《函數(shù)的應用（小結(jié)）》同步練習3

《函數(shù)的應用（小結(jié)）》同步練習（3）一、零點1．零點定義：對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使得方程f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)零點不是點，而是實數(shù).)2．函數(shù)零點與方程根之間的等價關(guān)系：方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點．3．函數(shù)零點存在性定理：如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根．eq\x(\a\vs4\al(特別關(guān)注：)正確理解函數(shù)零點存在性定理.)若函數(shù)y＝f(x)圖象在[a，b]上是連續(xù)的，A．f(a)·f(b)<0，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點？對B．f(a)·f(b)>0，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點？不一定C．f(a)·f(b)<0，則y＝f(x)在(a，b)內(nèi)只有一個零點？不一定D．y＝f(x)在(a，b)內(nèi)有零點，則f(a)·f(b)<0?不一定得出結(jié)論：(1)函數(shù)零點的存在性定理，只是判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點的其中一種方法，不是唯一方法，且不能確定零點的個數(shù)有多少．(2)不能由存在性定理的結(jié)論反推出條件．4．判斷函數(shù)零點個數(shù)的求法：方法一，解對應方程的實根；方法二，畫出函數(shù)圖象，圖象與x軸的交點個數(shù)即為函數(shù)的零點個數(shù)；方法三，對于超越方程，則可以將超越方程分解為兩個基本的初等函數(shù)，兩個初等函數(shù)的交點個數(shù)，即為原函數(shù)零點的個數(shù)．方法四，若是單調(diào)函數(shù)，則可以利用函數(shù)零點存在性定理，判斷出原函數(shù)只有一個零點．二、二分法1．二分法定義：對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．2．利用二分法求近似解的解題步驟：(1)確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε.(2)求區(qū)間(a，b)的中點c.(3)計算f(c)：①若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點；②若f(a)·f(c)<0，則令b＝c[此時零點x0∈(a,c)]；③若f(c)·f(b)<0，則令a＝c[此時零點x0∈(c,b)]．(4)判斷是否達到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復步驟(2)～(4)．三、函數(shù)模型及應用1．幾類不同增長的函數(shù)模型．(1)一次函數(shù)模型：y＝ax＋b；(2)二次函數(shù)模型：；(3)指數(shù)函數(shù)模型：；(4)對數(shù)函數(shù)模型：；(5)冪函數(shù)模型：；(6)分段函數(shù)模型．2．指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的增長速度比較．(1)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)，和y＝xn(n>0)都是增函數(shù)，但它們的增長速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，，增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而y＝logax(a>1)的增長速度越來越慢．因此總存在一個x0，當x>x0時，就有(2)在區(qū)間(0，＋∞)上，盡管函數(shù)，y＝logax(0<a<1)和都是減函數(shù)，但它們的衰減速度不同，而且不在同一個“檔次”上．隨著x的增大，的衰減速度比和的衰減得快．因此總存在一個x0，當x>x0時，就有3．解決應用問題的基本步驟：(1)實際應用題→明確題意，找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學關(guān)系——數(shù)量關(guān)系和空間位置關(guān)系；(2)在分析聯(lián)想的基礎(chǔ)上，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，抽象構(gòu)建成一個或幾個數(shù)學模型來解；(3)閱讀、分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象；(4)建立數(shù)學模型；(5)運用數(shù)學知識作為工具；(6)解答數(shù)學問題；(7)解決實際問題(作答)．