第七章位移法

講課教師:李黎

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LiLi2431@163.com

結(jié)

構(gòu)

力學(xué)StructuralMechanics課程考核Teachingassessment

1、期末考試60%

2、平時(shí)作業(yè)15%

3、大作業(yè)10%

4、小論文10%

5、課堂考查5%第七章位移法

Chapter7DisplacementMethod1、概述2、位移法未知量的確定3、桿端力與桿端位移的關(guān)系4、利用平衡條件建立位移法方程5、位移法舉例6、基本體系和典型方程法7、對(duì)稱性的利用8、其它各種情況的處理第七章位移法

Chapter7DisplacementMethod

位移法是計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的另一種基本方法。分析超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，有兩種基本方法：第一種：以多余未知力為基本未知量，先求其某些反力或內(nèi)力，然后再計(jì)算其位移的方法——力法。第二種：以結(jié)點(diǎn)未知位移為基本未知量，先求其結(jié)點(diǎn)位移，然后再計(jì)算其內(nèi)力的方法——位移法。

1、概述結(jié)構(gòu)在外因作用下產(chǎn)生內(nèi)力位移內(nèi)力與位移間存在關(guān)系●以結(jié)點(diǎn)的位移為未知量?！?/p>

以力法作為基礎(chǔ)；位移法的解題思路：（1）確定結(jié)點(diǎn)位移的未知量

DB伸長(zhǎng)：DA伸長(zhǎng)：

DC伸長(zhǎng)：

桿端位移分析（2）桿端力與桿端位移關(guān)系由材料力學(xué)可知AD45o45oBC

1、概述位移法的基本特點(diǎn)：FPD結(jié)點(diǎn)：

FP（3）建立方程（4）解方程

位移法方程

1、概述DFNDAFNDCFNDBFP由結(jié)點(diǎn)平衡

取出D結(jié)點(diǎn)：（5）把回代到桿端力的表達(dá)式得到各桿軸力③由結(jié)點(diǎn)平衡或截面平衡，建立方程；⑤結(jié)點(diǎn)位移回代，得到桿端力?？偨Y(jié)一下位移法解題的步驟：①確定結(jié)點(diǎn)位移的數(shù)量；②寫出桿端力與桿端位移的關(guān)系式；④解方程，得到結(jié)點(diǎn)位移；

1、概述●位移法是以結(jié)點(diǎn)的位移作為的未知量的?！?/p>

結(jié)點(diǎn)：指桿件與桿件的交結(jié)處，不包括支座結(jié)點(diǎn)（初學(xué)時(shí)）?！?/p>

桿件：等截面的直桿，不能是折桿或曲桿。

●

為了減少未知量，忽略軸向變形，即認(rèn)為桿件的EA=∞?！纠}1】確定圖示剛架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。

2、位移法未知量的確定ABC分析：該結(jié)構(gòu)只有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)B，由于忽略軸向變形，因此B結(jié)點(diǎn)只有一個(gè)轉(zhuǎn)角未知量?！纠}2】確定圖示剛架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。分析：該結(jié)構(gòu)只有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)B，由于忽略軸向變形及C支座的約束形式，B結(jié)點(diǎn)有一個(gè)轉(zhuǎn)角和水平位移。ABDC【例題3】確定圖示剛架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。分析：該結(jié)構(gòu)有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)B、C，由于忽略軸向變形，B、C點(diǎn)的豎向位移為零，B、C點(diǎn)的水平位移相等，因此該結(jié)構(gòu)的未知量為：ABCADBCEF【例題4】確定圖示剛架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。分析：該結(jié)構(gòu)有四個(gè)剛結(jié)點(diǎn)E、F、D、C，由于忽略軸向變形，這四點(diǎn)的豎向位移為零，E與F

點(diǎn)及D與C

點(diǎn)的水平位移相等，因此未知量為：【例題5】確定圖示連續(xù)梁的結(jié)點(diǎn)位移未知量。結(jié)論：

剛架一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有一個(gè)轉(zhuǎn)角，一層有一個(gè)側(cè)移。ABCD分析：該梁有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)B、C，因此未知量為：ABCD【例題6】確定圖示桁架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。結(jié)論：連續(xù)梁一個(gè)結(jié)點(diǎn)有一個(gè)轉(zhuǎn)角（不包括兩邊支座結(jié)點(diǎn)）。

分析：桁架桿件要考慮軸向變形，因此每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)線位移。該結(jié)構(gòu)的未知量：

結(jié)論：桁架結(jié)構(gòu)的未知量數(shù)：結(jié)點(diǎn)數(shù)（包括支座結(jié)點(diǎn)）乘2，再減去支座約束鏈桿數(shù)。

