新疆烏魯木齊市2023屆高三一模試卷(理科)數(shù)學試題(有答案)

2023年新疆烏魯木齊市高考數(shù)學一模試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則集合（）A.B.C.D.2.已知復數(shù)（是虛數(shù)單位），則（）A.B.C.D.3.已知命題，，則（）A.，B.，C.，D.，4.如圖的程序框圖，如果輸入三個實數(shù)，，，要求輸出這三個數(shù)中最大的數(shù)，那么在空白的判斷框中，應該填入下面四個選項中的（）A.B.C.D.5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為（）A.B.C.D.6.某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A.B.C.D.7.設，滿足，則（）A.有最小值，最大值B.有最小值，無最大值C.有最小值，無最大值D.既無最小值，也無最大值8.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為，若是與的等比中項，，則（）A.B.C.D.9.《九章算術》中有如下問題：“今有勾五步，股一十二步，問勾中容圓，徑幾何？”其大意：“已知直角三角形兩直角邊分別為步和步，問其內(nèi)切圓的直徑為多少步？”現(xiàn)若向此三角形內(nèi)隨機投一粒豆子，則豆子落在其內(nèi)切圓外的概率是（）A.B.C.D.10.設定義在上的奇函數(shù)滿足（），則（）A.B.C.D.11.已知三棱錐中，，，兩兩垂直，且長度相等.若點，，，都在半徑為的球面上，則球心到平面的距離為（）A.B.C.D.12.函數(shù)，，若對恒成立，則實數(shù)的范圍是（）A.B.C.D.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13.已知向量，，，若，則.14.將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象對應函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.15.已知拋物線的準線與圓相切，則的值為.16.設是數(shù)列的前項和，若，則.三、解答題：第17～21題每題12分，解答應在答卷的相應各題中寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，角，，的對邊分別是，，，且，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.18.某調(diào)查機構對某校學生做了一個是否同意生“二孩”抽樣調(diào)查，該調(diào)查機構從該校隨機抽查了名不同性別的學生，調(diào)查統(tǒng)計他們是同意父母生“二孩”還是反對父母生“二孩”，現(xiàn)已得知人中同意父母生“二孩”占，統(tǒng)計情況如表：同意不同意合計男生女生合計（1）求，的值，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否有的把握認為是否同意父母生“二孩”與性別有關？請說明理由；（2）將上述調(diào)查所得的頻率視為概率，現(xiàn)在從所有學生中，采用隨機抽樣的方法抽取位學生進行長期跟蹤調(diào)查，記被抽取的位學生中持“同意”態(tài)度的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望.附：19.如圖，在正三棱柱中，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）點在上，若，求二面角的余弦值.20.橢圓的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，過的長軸，短軸端點的一條直線方程是.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點作直線交橢圓于，兩點，若點關于軸的對稱點為，證明直線過定點.21.已知函數(shù).（Ⅰ）若曲線在點處的切線與直線平行，求的值；（Ⅱ）是否存在使得僅有一個極值點？若存在求出的取值范圍，若不存在，請說明理由.選考題：共10分，請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.22.（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，圓的極坐標方程為.（Ⅰ）求圓的直角坐標方程；（Ⅱ）若直線與圓交于，兩點，點，且，求的值.23.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的值域；（Ⅱ）若對，恒成立，求的取值范圍.參考答案與試題解析一、選擇題1.【分析】進行并集的運算即可.【解答】解：，；.故選：D.【點評】考查描述法的定義，以及并集的運算.2.【分析】把代入，再由復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【解答】解：，故選：B.【點評】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，是基礎的計算題.3.【分析】本題中所給的命題是一個全稱命題，故其否定是一個特稱命題，將量詞改為存在量詞，否定結論即可【解答】解：命題，，是一個全稱命題，，故選：D.【點評】本題考查了“含有量詞的命題的否定”，屬于基礎題.解決的關鍵是看準量詞的形式，根據(jù)公式合理更改，同時注意符號的書寫.4.