1．函數(shù)零點存在性定理：若函數(shù)y＝f(x)的零點在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點．2．求曲線和x軸的交點的橫坐標，就是求函數(shù)的零點，即求方程的根．例1已知函數(shù)f(x)＝3x－x2，問方程f(x)＝0在區(qū)間[－1，0]內(nèi)有沒有實數(shù)根？為什么？解析：∵，，函數(shù)的圖象是連續(xù)曲線，所以f(x)在區(qū)間[－1，0]內(nèi)有實數(shù)根．?跟蹤訓練1．設(shè)函數(shù)y＝x3與的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是()A．(0，1)B．(1，2)C．(2，3)D．(3，4)1．解析：令，則有g(shù)(0)＜0，g(1)＜0，g(2)＞0，g(3)＞0，g(4)＞0.故函數(shù)g(x)的零點所在區(qū)間為(1，2)．故選B.答案：B2．已知，判斷函數(shù)有無零點，并說明理由．2．解析：∵log3x在區(qū)間[1，9]上為增函數(shù)，且．∴.∴1≤x≤3.故g(x)的定義域為[1，3]．＝＝.在區(qū)間[1，3]上，g(x)也為增函數(shù)．所以g(x)＞g(1)＝6，所以g(x)無零點．1．對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且滿足f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法．2．給定精確度ε，用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟：(1)確定初始區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)<0，給定精確度ε.(2)求區(qū)間(a，b)的中點x1(將稱為區(qū)間[a，b]的中點)．(3)計算f(x1)：①若f(x1)＝0，則x1是函數(shù)的零點；②若f(a)·f(x1)<0，則令b＝x1[此時零點x0∈(a，x1)]；③若f(x1)·f(b)<0，則令a＝x1[此時零點x0∈(x1，b)]．(4)判斷是否達到精確度ε，即若|a－b|<ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(2)～(4)步驟．例2用二分法求函數(shù)f(x)＝x3－x－1在區(qū)間[1，]內(nèi)的一個零點(精確度.解析：由于f(1)＝1－1－1＝－1<0，f＝－－1＝>0，∴f(x)在區(qū)間[1，]上存在零點，取區(qū)間[1，]作為計算的初始區(qū)間，用二分法逐次計算列表如下：∵|－5|＝5<，∴函數(shù)的零點落在區(qū)間長度小于的區(qū)間[5，]內(nèi)，故函數(shù)零點的近似值為.?跟蹤訓練3．利用計算器，列出自變量和函數(shù)值的對應值如下表：那么方程2x＝x2的一個根位于下列區(qū)間的()A．，B．，C．，D．，解析：由f＝－＞0，f＝－＞0，故排除A；由f＝－＞0，f＝－＞0，故排除B；由f＝－＞0，f＝－＜0，故可確定方程2x＝x2的一個根位于區(qū)間，，故選C.答案：C在沒有給出具體模型的問題中，要根據(jù)題目中的有關(guān)數(shù)據(jù)描繪出基本草圖，然后根據(jù)直觀性，去和已學過的有關(guān)函數(shù)圖象對照、比較，由此猜測函數(shù)模型．在解此類問題的過程中，首先需要在實際的情境中去理解、分析所給的一系列數(shù)據(jù)，舍棄與解題無關(guān)的因素，抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型．例3某縣2005—2010年財政收入情況如下：(1)請建立一個數(shù)學模型，預測該縣以后幾年的財政收入情況；(2)計算該縣財政收入的平均增長率，并結(jié)合(1)分別預測2011年該縣財政收入，并討論哪一種預測結(jié)果更具有可行性．解析：(1)利用描點法，過A(1，，B(2，，C(3，，D(4，，E(5，，F(xiàn)(6，畫一條光滑的曲線，如下圖所示，其中年份第一年為2005年，第二年為2006年，其他依次類推．通過直觀判斷函數(shù)圖象，它可以和前面已學過的兩種函數(shù)模型進行比較：模型一：設(shè)f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)，將A、B、C三點的坐標代入，得?∴f(x)＝＋.計算得f(4)≈，f(5)≈，f(6)≈，它們與實際的誤差分別為，，.模型二：設(shè)g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x≥1)，將A、B、C三點的坐標代入，得?∴g(x)＝＋＋.計算得g(4)≈，g(5)≈6.17，g(6)≈，它們與實際的誤差分別為，，.