2、位移法未知量的確定EA=∞ABCD【例題7】確定圖示排架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。分析：該排架結(jié)構(gòu)有兩個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)A、B，這兩點(diǎn)的豎向位移為零，水平位移相等，因此未知量為：

【例題8】確定圖示排架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。分析：該排架結(jié)構(gòu)有四個(gè)結(jié)點(diǎn)A、B、C、D，A與B點(diǎn)、D與C點(diǎn)的水平位移相同，其豎向位移為零，但C結(jié)點(diǎn)有一轉(zhuǎn)角，未知量：

EA=∞ABCDEFGEA=∞分析：有斜桿剛架的未知量：首先一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)一個(gè)轉(zhuǎn)角位移。然后把所有的剛結(jié)點(diǎn)先變成鉸結(jié)點(diǎn)，再加鏈桿，使其變成無(wú)多余約束的幾何不變體系。加了幾根鏈桿，就是有幾個(gè)線位移。ABCDE結(jié)論：等高排架，無(wú)論有幾跨，只有1個(gè)水平位移。不等高排架一跨一個(gè)水平位移，并在不等高處有轉(zhuǎn)角?！纠}9】確定圖示有斜桿剛架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。BCDEA該題的未知量為：分析：該結(jié)構(gòu)有一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，因此有一個(gè)轉(zhuǎn)角位移。水平線位移的分析方法：假設(shè)B結(jié)點(diǎn)向左有一個(gè)水平位移△BX，BC桿隨之平移至B’C’，然后它繞B’轉(zhuǎn)至C”點(diǎn)?！纠}10】確定圖示有斜桿剛架的結(jié)點(diǎn)位移未知量。

A

B

C結(jié)論：該題有兩個(gè)未知量：其中BA桿的線位移為：BC桿的線位移為：△BxB’

C’△Bx

C”

3、桿端力與桿端位移的關(guān)系由前面的經(jīng)驗(yàn)可知由彎矩剪力軸力而知道了桿端彎矩，就可畫出整個(gè)桿件的彎矩圖。結(jié)構(gòu)計(jì)算的目的求出結(jié)構(gòu)中所有桿件任意點(diǎn)的內(nèi)力和位移所謂內(nèi)力彎矩、剪力、軸力彎矩求解是關(guān)鍵而桿端彎矩與桿端位移及結(jié)間荷載之間存在著一定的關(guān)系。本節(jié)就是討論這個(gè)問(wèn)題。因此桿端彎矩求解，是關(guān)鍵中的關(guān)鍵。剛架在均布荷載作用下，產(chǎn)生如圖曲線所示的變形。

剛結(jié)點(diǎn)B處：兩根桿件的桿端都發(fā)生了角位移；

3、桿端力與桿端位移的關(guān)系桿長(zhǎng)為：L未知量為：ABCEIEIqBCEIBC桿q我們的目的是要求出：MBC、MBA、MAB。顯然MBC與和均布荷載q有關(guān)。MBA、MAB僅與有關(guān)。研究MBC時(shí)，可將BC桿看作一根一端固定一端鉸結(jié)的單跨超靜定梁，在均布荷載q及在B端有一轉(zhuǎn)角位移作用的情況。BABA桿EI結(jié)論：在桿端力與桿端位移分析時(shí)，可以把結(jié)構(gòu)中的桿件，分別看作一根根單跨的超靜定梁，其桿端彎矩可以由力法求解。在后面的討論中我們將單跨超靜定梁稱為：?jiǎn)卧獌啥斯潭▎卧軓潌卧男问接校阂欢斯潭ㄒ欢算q結(jié)單元一端固定一端滑動(dòng)單元

上述三個(gè)桿端彎矩與桿端位移、結(jié)間荷載之間的關(guān)系可用力法求解。研究MBA、MAB時(shí)，可將BA桿看作一根兩端固定的單跨超靜定梁，在B端有一轉(zhuǎn)角位移作用的情況。彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定必須改變，現(xiàn)在是以使桿端順時(shí)針轉(zhuǎn)為正。剪力和軸力的規(guī)定與原來(lái)相同。為此，我們要把各種單元在支座位移及荷載作用下的桿端彎矩用力法求出，然后列出表格，以供查用。正彎矩：對(duì)桿端是順時(shí)針轉(zhuǎn)的，對(duì)結(jié)點(diǎn)是逆時(shí)針轉(zhuǎn)的。下面開始對(duì)各種單元在支座位移及荷載作用下的桿端彎矩用力法進(jìn)行逐個(gè)求解。