【分析】根據(jù)流程圖所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語句的作用，由于該題的目的是選擇最大數(shù)，因此根據(jù)第一個選擇框作用是比較與的大小，故第二個選擇框的作用應該是比較與的大小，而且條件成立時，保存最大值的變量.【解答】解：由流程圖可知：第一個選擇框作用是比較與的大小，故第二個選擇框的作用應該是比較與的大小，條件成立時，保存最大值的變量故選：A.【點評】本題主要考察了程序框圖和算法，是一種常見的題型，屬于基礎題.5.【分析】根據(jù)題意，由雙曲線的標準方程可得雙曲線的焦點坐標以及漸近線方程，由點到直線的距離公式計算可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為，其焦點坐標為，其漸近線方程為；，即，則其焦點到漸近線的距離；故選：D.【點評】本題考查雙曲線的幾何性質，關鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點坐標.6.【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，利用直觀圖即可求出對應的體積.【解答】解：由三視圖可知該幾何體的直觀圖是正方體去掉一個棱長為的正方體，正方體的邊長為，三棱錐的三個側棱長為，則該幾何體的體積，故選：C.【點評】本題主要考查三視圖的應用，利用三視圖還原成直觀圖是解決本題的關鍵.7.【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，求目標函數(shù)的最小值.【解答】解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）.由得，平移直線，由圖象可知當直線經(jīng)過點時，直線的截距最小，此時最小.由，解得，代入目標函數(shù)得.即目標函數(shù)的最小值為.無最大.故選：B.【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法.8.【分析】利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式即可得出.【解答】解：設等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項，，，，聯(lián)立解得：，.則.故選：C.【點評】本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.9.【分析】求出內(nèi)切圓半徑，計算內(nèi)切圓和三角形的面積，從而得出答案.【解答】解：直角三角形的斜邊長為，設內(nèi)切圓的半徑為，則，解得.內(nèi)切圓的面積為，豆子落在內(nèi)切圓外部的概率故選：C.【點評】本題考查了幾何概型的概率計算，屬于基礎題.10.【分析】根據(jù)條件可得出，并得出在，上都是增函數(shù)，從而可討論與的關系：時，顯然滿足；時，可得出，從而得出；時，可得出，從而得出，最后即可得出不等式的解集.【解答】解：是上的奇函數(shù)，且時，；，且在，上都單調(diào)遞增；①時，滿足；②時，由得，；；；③時，由得，；；；；綜上得，的解集為.故選：D.【點評】考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，以及增函數(shù)的定義，清楚的單調(diào)性.11.【分析】先利用正三棱錐的特點，將球的內(nèi)接三棱錐問題轉化為球的內(nèi)接正方體問題，從而將所求距離轉化為正方體中，中心到截面的距離問題，利用等體積法可實現(xiàn)此計算.【解答】解：三棱錐中，，，兩兩垂直，且長度相等，此三棱錐的外接球即以，，為三邊的正方體的外接球，球的半徑為，正方體的邊長為，即，球心到截面的距離即正方體中心到截面的距離，設到截面的距離為，則正三棱錐的體積，為邊長為的正三角形，，，∴球心（即正方體中心）到截面的距離為.故選：C.【點評】本題主要考球的內(nèi)接三棱錐和內(nèi)接正方體間的關系及其相互轉化，棱柱的幾何特征，球的幾何特征，點到面的距離問題的解決技巧，有一定難度，屬中檔題.12.【分析】利用導數(shù)可得在上的取值范圍為，其中，令換元，把對恒成立轉化為對恒成立，分離參數(shù)后利用函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最小值得答案.【解答】解：，，，，在上有零點，又在上成立，在上有唯一零點，設為，則當時，，當時，，在上有最大值，又，，令，要使對恒成立，則對恒成立，即對恒成立，分離，得，函數(shù)的對稱軸為，又，，則.則實數(shù)的范圍是.故選：A.【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，訓練了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用分離變量法求解證明取值范圍問題，屬中檔題.二、填空題13.【分析】由已知求得的坐標，再由向量共線的坐標運算列式求解值.【解答】解：，，，又，且，，即.故答案為：.【點評】本題考查向量的坐標加法運算，考查向量故選的坐標表示，是基礎題.14.【分析】利用兩角和差的三角公式化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性得出結論.【解答】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位后，得到的圖象對應函數(shù)的解析式為，令，求得，可得所得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故答案為：，.