對兩個函數(shù)模型進行對比，發(fā)現(xiàn)g(x)與實際的誤差較小，所以用函數(shù)模型較好．(2)設(shè)年財政收入平均增長率為a，由2005年和2010年財政收入，則有2．59(1＋a)5＝，解得a≈%.從增長率的角度再建立一個財政收入的數(shù)學模型：.用g(x)和h(x)分別預測2011年的財政收入是：g(7)＝(億元)，h(7)＝(億元)．從該縣經(jīng)濟發(fā)展趨勢看，兩種預測都有可能，但是選擇g(x)模型比較穩(wěn)妥．點評：在沒有給出具體模型的問題中，首先要由已知數(shù)據(jù)描繪出函數(shù)草圖，然后聯(lián)想熟悉的函數(shù)圖象，通過檢測所求函數(shù)模型與實際誤差的大小，探求相近的數(shù)學關(guān)系，預測函數(shù)的可能模型．?跟蹤訓練4．某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：若體重超過相同身高男性平均值的倍為偏胖，低于倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？解析：以身高為橫坐標，體重為縱坐標，畫出由離散點構(gòu)成的草圖，如下圖所示．根據(jù)點的分布情況，結(jié)合以前學過的指數(shù)函數(shù)圖象特征，可猜測以y＝abx(b＞0，b≠1)為男性的體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型．把點(70，、(160，代入函數(shù)以y＝abx中，得使用計算器可求得所以，函數(shù)模型為y＝2×.用計算器驗證其他點與模擬函數(shù)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)擬和程度相符．再將x＝175代入函數(shù)式y(tǒng)＝2×，即y＝2×1．02175，用計算器求得y≈.因為≈＞，所以，這個男生偏胖．數(shù)形結(jié)合的思想方法是根據(jù)數(shù)量與圖形的對應關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決問題的一種思想方法．轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法則是將問題不斷轉(zhuǎn)化，直到轉(zhuǎn)化為比較容易解決或已經(jīng)解決的問題．而分類討論的核心是通過增強條件來分情況逐一研究，使問題易于解決．一、數(shù)形結(jié)合思想例4二次函數(shù)y＝x2＋(a－3)x＋1的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為，且x1＜2，x2＞2，如圖所示，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)＜1或a＞5B．C．D．解析：由題意可得f(2)＜0，即4＋(a－3)×2＋1＜0，解得答案：B?跟蹤訓練5．已知f(x)＝(x－a)(x－b)－2(其中a＜b)，且α、β是方程f(x)＝0的兩根(α＜β)，則實數(shù)a、b、α、β的大小關(guān)系為()A．α＜a＜b＜βB．α＜a＜β＜bC．a(chǎn)＜α＜b＜βD．a(chǎn)＜α＜β＜b解析：a，b是方程g(x)＝(x－a)(x－b)＝0的兩根，在同一坐標系中作出函數(shù)f(x)、g(x)的圖象(如下圖所示)，知α＜a＜b＜β.故選A.答案：A6．函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)m的取值集合為____．解析：函數(shù)恰有3個零點，等價于函數(shù)y1＝與y2＝m的圖象恰有3個公共點(如下圖)，知m＝5.答案：{5}二、函數(shù)與方程思想例5一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當他離汽車25米時，交通燈由紅變綠，汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走，那么()A．人可在7米內(nèi)追上汽車B．人可在10米內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車，其距離最近為5米D．人追不上汽車，其距離最近為7米解析：若經(jīng)t秒人剛好追上汽車，則s＋25＝6t，由得＝0?t2－12t＋50＝0.因為Δ＜0，所以人追不上汽車．考慮距離差d＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(s＋25))－6t＝＝，故當t＝6時，d有最小值7,即人與汽車最少相距7米，故選D.答案：D?跟蹤訓練7．函數(shù)f(x)＝a|x|－x－a恰有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是：________________.