3、桿端力與桿端位移的關(guān)系A(chǔ)BBMABMBA（1）兩端固定單元，在A端發(fā)生一個(gè)順時(shí)針的轉(zhuǎn)角。用力法求解兩端的彎矩。ABEI,L原結(jié)構(gòu)力法方程X1ABEI,L基本體系X21X2=1ABEI,LM2M1X1=1ABEI,L1（1）兩端固定單元，在A端發(fā)生一個(gè)順時(shí)針的轉(zhuǎn)角。由力法求得：（2）兩端固定單元，在B端發(fā)生一個(gè)順時(shí)針的轉(zhuǎn)角。ABEI,LMABMBA由力法求得：ABEI,LMABMBA（3）兩端固定單元，在B端發(fā)生一個(gè)向下的位移。（4）一端固定一端鉸結(jié)單元，在A

端發(fā)生一個(gè)順時(shí)針的轉(zhuǎn)角。ABEI,LMABMBA由力法求得：ABEI,LMABMBA由力法求得：（5）一端固定一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個(gè)向下的位移。用力法求出A端的彎矩。ABEI,L原結(jié)構(gòu)X1ABEI,L基本體系力法方程X1=1ABEI,L1M1/L（6）一端固定一端滑動(dòng)單元，在A端發(fā)生一個(gè)順時(shí)針的轉(zhuǎn)角。（5）一端固定一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個(gè)向下的位移。ABEI,LMABMBA由力法求得：ABEI,LMABMBA由力法求得：（7）兩端鉸結(jié)單元，在A端發(fā)生一個(gè)軸向位移。（8）兩端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生一個(gè)軸向位移。

3、桿端力與桿端位移的關(guān)系EA,LAB由材料力學(xué)：由材料力學(xué)：EA,LAB

●前面研究的是：三種受彎單元在支座位移作用下的彎矩，至于在荷載作用下的情況，可以查書上的表格。

●前面研究的是：三種受彎單元在一個(gè)支座位移作用下的彎矩，至于有多個(gè)支座位移同時(shí)作用的情況可采用疊加原理進(jìn)行。（1）兩端固定單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：

——分別表示由荷載引起的AB桿A、B端的固端彎矩（2）一端固定一端鉸結(jié)單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：（3）一端固定一端滑動(dòng)單元在荷載、支座位移共同作用下的桿端彎矩表達(dá)式：BA桿：可看作兩端固定單元，在B端支座發(fā)生了轉(zhuǎn)角，方向假設(shè)為順時(shí)針，桿端彎矩表達(dá)式：寫出【例題1】剛架的桿端彎矩表達(dá)式。q桿長(zhǎng)為：L未知量為：ABCEIEIBC桿：可看作一端固定，一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角以及在均布荷載作用下，桿端彎矩表達(dá)式：BA桿：可看作兩端固定單元，在B端支座發(fā)生了轉(zhuǎn)角水平位移，還有均布荷載作用下，桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：可看作一端固定，一端鉸結(jié)單元，在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角、以及在集中力作用下，桿端彎矩表達(dá)式：寫出【例題2】剛架的桿端彎矩表達(dá)式。EI2EIABCFPLL/2L/2q未知量為：基本思路——先拆、后裝，即：（1）化整為零——逐桿寫出桿端彎矩式表達(dá)式；（2）拼零為整——對(duì)于匯交于剛結(jié)點(diǎn)的各桿端彎矩應(yīng)滿足：

對(duì)于任意截面的隔離體都應(yīng)滿足：或。

4、利用平衡條件建立位移法方程——位移法方程BA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：桿端彎矩表達(dá)式：建立【例題1】剛架的位移法方程。q桿長(zhǎng)為：L未知量為：ABCEIEI建立位移法方程：取B結(jié)點(diǎn)，應(yīng)該滿足：MBAMBCBBA桿：桿端彎矩表達(dá)式：BC桿：端彎矩表達(dá)式：建立【例題2】剛架的位移法方程。EI2EIABCFPLL/2L/2q未知量為：建立位移法方程：取B結(jié)點(diǎn)由：——方程①把FQBA代入得：——位移法方程②建立位移法方程：取BC截面由：BCFPMBAFQBAFNBAFQABMBABAq

MABFQBA得：求FQBA,取BA桿由：BA桿：BC桿：解：（1）確定未知量未知量為：（2）寫出桿端力的表達(dá)式（3）建立位移法方程……①

5、位移法舉例【例題11】畫出圖示剛架彎矩圖。q桿長(zhǎng)為：L未知量為：ABCEIEI取B結(jié)點(diǎn)由：得：（4）解方程，得：（5）把結(jié)點(diǎn)位移回代，得桿端彎矩（6）畫彎矩圖

