題型.10.已知數(shù)列滿足0，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先取特殊值進行排除，再利用遞推關系計算前6項，進行猜測結論并證明.【詳解】由,取特殊值：，，得：=，=，排除C、D；==，=>；且，，均小于，猜測，下面由圖說明：當時，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，單調(diào)遞增，此時不動點為，當n時，，則有，.當時，由迭代蛛網(wǎng)圖：可得，當n分別為奇數(shù)、偶數(shù)時，單調(diào)遞增，且都趨向于不動點，由圖像得，，綜上可得，故選A.【點睛】本題考查了數(shù)列的遞推關系的應用，涉及三角函數(shù)的運算，考查了由特殊到一般的思維方法，考查了分類討論與數(shù)形結合思想，屬于難題.二、填空題．11.我國古代三國時期吳國的數(shù)學家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖所示的“勾股圓方圖”，四個相同的直角三角形與邊長為1的小正方形拼成一個邊長為5的大正方形，若直角三角形的直角邊分別記為a，b，有，則a＋b＝__，其中直角三角形的較小的銳角的正切值為___．【答案】(1).7(2).【解析】【分析】由條件直接運算即可.【詳解】由得到，又a，b均為正數(shù)，所以a＋b＝7，不妨設a<b，則a=3,b=4，則較小的銳角的正切值為.故答案為7，.【點睛】本題考查了一元二次方程組的解法，考查了直角三角形中正切函數(shù)的定義，屬于基礎題.12.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）等于_____，表面積（單位：cm2）等于____．【答案】(1).3(2).【解析】【分析】首先把三視圖轉換為幾何體，再利用幾何體的體積公式與表面積公式求出結果．【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體為以等腰梯形ABCD與等腰梯形為底面，高為1的直四棱柱，如圖：由柱體體積公式得：V．又等腰梯形ABCD與等腰梯形全等，面積和為6，矩形DC的面積為21=2，矩形的面積為41=4，矩形與矩形DA的面積相等，又由正視圖可得BC=，所以矩形與矩形DA的面積和為2=2，所以表面積為6+2+4+2=12+2，故答案為3，.【點睛】本題考查了由三視圖還原幾何體，考查了直棱柱的體積公式及表面積公式，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．13.若，則_____，_____【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用賦值法求第一個問題，觀察可得，再利用展開式的通項公式求得第二個問題的結果.【詳解】令x＝0，得0=；又=,將x+1視為一個整體，則為二項式展開式中的系數(shù)，展開式的通項公式為，令r=1，則的系數(shù)的值為=-6,故答案為0，-6.【點睛】本題考查了二項式展開式定理的應用問題，考查了展開式中的通項公式的應用及賦值法，是基礎題．14.在ABC中，C＝45°，AB＝6，D為BC邊上的點，且AD＝5，BD＝3，則cosB＝_____，AC＝_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用余弦定理求出cosB，可得sinB，在△ABC中利用正弦定理可得AC．【詳解】∵AB＝6，AD＝5，BD＝3，在△ABD中，余弦定理cosB，∴sinB．正弦定理：，可得：AC．故答案為：，．【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，是中檔題，解題時要注意合理選擇正余弦定理，屬于中檔題．15.已知某超市為顧客提供四種結賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡、若顧客甲只帶了現(xiàn)金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中的三種結賬方式，那么他們結賬方式的可能情況有_____種．【答案】20【解析】【分析】由題意，根據(jù)乙的支付方式進行分類，根據(jù)分類與分步計數(shù)原理即可求出．【詳解】當乙選擇支付寶時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，而乙選擇支付寶時，丙丁也可以都選微信，或者其中一人選擇微信，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，此時共有5+5=10種，當乙選擇微信時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，而乙選擇微信時，丙丁也可以都選支付寶，或者其中一人選擇支付寶，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1+C21C21＝5，此時共有5+5=10種，綜上故有10+10＝20種，故答案為20.【點睛】本題考查了分步計數(shù)原理和分類計數(shù)原理，考查了轉化思想，屬于難題.16.已知F是橢圓的右焦點，直線交橢圓于A、B兩點，若cosAFB，則橢圓C的離心率是_____．