第一章特殊平行四邊形專練 北師大版九年級數學上冊

特殊平行四邊形專練一．選擇題1．如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一點D，使得以點A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標不可能是（）A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（﹣3，2）2．如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，GH∥AB．分別交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，連接PB．若AE＝3，PF＝8．則圖中陰影部分的面積為（）A．8 B．12 C．16 D．243．如圖1，點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā)，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點F運動時，△FBC的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的關系圖象，則a的值為（）A． B．2 C． D．24．如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH＝9厘米，EF＝12厘米，則邊AD的長是（）A．12厘米 B．15厘米 C．20厘米 D．21厘米5．如圖，已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點O，且AC+BD＝16，則該菱形的面積等于（）A．6 B．8 C．14 D．286．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE＝2，DE＝6，∠EFB′＝60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．12 D．168．如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm9．如圖，E為邊長為2的正方形ABCD的對角線上一點，BE＝BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于R，則PQ+PR的值為（）A． B． C． D．10．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，則BF的長是（）A．1 B． C． D．2二．填空題11．平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，若以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為．12．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構成的四邊形ABCD中，AB＝3，AC＝2，則四邊形ABCD的面積為．13．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為．14．如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處．若點D的坐標為（10，8），則點E的坐標為．15．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF最小值是．16．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為．17．如圖，正方形ABCD的邊長為2，H在CD的延長線上，四邊形CEFH也為正方形，則△DBF的面積為．18．如圖，在正方形ABCD中，AD＝，把邊BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BP，連接AP并延長交CD于點E，連接PC，則三角形PCE的面積為．19．如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，點P在對角線BD上，且BP＝BA，連接AP并延長，交DC的延長線于點Q，連接BQ，則BQ的長為．20．矩形ABCD與CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，則GH＝．三．解答題21．如圖，已知菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度數．22．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點M，N，與邊AD交于點E，垂足為點O．（1）求證：△AOM≌△CON；（2）若AB＝3，AD＝6，請直接寫出AE的長．23．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點G．（1）求∠BGC的度數；（2）若CE＝1，H為BF的中點時，求HG的長度；（3）若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，求△BCG的周長．24．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，求DE的長．25．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN與E，垂足為F，連接CD，BE．（1）求證：CE＝AD；（2）當D在AB中點時，四邊形CDBE是什么特殊四邊形？說明理由；（3）在滿足（2）的條件下，當△ABC滿足什么條件時，四邊形CDBE是正方形？請說明你的理由．