5、位移法舉例qL214ABCM圖

qL228qL28qL214（1）位移法未知量未知量：

（2）桿端彎矩表達(dá)式（3）建立位移方程……①qFP2EIEIABCLLFPBMBAMBCFQBCFQBA……②【例題12】求出圖示梁的位移法方程，。把FQBC,FQBA代入方程②中得：求FQBA

MABMBAABFQBAFQABq2EIMBCCFQCBFQBCB求FQBC

EI……②（1）位移法未知量未知量：

（2）桿端彎矩表達(dá)式（3）建立位移法方程DMDEMDCACFBEGDEIEIEIEIFPFPLL1L2【例題13】求出圖示排架位移法方程。取出EG截面：FPEGFQEDFQGF……②……①取出BEG截面：……③

FQGFBEGFQDCFQBAFPFPD求得位移法方程：小結(jié)：（1）用前面介紹的位移法計(jì)算兩類結(jié)構(gòu)（無(wú)側(cè)移、有側(cè)移)的思路與方法基本相同，稱為結(jié)點(diǎn)截面平衡法；（2）在計(jì)算有側(cè)移剛架時(shí)，同無(wú)側(cè)移剛架相比，在具體作法上增加了一些新內(nèi)容：●在基本未知量中，要考慮結(jié)點(diǎn)的線位移；●桿端力不僅要寫彎矩，還要寫剪力的表達(dá)式；●在建立位移法方程時(shí)，要取截面為隔離體，利用水平或豎向的平衡條件建立方程。

5、位移法舉例1）位移法基本體系（1）基本體系——單跨超靜定梁的組合體。用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，把每一根桿件都作為單跨超靜定梁看待。（2）基本體系的構(gòu)造——阻止剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)（不能阻止線位移）；——阻止結(jié)點(diǎn)線位移（不能阻止轉(zhuǎn)動(dòng)）。

6、基本體系和典型方程法●在每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)處添加一個(gè)附加剛臂●在可能發(fā)生線位移的結(jié)點(diǎn)，加上附加鏈桿【例題14】構(gòu)造圖示結(jié)構(gòu)位移法的基本體系。

未知量2個(gè)：

在有轉(zhuǎn)角位移的結(jié)點(diǎn)處先加一剛臂，阻止轉(zhuǎn)動(dòng)，然后再讓其發(fā)生轉(zhuǎn)角。經(jīng)過(guò)以上處理，原結(jié)構(gòu)就成為一個(gè)由n個(gè)獨(dú)立單跨超靜定梁組成的組合體——即為位移法的基本體系。EI2EIABCFPLL/2L/2q原結(jié)構(gòu)EI2EIABCFPq基本體系Z2

在有線位移的結(jié)點(diǎn)處先加一鏈桿，阻止線位移，然后再讓其發(fā)生線位移。Z1未知量用Zi表示。2）利用基本體系建立位移法方程（1）基本原理——先鎖住后放松。鎖住——將原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成基本結(jié)構(gòu)。把原結(jié)構(gòu)“拆成”孤立的單個(gè)超靜定桿件；放松——將基本結(jié)構(gòu)還原成原結(jié)構(gòu)。即強(qiáng)行使“鎖住”的結(jié)點(diǎn)發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的轉(zhuǎn)角或線位移。（2）位移法典型方程的建立與求解

6、基本體系和典型方程法Aq原結(jié)構(gòu)

LLBC（2）位移法典型方程的建立與求解基本體系Z1Z2=AqBC3i4i2i圖×Z1=Z1=1Z2=1圖×Z2+6EIL26EIL2

在M1、M2、MP三個(gè)圖中的附加剛臂和鏈桿中一定有力產(chǎn)生，而三個(gè)圖中的力加起來(lái)應(yīng)等于零。qL28

圖+qL28

附加剛臂和鏈桿上產(chǎn)生的力基本體系Z1Z2AqBC3i4i2i圖×Z1=Z1=1k11k21qL28

圖F2PF1P圖×Z2++6EIL2Z2=16EIL2k22k12

位移法典型方程

由反力互等定理可知：

6、基本體系和典型方程法在、

、

三個(gè)圖中附加剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加反力加起來(lái)應(yīng)等于零，則有：

方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)就是、、三個(gè)圖中剛臂和鏈桿中產(chǎn)生的附加反力。求系數(shù)和自由項(xiàng)——方法是：取各個(gè)彎矩圖中的結(jié)點(diǎn)或截面利用平衡原理求得。由圖：k11k21FQBA3i4i2i圖Z1=1k11k213i4ik11B4i2iFQBAFQBABA由圖：k12k22FQBA6i/Lk12B圖6EIL2Z2=16EIL2k22k12-6i/LFQBAFQBABA-6i/L求系數(shù)和自由項(xiàng)：由MP圖：FQBAF1PF2PqL28