【答案】【解析】【分析】設AAF=n，由對稱性結合余弦定理在中，得到mn=3，聯(lián)立直線與橢圓，求得弦長，在中，由余弦定理得到-，可得a，b的關系，即可計算e.【詳解】設橢圓的左焦點為，由對稱性可知，AF=cosAFB，設AAF=n，在中，由余弦定理可得=+AF，又m+n=2a，所以-4，即mn=3,聯(lián)立直線與橢圓，得A（）,B（）,則=；又在中，由余弦定理可得=+AFB=，得到-，所以有=-，即=5，=4，所以e=.故答案為.【點睛】本題考查了橢圓的定義及幾何性質的應用，考查了焦點三角形問題，涉及余弦定理，考查了運算能力，屬于中檔題.17.已知，若對任意的aR，存在[0，2]，使得成立，則實數(shù)k的最大值是_____【答案】【解析】【分析】討論f（x）在[0，2]上的單調(diào)性，求出在[0，2]的最大值，即可得出m的取值范圍．【詳解】當0時，即a≤0時，在[0，2]恒成立，∴，此時在[0，2]上單調(diào)遞增，∴maxf（x）max＝f（2）＝22﹣2a＝4﹣2a，∴k≤4-2a對任意的a≤0成立，∴k≤4；當2時，即a≥4，在[0，2]恒成立，∴，此時在[0，2]上單調(diào)遞減，∴maxf（x）min＝-f（2）＝-22+2a＝-4+2a，∴k≤-4+2a對任意的a≥4成立，∴k≤4；當0時，即0＜a≤2時，此時在[0，]上單調(diào)遞減，在[，2]上單調(diào)遞增，且在[0，a]恒成立，在[a，2]恒成立，∴max又-=+2a-4≥0時，即時，max，∴k≤對任意的成立，∴k≤；時，max，∴k≤對任意的成立，∴k≤；當2時，即2＜a＜4時，f（x）max＝＝，∴k≤對任意的2＜a＜4成立，∴k≤1；綜上所述：k≤；故答案為.【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質的應用問題，也考查了恒成立問題與存在性問題，是綜合性題目．三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.如圖，在單位圓上，AOB＝()，BOC＝，且△AOC的面積等于．（I）求sin的值；（II）求2cos()sin)【答案】(1)sin(2)【解析】【分析】由題意先求得，再利用兩角差的正弦公式求得結果．【詳解】（I），∴，∴，=（II）∵=，∴==.【點睛】本題主要考查誘導公式及同角基本關系式的應用，考查了兩角差的正弦公式、二倍角公式，屬于中檔題．19.在三棱錐DABC中，ADDC，ACCB，AB＝2AD＝2DC＝2，且平面ABD平面BCD，E為AC的中點．（I）證明：ADBC；（II）求直線DE與平面ABD所成的角的正弦值．【答案】（I）見證明；（II）【解析】【分析】（I）先作，由面面垂直的性質定理可證線面垂直，再結合條件證得面，得到結論.（II）法一：根據(jù)（1）作出過E且與CH平行的線段，可得到線面角，再在直角三角形中求解即可.法二：以D為坐標原點建立空間直角坐標系，求出和平面ABD的法向量，則|cos|即為所求．【詳解】（I）過作，（其中與都不重合，否則，若與重合，則與矛盾，若與重合，則，與矛盾）面面面，又面（II）法一：作，則，由（1）知：面即與面所成角，且法二：由（I）知平面，，以為原點，分別以射線為軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標系由題意知：∴，∵平面的法向量為，設與面所成角為∴【點睛】本題考查了面面垂直的性質定理及線面垂直的判定與性質的應用，考查了空間角的計算，空間向量的應用，屬于中檔題．20.設Sn為數(shù)列an的前n項和，且S2＝8，．（I）求a1，a2并證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列；（II）若不等式對任意正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（I），，見證明（II）【解析】【分析】（I）給n賦值可求得及；利用與的關系將n換為n+1，作差可得，由等差中項的定義證得結論.（II）將分離，構造新數(shù)列，利用的正負找到最大項，可得所求結果.【詳解】（I），，得.，則，兩式相減得，即①②②①得，即，故數(shù)列為等差數(shù)列.（II）由（I）可得，由得對任意正整數(shù)恒成立，，令，，，.【點睛】本題考查等差數(shù)列的證明及單調(diào)性問題，考查數(shù)列的最大項的求法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．21.如圖，A為橢圓的下頂點，過A的直線l交拋物線于B、C兩點，C是AB的中點．（I）求證：點C的縱坐標是定值；（II）過點C作與直線l傾斜角互補的直線l交橢圓于M、N兩點，求p的值，使得△BMN的面積最大．【答案】（Ⅰ）見證明；（II）見解析【解析】【分析】（I）根據(jù)點在拋物線上設出B的坐標，可表示出C的坐標，代入拋物線方程求得縱坐標.（II）先利用條件得到，聯(lián)立直線與橢圓的方程，求得弦長及到的距離，寫出面積的表達式，利用基本不等式求得最值及相應的參數(shù)即可.【詳解】（Ⅰ）易知，不妨設，則，代入拋物線方程得：，得：，為定值.（Ⅱ）點是中點，直線的斜率，直線的斜率，直線的方程：，即，不妨記，則：代入橢圓方程整理得：，設，則，，，到的距離，所以.取等號時，，得，所以，.【點睛】本題考查拋物線和橢圓的定義、方程和性質，主要考查了直線和橢圓的位置關系，注