【點評】本題主要考查兩角和差的三角公式，余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.15.【分析】先表示出準線方程，然后拋物線的準線與圓相切，可以得到圓心到準線的距離等于半徑從而得到的值.【解答】解：拋物線，即，準線方程為，因為拋物線的準線與圓相切，當時，，解得，當時，，解得，故答案為：或.【點評】本題考查拋物線的相關幾何性質及直線與圓的位置關系，理解直線與圓相切時圓心到直線的距離等于半徑.16.【分析】運用數(shù)列的遞推式，討論為奇數(shù)或偶數(shù)，結合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和.【解答】解：，當時，，解得，時，，可得，當為偶數(shù)時，，即有；當為奇數(shù)（）時，，可得，即有.故答案為：.【點評】本題考查數(shù)列的求和，注意運用分類討論思想方法，以及等比數(shù)列的求和公式，考查運算能力，屬于中檔題.三、解答題17.【分析】（Ⅰ）由已知利用二倍角公式，正弦定理可求的值，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關系式可求的值.（Ⅱ）由已知利用余弦定理可得，即可解得的值.【解答】解：（Ⅰ），，.，，（Ⅱ）由余弦定理，可得：，可得：，解得：或（舍去）【點評】本題主要考查了二倍角公式，正弦定理，同角三角函數(shù)基本關系式，余弦定理在解三角形中的綜合應用，考查了轉化思想，屬于基礎題.18.【分析】（1）根據(jù)題意求出、的值，計算觀測值，對照臨界值得出結論；（2）由題意知隨機變量X服從二項分布，計算對應的概率，寫出分布列，計算數(shù)學期望值.【解答】解：（1）因為人中同意父母生“二孩”占，所以，；由列聯(lián)表可得；而，所以有的把握認為是否同意父母生“二孩”與“性別”有關；（2）由題意知持“同意”態(tài)度的學生的頻率為，即從學生中任意抽取到一名持“同意”態(tài)度的學生的概率為，由于總體容量很大，故服從二項分布，即，，；從而的分布列為：的數(shù)學期望為.【點評】本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，也考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應用問題，是中檔題.19.【分析】（Ⅰ）連結，，則，，從而平面平面，由此能證明平面.（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角的余弦值.【解答】證明：（Ⅰ）如圖，連結，，則，，，，∴平面EFN//平面B1BCC1，平面，平面.解：（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，不妨設，則，，，，設，則，，，，，解得，，設平面的法向量為，則，取，得，同理可得平面的法向量為，.二面角的余弦值為.【點評】該題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想，是中檔題.20.【分析】（Ⅰ）對于，當時，，即，當，，即，再寫出橢圓的方程；（Ⅱ）設直線，（），設，兩點的坐標分別為，，則，代入橢圓方程，即根據(jù)韋達定理，直線方程，求出直線過定點，【解答】解：（Ⅰ）對于，當時，，即，當，，即，橢圓的方程為，（Ⅱ）證明：設直線，（），設，兩點的坐標分別為，，則，聯(lián)立直線與橢圓得，得，，解得，，，直線，令，得，直線過定點，【點評】本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題.21.【分析】（Ⅰ）先求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義即可求出的值，（Ⅱ）先求導，再分類討論，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的極值的關系即可求出.【解答】解：（Ⅰ），，曲線在點處的切線與直線平行，，解得.（Ⅱ），，，且，當時，，單調(diào)遞增，又，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，當，，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)僅有一個極小值點，當，設，則，（）當時，，此時，當時，，此時，當時，，此時，，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，，在單調(diào)遞減，無極值，當時，存在唯一的實數(shù)根，且，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，當，，函數(shù)單調(diào)遞減，，為一個極值點，，單調(diào)遞增，，存在零點，且為的極值點，當時，有兩個極值點綜上所述.【點評】本題考查了導數(shù)的幾何意義，導數(shù)和函數(shù)的極值的關系，考查了運算求解能力，轉化與化歸能力，函數(shù)與方程的思想，屬于難題選考題：共10分，請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第題計分.作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.22.【分析】（Ⅰ）直接利用轉換關系，把參數(shù)方程直角坐標方程和極坐標方程之間進行轉換.（Ⅱ）首先把直線的參數(shù)式轉換為標準式，進一步利用直線和曲線