圖F2PF1P求系數(shù)和自由項(xiàng)：F1PqL28B0FQBAFQBABA0把系數(shù)和自由項(xiàng)代入典型方程，有：——位移法方程（1）確定未知量，畫出基本體系；（2）畫出M1、…MP圖；（3）求出系數(shù)和自由項(xiàng)，得到位移法方程；（4）解方程，得到結(jié)點(diǎn)位移；（5）按下式畫彎矩圖：計(jì)算步驟如果結(jié)構(gòu)有n個(gè)未知量，那么位移法方程為：

其中：是主系數(shù)，永遠(yuǎn)是正的。是副系數(shù)，有正有負(fù)。由反力互等定理可知：——物理意義是：由第j個(gè)結(jié)點(diǎn)發(fā)生單位位移后，在第i個(gè)結(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生的反力。【例題15】用典型方程法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)，桿件的EI為常數(shù)。（1）未知量：（2）基本體系如上圖所示（3）位移法方程MABCED原結(jié)構(gòu)LLL

Z3Z1Z2MABCE基本體系D解：

（4）求系數(shù)和自由項(xiàng)

取BE截面：

FQBAFQEDFQBCk31

Z1=1i4i2i3i圖ABCEDk11k21k31取B結(jié)點(diǎn)：

4i3iik11取E結(jié)點(diǎn)：

2ik21

Z2=14i2i2i4i圖ABCEDk12k22k32取BE截面：

FQBAFQEDFQBCk32取B結(jié)點(diǎn)：

2ik12取E結(jié)點(diǎn)：

4ik224i3i/L6i/L6i/L

Z3=1圖ABCEDk13k33k23取BE截面：

FQBAFQEDFQBCk33取B結(jié)點(diǎn)：

k13-3i/L取E結(jié)點(diǎn)：

k23-6i/LMP圖ABCEDF1PMF2PF3P取B結(jié)點(diǎn)：

F1PM取BE截面：

FQBAFQEDFQBCF3PF2P取E結(jié)點(diǎn)：

把系數(shù)和自由項(xiàng)代入位移法典型方程中，得：接下來(lái)的解方程計(jì)算桿端位移省略了。重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)一下桿端彎矩的計(jì)算。

6、基本體系和典型方程法

Z1=1i4i2i3i圖ABCED3i/L6i/L6i/L

Z3=1圖ABCEDMP圖ABCEDM

Z2=14i2i2i4i圖ABCED桿端彎矩的計(jì)算：【例題16】用典型方程法計(jì)算圖示桁架，桿件EA為常數(shù)。解：（1）未知量：（2）基本體系如上圖所示

（3）位移法方程

原結(jié)構(gòu)BCDAFP1FP2LLFP2Z4基本體系Z5Z3Z1FP1Z2（4）求系數(shù)和自由項(xiàng)

取C結(jié)點(diǎn)：取D結(jié)點(diǎn)：取B結(jié)點(diǎn)：

Z1=1k21k11k41k31k51EALEA2LC

D

A

B

FN1圖k11k21EALEA2LC

0

k51EA2LB

0

0

k41k31EALD

0

0

取C結(jié)點(diǎn)：取D結(jié)點(diǎn)：取B結(jié)點(diǎn)：

k24k14k44k34k51EALEA2LC

D

A

B

Z4=1k14k24C

0

0

0

k54B

EAL0

0

k44k34EALD

EA2L0

FN4圖取C結(jié)點(diǎn)：取D結(jié)點(diǎn)：取B結(jié)點(diǎn)：

FP圖F2PF1PF4PF3PF5PC

D

A

B

FP1FP2C

0

0

0

F2PF1PFP1D

0

0

0

F4PFP2F3PF5PB

0

0

0

小結(jié)：

與力法比較，位移法分析超靜定結(jié)構(gòu)，其解題步驟與方法同力法有相似的地方。（1）確定未知量，取基本體系。未知量：力法——多余未知力； 位移法——結(jié)點(diǎn)的角位移、線位移?；倔w系：力法——靜定結(jié)構(gòu)，也可取超靜定結(jié)構(gòu)；位移法——單跨超靜定梁的組合體。

6、基本體系和典型方程法

（2）列典型方程建立方程力法——去掉多余約束處的位移條件；條件： 位移法——附加約束中的反力應(yīng)為零。

方程的力法——變形協(xié)調(diào)方程；性質(zhì)：位移法——力的平衡方程。（3）作MP、M

圖，求系數(shù)和自由項(xiàng)