解析：函數(shù)f(x)＝a|x|－x－a恰有2個零點等價于函數(shù)y＝a|x|與y＝x＋a的圖象恰有2個公共點．畫出y＝a|x|與y＝x＋a的圖象如下：情形1：?a>1.情形2：?a<－1.答案：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))a>1或a<－1))8．某種汽車安全行駛的穩(wěn)定性系數(shù)μ隨使用年數(shù)t的變化規(guī)律是μ＝μ0e－λt，其中μ0、λ是正常數(shù)．經(jīng)檢測，當t＝2時，μ＝μ0，則當穩(wěn)定系數(shù)降為μ0時，該種汽車的使用年數(shù)為________年(結(jié)果精確到1，參考數(shù)據(jù)：lg2≈0，lg3≈1)．解析：，于是，兩邊取常用對數(shù)，，解得t＝＝＝.答案：13三、分類討論思想例6如下圖，三個機器人M1，M2，M3和檢測臺M位于一條直線上．三個機器人需把各自生產(chǎn)的零件送交M處進行檢測，送檢程序規(guī)定：當M1把零件送達M處時，M2即刻自動出發(fā)送檢，當M2把零件送達M處時，M3即刻自動出發(fā)送檢．設(shè)M2的送檢速度為v，且送檢速度是M1的2倍、M3的3倍．(1)求三臺機器人M1，M2，M3把各自生產(chǎn)的零件送達檢測臺M處的時間總和；(2)現(xiàn)要求M1，M2，M3送檢時間總和必須最短，請你設(shè)計出檢測臺M在該直線上的位置(M與M1，M2，M3均不能重合)．解析：借助數(shù)軸構(gòu)建分段函數(shù)模型使抽象問題具體化．(1)由題設(shè)條件知，檢測臺M的位置坐標為0，機器人與檢測臺的距離分別為2，1，3.故機器人M1，M2，M3按程序把各自的生產(chǎn)零件送達檢測臺M處的時間總和為.(2)設(shè)x為檢測臺M的位置坐標，則機器人M1，M2，M3與檢測臺M的距離分別為|x－(－2)|，|x－1|和|x－3|，于是機器人送交檢測臺M的時間的總和為＝只要求f(x)＝2|x＋2|＋|x－1|＋3|x－3|取最小值．∵f(x)＝由其圖象可知，x∈[1，3]時，所對應的f(x)均取最小值12，即送檢時間總和最短為.依題意，檢測臺M與M1，M2，M3均不能重合，故可將檢測臺M設(shè)置在直線上機器人M2與M3之間的任何位置(不含的位置)，都能使各機器人M1，M2，M3的送檢時間總和最短．?跟蹤訓練9．若函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋3只有一個零點，求實數(shù)m的取值范圍．解析：(1)當m＝0時，f(x)＝－2x＋3與x軸只有1個交點，此時函數(shù)f(x)只有1個零點．(2)當m≠0時，要使得f(x)＝mx2－2x＋3只有1個零點，則Δ＝(－2)2－4×3×m＝0，此時m＝eq\f(1,3).綜上所述，當m＝0或m＝eq\f(1,3)時，函數(shù)f(x)＝mx2－2x＋3只有1個零點．一、關(guān)系分析法即通過尋找關(guān)鍵詞和關(guān)鍵量之間的數(shù)量關(guān)系的方法來建立問題的數(shù)學模型的方法．例7進貨價為80元的商品共400個，按90元一個售出時，可全部賣出．已知這種商品每漲價1元，其銷售數(shù)量就減少20個，問銷售價為多少時所獲得的利潤最大？分析：題中顯示“利潤最大”的語句，因此，應從構(gòu)造利潤的函數(shù)關(guān)系入手．(利潤＝銷售額－成本)解析：設(shè)銷售價為90＋x元時利潤為y，此時銷售數(shù)量為400－20x.∴y＝(90＋x)(400－20x)－(400－20x)×80＝－20(x－5)2＋4500，∴當x＝5時，ymax＝4500(元)．故銷售價為95元時所獲得的利潤最大，其最大值為4500元．?跟蹤訓練10．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品每年投入固定成本萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資萬元．經(jīng)預測知，當售出這種產(chǎn)品t百件時，若0＜t＜5，則銷售所得的收入為萬元；若t＞5，則銷售收入為萬元．(1)若該公司這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為x百件時(x>0)，請把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤y表示為當年產(chǎn)量x的函數(shù)；(2)當年產(chǎn)量為多大時，當年公司所得利潤最大？解析：(1)當0<x≤5時，f(x)＝5x－－＋＝－＋－；當x＞5時，f(x)＝＝－＋11.∴f(x)＝(2)當0＜x≤5時，f(x)＝－＋－＝－(x－2＋25，∴當x＝時，.當x＞5時，f(x)＝－＋11＜－×5＋11＝＜25，∴當年產(chǎn)量為百件時，當年公司所獲利潤最大，最大為25萬元．二、列表分析法即通過列表的方式探求問題的數(shù)學模型的方法．?例題分析例8某工廠在甲、乙兩地的兩個分廠各生產(chǎn)某種機器12臺和6臺．現(xiàn)銷售給A地10臺，B地8臺．已知