26．如圖，正方形ABCD的對角線交于點O，點E、F分別在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延長線交于點M，OF、AB的延長線交于點N，連接MN．（1）求證：OM＝ON；（2）若正方形ABCD的邊長為6，OE＝EM，求MN的長．特殊平行四邊形答案提示一．選擇題1．如圖，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（﹣1，3），C（﹣2，﹣1），找一點D，使得以點A，B，C，D為頂點的四邊形是平行四邊形，則點D的坐標不可能是（）A．（2，4） B．（﹣4，2） C．（0，﹣4） D．（﹣3，2）解：如圖所示：觀察圖象可知，滿足條件的點D有三個，坐標分別為（2，4）或（﹣4，2）或（0，﹣4），∴點D的坐標不可能是（﹣3，2），故選：D．2．如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，GH∥AB．分別交AB、CD、AD、BC于E、F、G、H，連接PB．若AE＝3，PF＝8．則圖中陰影部分的面積為（）A．8 B．12 C．16 D．24解：連接PD．根據△PBF的面積＝∠PDF的面積，求解即可．故選：B．3．如圖1，點F從菱形ABCD的頂點A出發(fā)，沿A→D→B以1cm/s的速度勻速運動到點B，圖2是點F運動時，△FBC的面積y（cm2）隨時間x（s）變化的關系圖象，則a的值為（）A． B．2 C． D．2解：過點D作DE⊥BC于點E，由圖象可知，點F由點A到點D用時為as，△FBC的面積為acm2．∴AD＝a，∴BC?DE＝AD?DE＝a?DE＝a，∴DE＝2，當點F從D到B時，用s，∴BD＝（cm），Rt△DBE中，BE＝＝＝1（cm），∵ABCD是菱形，∴EC＝a﹣1，DC＝a，Rt△DEC中，a2＝22+（a﹣1）2，解得a＝（cm），故選：A．4．如圖，將矩形ABCD的四個角向內折起，恰好拼成一個無縫隙無重疊的四邊形EFGH，若EH＝9厘米，EF＝12厘米，則邊AD的長是（）A．12厘米 B．15厘米 C．20厘米 D．21厘米解：∵∠HEM＝∠AEH，∠BEF＝∠FEM，∴∠HEF＝∠HEM+∠FEM＝×180°＝90°，同理可得：∠EHG＝∠HGF＝∠EFG＝90°，∴四邊形EFGH為矩形．∴HG∥EF，∴∠GHF＝∠EFH，又∵∠BFE＝∠EFH，∠DHG＝∠GHF，∴∠EFB＝∠DHG，在△DHG和△BEF中，∴△DHG≌△BEF（AAS），∴HD＝EF，則MF＝HD，∵AD＝AH+HD＝HM+MF＝HF，HF＝＝＝15，∴AD＝15厘米．故選：B．5．如圖，已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點O，且AC+BD＝16，則該菱形的面積等于（）A．6 B．8 C．14 D．28解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝BC＝CD＝DA，∵菱形ABCD的周長為24，∴AD＝AB＝6，∵AC+BD＝16，∴AO+BO＝8，∴AO2+BO2+2AO?BO＝64，∵AO2+BO2＝AB2，∴AO?BO＝14，∴菱形的面積＝4×三角形AOD的面積＝4××14＝28，故選：D．6．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝6，BD＝8，點E、F分別是邊AB、BC的中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在PE+PF的最小值，則這個最小值是（）A．3 B．4 C．5 D．6解：∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC＝6，BD＝8，∴AB＝＝5，作E關于AC的對稱點E′，連接E′F，則E′F即為PE+PF的最小值，∵AC是∠DAB的平分線，E是AB的中點，∴E′在AD上，且E′是AD的中點，∵AD＝AB，∴AE＝AE′，∵F是BC的中點，∴E′F＝AB＝5．故選：C．7．如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點B恰好落在AD邊的B′處，若AE＝2，DE＝6，∠EFB′＝60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．12 D．16解：∵折疊∴∠BFE＝∠EFB'＝60°，AB＝A'B'∠A＝∠A'＝90°，AE＝A'E＝2∵ABCD是矩形∴AD∥BC∴∠DEF＝∠EFB＝60°∵A'E∥B'F∴∠A'EF+∠EFB'＝180°∴∠A'EF＝120°∴∠A'EB'＝60°且∠A'＝90°∴∠A'B'E＝30°，且A'E＝2∴B'E＝4，A'B'＝2＝AB∵AE＝2，DE＝6∴AD＝8∴S矩形ABCD＝AB×AD＝2×8＝16故選：D．8．如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點D落在BC邊的中點E處，點A落在F處，折痕為MN，則線段CN長是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm解：設CN＝xcm，則DN＝（8﹣x）cm，由折疊的性質知EN＝DN＝（8﹣x）cm，而EC＝BC＝4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝16+x2，整理得16x＝48，所以x＝3．故選：A．9．如圖，E為邊長為2的正方形ABCD的對角線上一點，BE＝BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于R，則PQ+PR的值為（）A． B． C． D．