力法：先作出基本體系分別在荷載、多余力作用下的彎矩圖。

6、基本體系和典型方程法然后應(yīng)用圖乘法求出荷載、單位多余未知力所引起的在去掉多余約束處的位移，即系數(shù)和自由項(xiàng)。

位移法：先作出基本體系分別在荷載、單位位移作用下所引起的彎矩圖；然后利用結(jié)點(diǎn)或截面的平衡，求出附加剛臂和附加鏈桿中的反力，即位移法的系數(shù)和自由項(xiàng)。

6、基本體系和典型方程法（4）解典型方程，求未知量

力法：解多元一次方程組，求得多余未知力Xi；

位移法：解多元一次方程組，求得結(jié)點(diǎn)角位移與線位移Zi

。（5）繪制最后內(nèi)力圖——采用疊加法。力法：位移法：

6、基本體系和典型方程法對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)用位移法求解時(shí)，可以取半剛架進(jìn)行計(jì)算，下面先介紹半剛架的取法。取半剛架如左圖所示。（1）奇數(shù)跨對(duì)稱剛架在對(duì)稱荷載作用下

7、對(duì)稱性的利用qC單跨對(duì)稱剛架在對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱點(diǎn)C的位移和內(nèi)力如下：Cq取半剛架如左圖所示。CB桿沒有變形就沒有彎矩。也就不需畫在半剛架上。（2）偶數(shù)跨對(duì)稱剛架在對(duì)稱荷載作用下7、對(duì)稱性的利用兩跨對(duì)稱剛架在對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱點(diǎn)C的位移和內(nèi)力如下：qBqBA（3）奇數(shù)跨對(duì)稱剛架在反對(duì)稱荷載作用下

7、對(duì)稱性的利用取半剛架如左圖所示。單跨對(duì)稱剛架在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱點(diǎn)C的位移和內(nèi)力如下：CFPFPCFP取半剛架如下圖所示：（4）偶數(shù)跨對(duì)稱剛架在反對(duì)稱荷載作用下7、對(duì)稱性的利用兩跨對(duì)稱剛架在反對(duì)稱荷載作用下。對(duì)原結(jié)構(gòu)進(jìn)行改造，如圖1、圖2所示。切開對(duì)稱點(diǎn)B，此處只有一對(duì)剪力存在。由于忽略軸向變形，這對(duì)剪力對(duì)結(jié)構(gòu)沒有影響。FPFPBIA圖1I/2I/2BAFPFP圖2I/2I/2BFQCAFPFPI/2BAFP

7、對(duì)稱性的利用

小結(jié)：（1）對(duì)稱結(jié)構(gòu)受對(duì)稱荷載作用時(shí)，變形一定對(duì)稱，在對(duì)稱點(diǎn)處只有對(duì)稱內(nèi)力存在，反對(duì)稱的內(nèi)力一定為零；（2）對(duì)稱結(jié)構(gòu)受反對(duì)稱荷載作用時(shí)，變形一定反對(duì)稱，在對(duì)稱點(diǎn)處只有反對(duì)稱內(nèi)力存在，對(duì)稱的內(nèi)力一定為零；（3）對(duì)于對(duì)稱結(jié)構(gòu)，若荷載是任意的，則可把荷載變換成：對(duì)稱與反對(duì)稱兩種情況之和；（4）在對(duì)稱結(jié)構(gòu)計(jì)算中，對(duì)取的半結(jié)構(gòu)，可選用任何適宜的方法進(jìn)行計(jì)算（如位移法、力法），其原則就是哪一種未知量個(gè)數(shù)少，就優(yōu)先選用誰(shuí)。【例題17】利用對(duì)稱性計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)，各桿的EI為常數(shù)。解：由于有兩根對(duì)稱軸，可以取1/4剛架進(jìn)行計(jì)算。（1）未知量：

（2）桿端彎矩表達(dá)式：原結(jié)構(gòu)LqqLACBDq基本體系FAEL/2L/2……①

（3）建立位移法方程（4）解方程，得：（5）回代得桿端彎矩：（6）畫彎矩圖

qL224M圖

qL224qL224qL224qL212qL212【例題18】選取圖示結(jié)構(gòu)的半剛架。對(duì)稱荷載作用下

ADCFEIEIEAH對(duì)稱荷載作用下，未知量：會(huì)使FH桿伸長(zhǎng)或縮短，會(huì)使DC桿發(fā)生側(cè)移。反對(duì)稱荷載作用下，未知量：,FH桿是零桿，可以去掉，使DC桿平移。ADCFEIEIEA反對(duì)稱荷載作用下

HABDCFGEAEIEIEIEIE對(duì)稱結(jié)構(gòu)

