《余弦定理》設(shè)計(jì)

《余弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.掌握余弦定理及其推論．2.掌握余弦定理的綜合應(yīng)用．3.借助余弦定理的推導(dǎo)過程，提升邏輯推理能力．【教學(xué)重點(diǎn)】掌握余弦定理及其推論．【教學(xué)難點(diǎn)】余弦定理的綜合應(yīng)用．【教學(xué)過程】新知初探1．余弦定理文字表述三角形中任何一邊的平方等于_其他_兩邊的平方和減去這兩邊與它們__夾角的余弦的積的兩倍公式表達(dá)a2＝_b2＋c2－2bccosA，b2＝_a2＋c2－2accosBc2＝_a2＋b2－2abcosC推論cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2．余弦定理及其變形的應(yīng)用(1)利用余弦定理的變形判定角在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為_銳角．(2)應(yīng)用余弦定理我們可以解決兩類解三角形問題．①已知三邊，求三角②已知_兩邊___和它們的_夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角．思考1：在△ABC中，若a2<b2＋c2，則△ABC是銳角三角形嗎？[提示]不一定．因?yàn)椤鰽BC中a不一定是最大邊，所以△ABC不一定是銳角三角形．思考2：已知三角形的兩邊及其夾角，三角形的其他元素是否唯一確定？[提示]由余弦定理可知：不妨設(shè)a，b邊和其夾角C已知，則c2＝a2＋b2－2abcosC，c唯一，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，因?yàn)?<B<π，所以B唯一，從而A也唯一．所以三角形其他元素唯一確定．3．解三角形(1)一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C_和它們的對(duì)邊a,b,c叫做三角形的元素．(2)已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過程叫做解三角形．小試牛刀1.已知在△ABC中,a＝1，b＝2,C＝60°則c等于()\r(3)B．eq\r(2)\r(5)D．5A解析：由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos60°＝3，∴c＝eq\r(3)，故選A.2.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a＝1，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(3)，則B＝______.解析：由余弦定理，得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋3－7,2×1×\r(3))＝－eq\f(\r(3),2)，∴B＝150°.3.在△ABC中，a2－c2＋b2＝ab，則角C的大小為___________．解析：由余弦定理得，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(ab,2ab)＝eq\f(1,2).所以C＝60°.4.若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為解析：由(a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcosC＝2abcos60°＝ab，則ab＋2ab＝4，∴ab＝eq\f(4,3).例題講授已知兩邊夾角解三角形【例1】在△ABC中，已知a＝2eq\r(2)，b＝2eq\r(3)，C＝15°，解此三角形．[解]∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(2eq\r(2))2＋(2eq\r(3))2－2×2eq\r(2)×2eq\r(3)×cos(45°－30°)＝8－4eq\r(3)＝(eq\r(6)－eq\r(2))2，∴c＝eq\r(6)－eq\r(2).由余弦定理的推論得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f((2\r(3))2＋(\r(6)－\r(2))2－(2\r(2))2,2×2\r(3)×(\r(6)－\r(2)))＝eq\f(\r(2),2).∵0°<A<180°，∴A＝45°，從而B＝120°.方法總結(jié)已知三角形的兩邊及其夾角解三角形的方法是可以利用余弦定理求出第三邊，再利用余弦定理的推論求出其余角；當(dāng)堂練習(xí)1在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，則c等于解析：由cos(A＋B)＝eq\f(1,3)，∴cosC＝－eq\f(1,3)，∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝9＋4－2×3×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝17，∴c＝eq\r(17).已知兩邊及一邊所對(duì)角解三角形【例2】在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq\r(3),B＝30°,求A、C和a.[解]由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3eq\r(3))2－2a×3eq\r(3)×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.當(dāng)a＝3時(shí)，A＝30°，∴C＝120°.當(dāng)a＝6時(shí)，，∴A＝90°，∴C＝60°.方法總結(jié)已知兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形可根據(jù)余弦定理列一元二次方程求出第三邊(注意邊的取舍)，再利用余弦定理求其他的一個(gè)角；再利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.當(dāng)堂練習(xí)1△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c若B＝60°，c＝2，b＝2eq\r(3)，則a＝_____________.解析：根據(jù)余弦定理b2＝c2＋a2－2accosB，∵B＝60°，c＝2，b＝2eq\r(3)，∴a＝4或a＝－2(舍)．已知三邊解三角形【例3】已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC的各角的大?。舅悸伏c(diǎn)撥】已知三角形三邊的比，可設(shè)出三邊的長(zhǎng)，從而問題轉(zhuǎn)化為已知三邊求三角，可利用余弦定理求解．解：∵a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)．由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°.∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4k2＋\r(3)＋12k2－6k2,2×2k×\r(3)＋1k)＝eq\f(1,2)，∴B＝60°.∴C＝180°－A－B＝180°－45°－60°＝75°.方法總結(jié)1．已知三邊求角的基本思路是：利用余弦定理的推論求出相應(yīng)角的余弦值，值為正，角為銳角；值為負(fù)，角為鈍角，其思路清晰，結(jié)果唯一．2．若已知三角形的三邊的關(guān)系或比例關(guān)系，常根據(jù)邊的關(guān)系直接代入化簡(jiǎn)或利用比例性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．當(dāng)堂練習(xí)3已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC.解：∵a>c>b，∴A為最大角．由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(32＋52－72,2×3×5)＝－eq\f(1,2).又∵0°<A<180°，∴A＝120°，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).由正弦定理，得sinC＝eq\f(c·sinA,a)＝eq\f(5,7)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),14).判斷三角形形狀【例4】在△ABC中，若(a－ccosB)b＝(b－ccosA)a，判斷△ABC的形狀．[解]由余弦定理知，原等式可化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理，得(a2＋b2－c2)(a2－b2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2，故三角形為等腰三角形或直角三角形．方法總結(jié)(1)判斷三角形的形狀，可以從考察三邊的關(guān)系入手，即把條件中的“邊角關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“邊邊關(guān)系”進(jìn)行判斷；也可以從三個(gè)角的關(guān)系入手，即把條件轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系，結(jié)合內(nèi)角和定理作出判斷．(2)判斷三角形形狀時(shí)要注意“等腰直角三角形”與“等腰或直角三角形”的區(qū)別．當(dāng)堂練習(xí)4在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，試判斷△ABC的形狀.解：∵b2＝ac，B＝