解：如圖，連接BP，設點C到BE的距離為h，則S△BCE＝S△BCP+S△BEP，即BE?h＝BC?PQ+BE?PR，∵BE＝BC，∴h＝PQ+PR，∵正方形ABCD的邊長為2，∴h＝2×＝．故選：D．10．如圖，在邊長為3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，則BF的長是（）A．1 B． C． D．2解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠FBC＝∠DCE＝90°，CD＝BC＝3，Rt△DCE中，∠CDE＝30°，∴CE＝DE，設CE＝x，則DE＝2x，根據勾股定理得：DC2+CE2＝DE2，即32+x2＝（2x）2，解得：x＝±（負值舍去），∴CE＝，∵DE⊥CF，∴∠DOC＝90°，∴∠DCO＝60°，∴∠BCF＝30°＝∠CDE，∵∠DCE＝∠CBF，CD＝BC，∴△DCE≌△CBF（ASA），∴BF＝CE＝．故選：C．二．填空題11．平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別是A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，若以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為（4，4）或（﹣6，）．解：作AM⊥BC于M，∵A（﹣1，m）、B（﹣4，0）、C（1，0）、D（a，m），且m＞0，∴AD∥BC，OB＝4，OC＝1，OM＝1，∴AD＝BC＝5，BM＝3，CM＝2，分兩種情況：①當點D在y軸的右側時，如圖1所示：∵以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，∴AB＝BC＝5，∴AM＝＝＝4，∴點D的坐標為（4，4）；②當點D在y軸的左側時，如圖2所示：∵以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，∴AD＝BC＝5，∴AM＝＝＝，∴點D的坐標為（﹣6，）；綜上所述，若以點A、B、C、D為頂點的四邊形是菱形，則點D的坐標為（4，4）或（﹣6，）；故答案為：（4，4）或（﹣6，）．12．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，若重合部分構成的四邊形ABCD中，AB＝3，AC＝2，則四邊形ABCD的面積為4．解：過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，連接AC，BD交于點O，如圖所示：∵兩條紙條寬度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵S?ABCD＝BC?AF＝CD?AE．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝1，BO＝DO，AC⊥BD，∴AC＝2AO＝2，BO＝＝＝2，∴BD＝2BO＝4，∴菱形ABCD的面積＝AC×BD＝×2×4＝4，故答案為：．13．如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AB＝6，BC＝8，過點O作OE⊥AC，交AD于點E，過點E作EF⊥BD，垂足為F，則OE+EF的值為．解：∵AB＝6，BC＝8，∴矩形ABCD的面積為48，AC＝＝10，∴AO＝DO＝AC＝5，∵對角線AC，BD交于點O，∴△AOD的面積為12，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△AOD＝S△AOE+S△DOE，即12＝AO×EO+DO×EF，∴12＝×5×EO+×5×EF，∴5（EO+EF）＝24，∴EO+EF＝，故答案為：．14．如圖，在平面直角坐標系中，將矩形AOCD沿直線AE折疊（點E在邊DC上），折疊后頂點D恰好落在邊OC上的點F處．若點D的坐標為（10，8），則點E的坐標為（10，3）．解：∵四邊形AOCD為矩形，D的坐標為（10，8），∴AD＝BC＝10，DC＝AB＝8，∵矩形沿AE折疊，使D落在BC上的點F處，∴AD＝AF＝10，DE＝EF，在Rt△AOF中，OF＝＝6，∴FC＝10﹣6＝4，設EC＝x，則DE＝EF＝8﹣x，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+FC2，即（8﹣x）2＝x2+42，解得x＝3，即EC的長為3．∴點E的坐標為（10，3），15．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，則EF最小值是4.8．解：連接AP，∵∠A＝90°，PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠A＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AFPE是矩形，∴EF＝AP，要使EF最小，只要AP最小即可，過A作AP⊥BC于P，此時AP最小，在Rt△BAC中，∠A＝90°，AC＝8，AB＝6，由勾股定理得：BC＝10，由三角形面積公式得：×8×6＝×10×AP，∴AP＝4.8，即EF＝4.8，故答案為：4.816．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，則DE的長為5．解：設DE＝x，則AE＝8﹣x．根據折疊的性質，得∠EBD＝∠CBD．∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠ADB，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE＝x．在直角三角形ABE中，根據勾股定理，得x2＝（8﹣x）2+16，解得x＝5．故答案為：5．17．