FH桿是零桿，可以去掉【例題19】利用對(duì)稱性計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)。所有桿長(zhǎng)均為L(zhǎng)，EI也均相同。解：（1）由于該結(jié)構(gòu)的反力是靜定的，因此求出后用反力代替約束。

（2）該結(jié)構(gòu)有兩根對(duì)稱軸，因此把力變換成對(duì)稱與反對(duì)稱的。原結(jié)構(gòu)

FP=FP/2FP/2FP=原結(jié)構(gòu)=對(duì)稱+反對(duì)稱FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4+FP/2FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4

對(duì)稱情況，只是三根柱子受軸力，由于忽略向變形，不會(huì)產(chǎn)生彎矩，因此不用計(jì)算。

反對(duì)稱情況，梁發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)因此會(huì)產(chǎn)生彎矩，但左右兩半是對(duì)稱的，可取半剛架計(jì)算。由于對(duì)稱，中柱彎矩為零，因此可以不予考慮。+FP/2FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2FP/4FP/4FP/4FP/4FP/2反對(duì)稱情況的半剛架：……①（1）未知量：

（2）桿端彎矩：

（3）建立位移法方程：

FP/4FP/4對(duì)此進(jìn)行求解FP/4ABC……②FP/4FQABAC1）支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算【例題19】圖示結(jié)構(gòu)的A支座發(fā)生了一個(gè)轉(zhuǎn)角，用位移法求解。解：（1）未知量：（2）桿端彎矩：

8、其它各種情況的處理LB

A

CEIEIL未知量確定和計(jì)算與荷載作用時(shí)相同，即把支座移動(dòng)看作是一種廣義的荷載。（3）建立位移法方程：

……①……②

8、其它各種情況的處理取BC截面：FQBAB

C

未知量確定和計(jì)算與荷載作用時(shí)相同，即把溫度變化看作是一種廣義的荷載。2）溫度發(fā)生變化時(shí)的計(jì)算【例題20】圖示結(jié)構(gòu)的溫度較竣工時(shí)發(fā)生了變化，用位移法求解。解：（1）未知量：

（2）桿端彎矩：

BA桿軸線處溫度提高17.5°,桿件伸長(zhǎng)：17.5×L×

BC桿軸線處溫度提高15°,桿件伸長(zhǎng)：15×L×由溫度引起的側(cè)移：B點(diǎn)新位置B’B

A

CLEIEIL200150100（3）建立位移法方程：

……①

8、其它各種情況的處理B點(diǎn)新位置B

A

CLEIEIL200150100B’3）組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算【例題21】用位移法求解圖示組合結(jié)構(gòu)。解：（1）未知量：

（3）建立位移法方程：

…

…①（2）桿端彎矩和軸力：

LLLEIEIEIEAAEDCBq桿端彎矩和軸力

8、其它各種情況的處理取BC截面：FQBDFQCEFNBAq桿端彎矩和軸力

8、其它各種情況的處理取BC截面：FQBDFQCEFNBAq……②把剪力代入后得：

4）彈性支座的計(jì)算【例題22】用位移法求解圖示有彈性支座的結(jié)構(gòu)。解：（1）未知量：

（2）桿端彎矩：

（3）建立位移法方程：

……①qEIEICBALLk……②取C結(jié)點(diǎn)：CFyCFQCBFQCBFQBCMBC代入后得：

【例題23】用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)。

（2）桿端彎矩和桿端軸力：

（1）未知量：

A點(diǎn)：和B點(diǎn)：由于使BC桿縮短了解:

qLLLEIkBCAEA原結(jié)構(gòu)

qEIkBCAEA變形分析

（3）建立位移法方程：取A結(jié)點(diǎn)：取B結(jié)點(diǎn)：FQBAFNBCBqLLLEIkBCAEA原結(jié)構(gòu)

AMAB……①

（3）建立位移法方程：取B結(jié)點(diǎn)：FQBAFNBCBqLLLEIkBCAEA原結(jié)構(gòu)

代入后得：……②位移法方程：（2）桿端彎矩：

5）帶斜桿剛架的計(jì)算【例題24】用位移法求解圖示有斜桿的剛架。解：（1）未知量：

EIEIABCFPLLL原結(jié)構(gòu)