如圖，正方形ABCD的邊長為2，H在CD的延長線上，四邊形CEFH也為正方形，則△DBF的面積為2．解：設正方形CEFH的邊長為a，根據題意得：S△BDF＝S正方形ABCD+S正方形CEFH﹣S△ABD﹣S△DHF﹣S△BEF＝4+a2﹣×4﹣a（a﹣2）﹣a（a+2）＝2+a2﹣a2+a﹣a2﹣a＝2．故答案為：2．方法二：連接CF．易證BD∥CF，∴S△BDF＝S△BDC＝S正方形ABCD＝2．18．如圖，在正方形ABCD中，AD＝，把邊BC繞點B逆時針旋轉60°得到線段BP，連接AP并延長交CD于點E，連接PC，則三角形PCE的面積為．解：過P點作PF⊥BC于F點，PH⊥CD與H點，延長FP交AD于G點，∵AD∥BC，∴PG⊥AD．根據旋轉性質可得BP＝BC，∠PBC＝60°，∴△PBC是等邊三角形，∴F點是BC中點，∴BF＝FC＝PH＝2，利用勾股定理求得PF＝6，∴PG＝4﹣6，∵FG∥CD，F為BC中點，∴G為AD中點，P為AE中點，∴DE＝2PG＝8﹣12，EC＝4﹣DE＝12﹣4，∴△PCE面積＝CE×PH＝12﹣12，故答案為12﹣12．19．如圖，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，點P在對角線BD上，且BP＝BA，連接AP并延長，交DC的延長線于點Q，連接BQ，則BQ的長為3．解：∵矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴BD＝＝13，∵BP＝BA＝5，∴PD＝BD﹣BP＝8，∵BA＝BP，∴∠BAP＝∠BPA＝∠DPQ，∵AB∥CD，∴∠BAP＝∠DQP，∴∠DPQ＝∠DQP，∴DQ＝DP＝8，∴CQ＝DQ﹣CD＝DQ﹣AB＝8﹣5＝3，∴在Rt△BCQ中，根據勾股定理，得BQ＝＝＝3．故答案為：3．20．矩形ABCD與CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，則GH＝．解：延長GH交AM于M點，在△AMH和△FGH中，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴MD＝FG，MH＝GH．∵四邊形CEFG是矩形，∴FG＝CE＝1，GD＝2﹣1＝1，在Rt△MDG中，GM＝＝，∴GH＝GM＝．故答案為．三．解答題21．如圖，已知菱形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°，求∠CEF的度數．解：如圖，連接AC，在菱形ABCD中，AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°，∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC＝60°，∴∠B＝∠ACD＝60°，又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AE＝AF，∵∠EAF＝60°，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，由三角形的外角性質，∠AEF+∠CEF＝∠B+∠BAE，∴∠CEF＝∠BAE＝18°．22．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線分別與邊AB和邊CD的延長線交于點M，N，與邊AD交于點E，垂足為點O．（1）求證：△AOM≌△CON；（2）若AB＝3，AD＝6，請直接寫出AE的長．（1）證明：∵MN是AC的垂直平分線，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠M＝∠N，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS）；（2）解：連接CE，如圖所示：∵MN是AC的垂直平分線，∴CE＝AE，設AE＝CE＝x，則DE＝6﹣x，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+DE2＝CE2，即32+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，即AE的長為．23．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，點E，F分別在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于點G．（1）求∠BGC的度數；（2）若CE＝1，H為BF的中點時，求HG的長度；（3）若圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，求△BCG的周長．解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠BCD＝∠CDF＝90°，在△BCE和△CDF中，∵BC＝CD，∠BCD＝∠CDF，CE＝DF，∴△BCE≌△CDF（SAS），∴∠CBE＝∠DCF，又∵∠BCG+∠DCF＝90°，∴∠BCG+∠CBE＝90°，∴∠BGC＝90°；（2）如圖，∵CE＝1，∴DF＝1，∴AF＝2，在直角△ABF中，由勾股定理得：，∵H為BF的中點，∠BGF＝90°，∴；（3）∵陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為2：3，∴陰影部分的面積為×9＝6，∴空白部分的面積為9﹣6＝3，∵△BCE≌△CDF，∴△BCG的面積與四邊形DEGF的面積相等，均為×3＝，設BG＝a，CG＝b，則ab＝，∴ab＝3，又∵a2+b2＝32，∴a2+2ab+b2＝9+6＝15，即（a+b）2＝15，∴a+b＝，即BG+CG＝，∴△BCG的周長＝+3．24．如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使