ABCFP線位移分析

（3）建立位移法方程：取隔離體BC：BFPMBAFQBAOCFNBA……①（3）建立位移法方程：其中：取隔離體BC：BFPMBAFQBAOCFNBA把相應(yīng)的代入后得：……②6）有無(wú)剪力桿件結(jié)構(gòu)的計(jì)算【例題25】用位移法求解圖示有無(wú)剪力桿件的剛架。但該結(jié)構(gòu)BA桿的剪力是靜定的,若只把B結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角固定起來(lái),它的受力與一端固定一端滑動(dòng)單元相同。因此,此題的未知量可只取一個(gè)：。原結(jié)構(gòu)LLCBAEIEIFPBZ1基本體系CAEIEIFP常規(guī)計(jì)算未知量是：一端固定一端滑動(dòng)單元BAFP這種計(jì)算方法稱為：無(wú)剪力法。只能用于有側(cè)移桿件的剪力是靜定的結(jié)構(gòu)。

桿端彎矩表達(dá)式：按一端固定一端滑動(dòng)單元寫位移法方程：……①EIEIABCFP該結(jié)構(gòu)不能用無(wú)剪力法求解。在無(wú)剪力法計(jì)算中特別要提醒的是固端彎矩的計(jì)算：

AB

桿的固端彎矩：用FP查一端固定一端滑動(dòng)單元。

BC

桿的固端彎矩：應(yīng)用2FP查一端固定一端滑動(dòng)單元。原因是：作用在上層的荷載對(duì)下面各層都有影響，例如此例AB桿的剪力是：FP，BC桿的剪力是2FP

。ABFPBC2FPFPFPABCDEiiiiLL6）有無(wú)剪力桿件結(jié)構(gòu)的計(jì)算

8、其它各種情況的處理1）支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算3）組合結(jié)構(gòu)的計(jì)算2）溫度發(fā)生變化時(shí)的計(jì)算4）彈性支座的計(jì)算5）帶斜桿剛架的計(jì)算7）有剛度無(wú)窮大桿件的剛架計(jì)算【例題26】分析圖示有剛度無(wú)窮大桿件剛架的未知量。分析：由于CD桿的抗彎剛度為無(wú)窮大，因此C、D結(jié)點(diǎn)不可能發(fā)生轉(zhuǎn)角，即：

未知量只有：分析：由于BA桿只能繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，因此BA桿的側(cè)移為，BC桿的側(cè)移為。又由于BC桿的剛度無(wú)窮大，不可能發(fā)生彎曲變形，為了保持原先的夾角，BA桿的B端必然發(fā)生轉(zhuǎn)角。

EI=∞ABCDEIABC

EI=∞桿端彎矩：BFPMBAFQBAO取隔離體BC：CFNBAEIABCFPLLL原結(jié)構(gòu)

EI=∞位移法方程：……①至于MBC根據(jù)平衡原理等于MBA?！纠}27】用位移法計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)，所有桿件長(zhǎng)度為L(zhǎng)。解：結(jié)構(gòu)對(duì)稱，荷載對(duì)稱，

可取半剛架（1）未知量：

50kNEIEIEIEIEIEIEI=∞EI=∞LL25kNEIEIEIECABDEI=∞此桿彎矩為零分析：CD桿的EI為無(wú)窮大，所以C結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為零。B結(jié)點(diǎn)是由于對(duì)稱，因此轉(zhuǎn)角也為零。但D點(diǎn)的下移，在C點(diǎn)會(huì)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角。

（2）桿端彎矩表達(dá)式

（3）建立位移法方程25kNEIEIEIECABDEI=∞對(duì)A結(jié)點(diǎn):

得：…

…①對(duì)C結(jié)點(diǎn)：MCEMCDMCAC25kNEIEIEIECABDEI=∞25kNEIEIEIECABDEI=∞…

…②取BD為隔離體:MBFBXFQBABDFDXFQDCMBA25kN8）把支座位移作為未知量【例題28】用位移法求解圖示剛架，桿件長(zhǎng)度均為L(zhǎng)。分析：此題未知量通常只取一個(gè)，是把BC桿看作一端固定一端鉸結(jié)單元。但同樣也可取兩個(gè)未知量這時(shí)是把BC桿也看作兩端固定單元。桿端彎矩：AEIB

CEIM解方程，得：取C結(jié)點(diǎn)MCBC其結(jié)果與取一個(gè)未知量的完全相同。位移法方程：取B結(jié)點(diǎn)MBAMBCMB……①……②9）不忽略軸向變形的計(jì)算【例題29】用位移法求解圖示剛架，受彎桿件要考慮軸向變形，做到建立好位移方程即可。AB

CEA1EI、EAD

LLqEIEA解：（1）確定未知量

（2）桿端力表達(dá)式：AB桿的A端桿端力：AD桿A端的軸力：AC桿的A端桿端力：AB

CEA1EI、EAD

LLqEIEA（3）建立方程，取A結(jié)點(diǎn)為隔離體：可得三個(gè)方程由：……②